《光电图像处理》04－图像变换01

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,光电图像处理,（四）图像变换,01,电子工程学院光电子技术系,一、图像变换概述,二、傅立叶变换,三、其他可分离变换,四、霍特林变换,主要内容,一、 图像变换概述,使图像处理问题简化；,有利于图像特征提取；,有助于从概念上增强对图像信息的理解。,图像变换的目的：,空域法,频域法,数字图像处理方法：,数字图像的频域处理主要有三种应用：,利用某些频域变换可从图像中提取图像的特征；,利用图像频域处理可实现图像高效压缩编码；,减小计算维数，使算术运算次数大大减小，从而提高图像处理的速度,。,频域处理的关键：,变换处理,图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求：,正交变换必须是可逆的；,正变换和反变换的算法不能太复杂；,正交变换的特点是在变换域中图像能量集中分布在低频率成份上，边缘、线状信息反映在高频率成份上，有利于图像处理。,傅立叶变换（快速傅立叶变换）,可,分离变换,统计变换,图象变换,图像变换处理：首先将图像从空间域变换到频域，进行各种处理，然后将所得到的结果进行反变换，即从频域变换到空间域，从而达到图像处理的目的。,其他可分离变换,离散余弦变换,沃尔什哈达码变换,哈尔变换,斜变换,霍特林变换,频域世界与频域变换,频域变换的基础：任意波形都可以用单纯的正弦波的和来表示：,正弦波的振幅,A,和相位,初相位,j,基本正弦波,(,A,1,j,0),角频率,O,振幅,A,A,波形的频域表示,(a),幅频特性；,(b),相频特性,时域和频域之间的变换表示为：,为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法，,二、傅 立 叶 变 换,连续函数的傅立叶变换,离散傅立叶变换,二维离散傅立叶变换的性质,快速离散傅立叶变换,二维傅立叶变换的应用,当一个一维信号,f,(,x,),满足,狄里赫莱,条件，即,f,(,x,),（,1,）,具有有限个间断点； ,（,2,） 具有有限个极值点； ,（,3,） 绝对可积。,连续函数的傅立叶变换,则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。,一维傅立叶变换对的定义为,式中：,，,x,称为空域变量，,u,称为频域变量。,推广到二维,如果二维函数,f,(,x,y,),满足狄里赫莱条件，,则其二维傅立叶变换对,式中：,x, y,为空域变量；,u, v,为频域变量。,要在数字图像处理中应用傅立叶变换， 还需要解决两个问题：,离散傅立叶变换,在数学中进行傅立叶变换的,f,(,x,),为连续（模拟）信号， 而计算机处理的是数字信号（图像数据）；,数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。,通常， 将受这种限制的傅立叶变换称为,离散傅立叶变换,DFT,（,Discrete Fourier Transform) ,式中：,x,，,u,=0,，,1,，,2,，,N,1,设,f,(,x,) |,f,(0),f,(1),f,(2), ,f,(,N,-1) ,为一维信号,f,(,x,),的,N,个抽样， 其离散傅立叶变换对为,由欧拉公式可知,代入离散傅立叶变换式，并利用,cos,(,)=,cos(,),，,可得,可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个,u,对应的傅立叶变换结果是所有输入序列,f,(,x,),的加权和（每一个,f,(,x,),都乘以不同频率的正弦和余弦值），,u,决定了每个,傅立叶变换结果的频率。,通常傅立叶变换为复数形式， 即,式中，,R,(,u,),和,I,(,u,),分别是,F,(,u,),的实部和虚部。则,其中,F,(,u,)=|,F,(,u,) |,e,j,(,u,),傅立叶幅度谱,相位谱,频谱的平方称为能量谱或功率谱，它表示为,考虑到两个变量，就很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。二维离散傅立叶变换对,定义为,式中：,u,x,=0, 1, 2, ,M,-1,；,v,y,=0, 1, 2, ,N,-1,；,x,y,为时域变量，,u,v,为频域变量。,二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱分别为,式中，,R,(,u,v,),和,I,(,u,v,),分别是,F,(,u,v,),的实部和虚部。