预测模型（灰色系统分析方法）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,预测模型,回归模型,灰色模型,微分方程模型,等等,回归分析方法,一元线性回归,可线性化一元非线性回归,多元线性回归,多项式回归,多元二项式回归,一元线性回归分析的,主要任务,是：,非线性回归：,返回,多元回归：,多项式回归,多元二项式回归,灰色系统分析方法,一、灰色系统相关背景,1982,年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特殊的要求和限制，因此应用领域十分宽广。,灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的数学关系即建立相应的数学模型,二、灰色系统理论的主要内容,灰色关联分析,灰色模型,GM(1,1),等,灰色预测,等等,三、灰色模型,GM,1,、数据的生成,A,累加生成（,Accumulating Generation Operator,）,AGO,设为原始序列,令,则称数列,为一次累加生成数列，,1-AGO,例如已给原始数据数列,它没有明显的规律性。,1-ago,为：,将上述数据作图如下：,r-ago,为,B,累减生成,IAGO,是在获取增量信息时常用的生成，累减生成对累加生成起还原作用,记原始数列,则令,称为一次累减生成,如（,1,，,5,，,6,，,8,）一次累减生成序列（,1,，,4,，,1,，,2,）,类似定义,r,次累减生成,C,均值生成,原始序列,称 为数列的邻值,对于常数,0,1,，称,为该数列生成系数（权）为,的邻值生成,特别的,=0.5,为邻均值生成数。类似可定义非邻均值生成数,2,、,GM(1,1),模型,设原始序列为,其,1-ago,序列为,邻均值生成序列,则,GM(1,1),模型的基本形式 为,参数,a,为发展系数，反映了 及 的发展态势,b,为灰色作用量,又称为白化背景值序列,则,GM(1,1),模型的基本形式 为,参数估计定理 ： 记,GM(1,1),模型的参数的最小二乘估计,引入中间参数，又可表示为,GM,（,1,，,1,）的时间响应序列,定义,为,GM(1,1),模型,的白化方程，也叫影子方程。,其时间响应函数为,由此得到,GM,（,1,，,1,）的时间响应序列,四、灰色预测,基本步骤：,1,、数据的预处理与前期检验,2,、建立灰色模型，估计参数,3,、生成模拟值,4,、检验误差,5,、预测,1,、数据的预处理与前期检验,在专著 灰色系统理论教程中，指出：,GM(1,，,1),模型发展系数,a,只有在,(-2,，,+2),，,也就是,a,的绝对值小于,2,，,GM(1,，,1),才有意义,只有原序列级比,才能满足。,若不满足，可以尝试以下处理方式：,对数处理，（对数变换）,方根处理，（开,m,次方）,平移处理 （加一常数）,2,、建立灰色模型，估计参数,参数估计定理 ： 记,GM(1,1),模型的参数的最小二乘估计,3,、生成模拟值,4,、检验误差,定义,1,：,残差序列,上述三个定义给出了检验模型的三种方法。,这三种方法都是通过对残差的考察来判断模型的精度，其中平均相对误差和模拟误差都要求越小越好，关联度要求越大越好，均方差比值越小越好以及小误差概率越大越好,.,给定 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级。常用的精度等级见下表，可供检验模型参考。,5,、预测,根据问题需要进行预测，对结果进行分析说明,例：某城市人均年收入统计（,05,年,-08,年）（单位,:,万元,),如下,试建立灰色模型预测。,第一步： 级比检验（符合）,记原始序列,第二步：建立模型,1-AGO,关联度为一级。,计算均方差比,均方差比值为一级。,计算小误差概率：,小误差概率为一级，故可用,进行预测,09,年,SARS,疫情对某些经济指标影响问题,03,年数学建模比赛赛题,问题的提出,2003,年的,SARS,疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是明显的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业很多方面难已进行定量地评估，现仅就,SARS,疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析,究竟,SARS,疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从,1997,年,1,月到,2003,年,12,月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表,试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估,2003,年,SARS,疫倩给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响,1,、模型的分析与假设,2,、建立灰色预测模型,GM(1,，,1),3,、模型的求解,4,、模型的结果分析,