,离散傅立叶变换的性质,二维离散傅立叶变换的性质,1.,可分离性,由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为,两步,进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对,f,(,x,y,),按,行,进行傅立叶变换得到,F,(,u,y,),，,再对,F,(,u,y,),按,列,进行傅立叶变换，,便可得到,f,(,x, y,),的傅立叶变换结果。显然对,f,(,x, y,),先按列进行离散傅立叶变换， 再按行进行离散傅立叶变换也是可行的。,用两次一维,DFT,计算二维,DFT,f,(,x,y,),F,(,u,y,),F,(,u,),按行进行一维,DFT,按列进行一维,DFT,2.,平移性质,平移性质表明，只要将,f,(,x,y,),乘以因子,(,1),x+y,，,再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱,原点（,0,，,0,）移动到图像中心（,M,2,N,2,）,处。,傅立叶频谱平移示意图,(a),原图像；（,b,）,无平移的傅立叶频谱；（,c,）,平移后的傅立叶频谱,(a),(b),(c),3.,旋转不变性,由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转,0,角度，则在变换域中该离散傅立叶变,换函数也将旋转同样的角度。,离散傅立叶变换的旋转不变性,(a),(b),(d),(c),离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。其运算次数正比于,N,2,，,特别是当,N,较大时，其运算时间将迅速增长，以至于无法容忍。,快速离散傅立叶变换,采用该,FFT,算法，其运算次数正比于,Nlog,2,N,，当,N,很大时计算量可以,大大减少。例如，,FFT,的运算次数和,DFT,的运算次数之比，当,N=1024,时，比值为,1,102.4,；当,N,=4096,时，比值可达,1,341.3,。,研究离散傅立叶变换的快速算法,FFT,（,Fast Fourier Transform,）,FFT,的设计思想,首先，将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断的一个奇数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。,也就是说,FFT,是将复杂的运算变成两个数相加（减）的简单运算的重复。,例：设对一个函数进行快速,Fourier,变换，函数为：,分成偶数、奇数为：,例：,偶数区,奇数区,8,点,DFT,的蝶形流程图,8,点,DFT,逐级分解框图,自然顺序与码位倒序（,N,=8,）,二维,Fourier,变换的应用,1.Fourier,变换在图像滤波中的应用,首先，我们来看,Fourier,变换,后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。,因此，我们可以在,Fourier,变换图中，选择所需要的,高频,或是,低频,滤波。,2. Fourier,变换在图像压缩中的应用,变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为,0,，,骗过人眼,。,3. Fourier,变换在卷积中的应用,:,从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等 ）。 如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。,三、其他可分离变换,可分离变换,离散余弦变换（,DCT,）,离散,沃尔什,-,哈达玛,变换,(,WHT),哈尔（,Haar,）变换,斜（,Slant,）变换,1.,可分离变换,一维离散傅立叶变换的一般形式：,称为正向变换核,称为反向变换核,二维傅立叶变换可用通用的关系式来表示：,式中：,x, u,=0, 1, 2, ,M,1,；,y,v,=0, 1, 2, ,N,1,；,g,(,x,y,u,v,),和,h,(,x,y,u,v,),分,别称为正向变换核和反向变换核。,如果,g,(,x, y, u, v,)=,g,1,(,x, u,),g,2,（,y, v,）,h,(,x, y, u, v,)=,h,1,(,x, u,),h,2,(,y, v,),则称正、反变换核是可分离的。进一步，如果,g,1,和,g,2,，,h,1,和,h,2,在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。,这时，变换核可以写成,g,(,x, y, u, v,)=,g,1,（,x, u,）,g,1,（,y, v,）,具有可分离变换核的,2,D,变换可分解为两个步骤计算，每个步骤用一个,1,D,变换：,沿,f,(,x, y,),的每,一列进行一维变换得到,F,(,x, v,),沿,F,(,x, v,),的,每一行进行一维变换得到,F,(,u, v,),如果先对,f,(,x, y,),的每一行进行一维变换得到,F,(,u, y,),，,再沿,F,(,u, y,),每一列取一维变换,得到,F,(,u, v,),，,其最终结果是一样的。该结论对反变换核也适用。,数字图像都是实数矩阵， 设,f(x, y),为,MN,的图像灰度矩阵， 通常为了分析、推导方便，可将可分离变换写成矩阵的形式：,其中，,F,、,f,是二维,M,N,的矩阵；,P,是,M,M,矩阵；,Q,是,N,N,矩阵。,图像变换的矩阵表示,F=,PfQ,f=P,-,1,FQ,-1,当,g,(,x, y, u, v,),是可分离的和对称的，则二维离散图像的可分离变换可写成：,F=,AfA,其中，,F,、,f,是二维,N,N,的矩阵；,A,是,N,N,对称变换矩阵；,为了得到反变换，两边分别前后各乘,1,个反变换矩阵,B,BFB=,BAfAB,如果,B,A,-1,，则,f=BFB,这表明图像可完全由其变换恢复。,2.,离散余弦变换（,DCT,）,由傅立叶变换性质可知，当一函数为,偶函数,时，其傅立叶变换的虚部为,0,，因而不需要计算，只需要计算,余弦项变换,余弦变换。,离散余弦变换（,Discrete Cosine Transform,，,DCT,）,的变换核为余弦函数。,余弦变换是傅立叶变换的特例，是简化傅立叶变换的重要方法。,具体方法：将图像进行水平和垂直方向的两次对折镜像，变成一个,2N2N,的偶函数图像。,(1),一维离散余弦变换,(2),二维离散余弦变换,(3),快速离散余弦变换,(4),离散余弦变换频谱分布,一维,DCT,的,变换核,定义为,一维,DCT,定义如下： 设,f,(,x,) |,x,=0, 1, ,N,-1,为离散的信号列。,(1),一维离散余弦变换,将变换式展开整理后， 可以写成矩阵的形式， 即,F=,Gf,其中,一维,DCT,的逆变换,IDCT,定义为,式中，,x, u=0, 1, 2, ,N,1,。,可见一维,DCT,的逆变换核与正变换核是相同的。,一维,DCT,的定义推广到二维,DCT,。,其正变换核为,(2),二维离散余弦变换,二维,DCT,逆变换定义如下：,二维,DCT,定义如下：设,f,(,x, y,),为,M,N,的数字图像矩阵，则,同时，因为二维,DCT,的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即,类似一维矩阵形式的,DCT,，,可以写出二维,DCT,的矩阵形式：,F=,GfG,T,通常根据可分离性， 二维,DCT,可用两次一维,DCT,来完成， 其算法流程与,DFT,类似， 即,首先，将,f,(,x,),延拓为,x,=0, 1, 2, ,N,-1,x,=,N,，,N,+1, , 2,N,-1,按照一维,DCT,的定义，,f,e,(,x,),的,DCT,为,(3),快速离散余弦变换,离散余弦变换的计算量相当大， 在实用中非常不方便， 也需要研究相应的快速算法。,FCT,同理对于离散余弦逆变换,IDCT,，,可首先将,F,(,u,),延拓为,u,=0, 1, 2, ,N,-1,u,=,N,N,+1, , 2,N,-1,(4),二维,DCT,的频谱分布,（,a,）,DFT,频谱分布； （,b,）,DCT,频谱分布,3.,离散沃尔什,-,哈达玛变换（,WHT,）,沃尔什变换是由两个数值，即,1,或,1,为基函数的级数展开而成的，满足完备正交特性。,由于沃尔什变换是二值正交函数，与数字逻辑中的两个状态相对应，可以用来逼近数字脉冲信号要比,FFT,有利，因此更适应于计算机技术、数字信号处理等应用领域。,WHT,只需要进行实数运算，存储量比,FFT,要少得多，运算速度也快的多，一般在图像处理、通信技术和数据压缩中被广泛应用。,一维离散沃尔什,-,哈达玛变换,二维离散沃尔什变换,快速沃尔什,-,哈达码变换,(1),沃尔什函数,一维离散沃尔什,-,哈达玛变换,从排列次序上可将沃尔什函数分为三种定义方法：,沃尔什函数系是一个完备正交函数系，其值只能取,1,和,1,。,按照沃尔什排列来定义（按列率排序）；,按照佩利排列来定义（按自然排序）；,按照哈达玛排列来定义。,N,=2,n,(,n,=0, 1, 2, ),阶哈达玛矩阵每一行的符号变化规律对应于某一个沃尔什函数的符号变化规律，,即,N,=2,n,(,n,=0, 1, 2, ),阶哈达玛矩阵的每一行对应于一个离散沃尔什函数，哈达玛矩阵与沃尔什函数系不同之处仅仅是行的次序不同。,2,n,阶哈达玛矩阵有如下形式：,矩阵的克罗内克积,(,Kronecker,Product),运算记作,A B,，,其运算规律如下：,设,则,哈达玛矩阵的阶数是按,N,2,n,(,n,0, 1, 2, ),规律排列的，阶数较高的哈达玛矩阵，可以,利用矩阵的,克罗内克积,运算，由低阶哈达玛矩阵递推得到，即,(2),离散沃尔什,-,哈达玛变换,一维离散沃尔什逆变换定义为,一维离散沃尔什变换定义为,这里，,Walsh(,u,x,),为沃尔什函数,若将,Walsh(,u,x,),用哈达玛矩阵表示，并将变换表达式写成,矩阵形式,:,很容易将一维,WHT,的定义推广到二维,WHT,。,二维,WHT,的正变换核和逆变换核分别为,和,式中：,x,u,=0, 1, 2, ,M,1,；,y,v,=0, 1, 2, ,N,1,。,二维离散沃尔什哈达码变换,二维离散沃尔什变换的矩阵形式表达式：,H,M,为,M,阶哈达码矩阵，,H,N,为,N,阶哈达码矩阵,一幅数字图像及对其进行二维,WHT,变换的结果：,（,a,）,原图像；（,b,）,WHT,结果,可见，二维,WHT,具有能量集中的特性，而且原始数据中数字越是均匀分,布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，二维,WHT,可用于压缩图像信息,类似于,FFT,，,WHT,也有快速算法,FWHT,，,也可将输入序列,f,(,x,),按奇偶进行分组，分,别进行,WHT,。,FWHT,的基本关系为,WHT,的变换核是可分离和对称的， 因此二维,WHT,也可分为两个一维的,WHT,分别用,FWHT,进行变换而得到最终结果，由此便可实现二维的,FWHT,。,快速沃尔什变换（,FWHT,）,4.,哈尔（,Haar,）,变换,哈尔变换基于定义在连续闭区间,0,，,1,上的哈尔函数,h,k,(z,),其中，,k,0,，,1,，,2,，,N,1,，,N=2,n,因为整数,k,可被唯一地分解为,哈尔函数可定义为：,根据哈尔函数可得出哈尔矩阵。对于,1,个,NN,矩阵，其第,I,行是由,z,0/N,，,1/N,，, (N-1)/N,的,h,i,(z),的元素构成。,例如：,N,2,时，哈尔矩阵为,哈尔矩阵是正交矩阵，可实现快速变换所需的性质。,5.,斜变换（,slant,）,设,N,为偶数，,1,个,NN,阶的,slant,矩阵由下列迭代关系定义,：,S,N,=,其中,I,M,为,M,阶单位矩阵，系数,a,N,和,b,N,分别为（,N1,）,:,Slant,矩阵是正交矩阵，它同样也可以实现相应的快速变换。,四、霍特林变换,霍特林,(,Hotelling,),变换是一种基于图像统计特性的变换，它可直接用于对数字图像进行变换。,霍特林变换在连续域的对应变换是,KL,（,Karhunen,Loeve,）变换。,霍特林变换也常称为特征值变换、主分量变换或离散,KL,变换。,设从一组随机矢量群中得到了,M,个矢量采样，则其均值矢量和协方差矩阵可分别由以下,2,式利用采样来近似：,因为矩阵,C,x,是一个实对称矩阵，所以总可以找到它的一组,N,个正交特征值。,令,e,i,和 分别为,C,x,的特征矢量对应的特征值,并且这些特征值单调排列。再令,A,为由,C,x,的特征矢量组成其各行的矩阵，并且,A,的第一行为对应最大特征值的特征矢量，,A,的最后一行为对应最小特征值的特征矢量。如果设,A,是将,x,转换成,y,的变换矩阵，则：,由这个变换得到的,y,矢量的均值是,0,，即：,霍特林变换,且,y,矢量的协方差矩阵可由,A,和,C,x,得到：,C,y,是一个对角矩阵，它的主对角线上的元素正是,C,x,的,特征值，即,它的主对角线以外的元素均为,0,，即,y,矢量的各元素是不相关的。,考虑到 也是,C,x,的特征值，并且沿对角矩阵的主对角线上的元素是它的特征值，所以,C,x,和,C,y,具有相同的特征值和相同的特征矢量。,e,2,e,1,x,1,x,2,x,2,x,1,y,2,y,1,Fourier,变换的频率特性,Fourier,变换的低通滤波,Fourier,变换的高通滤波,Fourier,变换的压缩原理,压缩率为：,1.7,：,1,压缩率为：,2.24,：,1,压缩率为：,3.3,：,1,压缩率为：,8.1,：,1,压缩率为：,10.77,：,1,压缩率为：,16.1,：,1,Fourier,变换的压缩原理,