选修42第一节

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,选修,4-2,矩阵与变换,第一节 平面上的变换与矩阵,1.,线性变换的相关概念,一般地,如果变换,T,：,P,(,x,y,),P,(,x,y,),前后坐标之间,的关系具有如下的形式,:,_,也就是,x,y,都是,x,y,的常数项为,0,的一次函数，,则称变换,T,为线性变换，写成 的形式,.,_,_,2.,矩阵的相关概念,(1),由,4,个数,a,b,c,d,排成的,2,行,2,列的数表,_,称为,2,行,2,列的,矩阵，也称为,22,矩阵,通常用大写字母,A,、,B,、,C,、,表示,.,(2),矩阵与列向量的乘法：,.,【,即时应用,】,(1),思考：,22,矩阵与列向量的乘法规则是什么？,提示,:,22,矩阵与列向量的乘法规则是矩阵的每一行的系数与列向量的两个变量分别相乘再相加得到一个新的列向量,.,(2) =_.,【,解析,】,答案：,(3),已知 ，则,=_.,【,解析,】,由条件得,解得,从而,答案：,3.,逆变换与可逆变换,(1),逆变换,若,T,：,P,T,(P),则,M,：,_.,若,M,:Q,M,(Q),则,T,：,_.,则称,M,为,T,的逆变换，记作：,M,=_.,同样,T,也是,M,的逆变换，记作：,T,=,M,-1,.,因此,(,T,-1,),-1,=_,，,(,M,-1,),-1,=_.,T,(P) P,M,(Q) Q,T,-1,T,M,(2),可逆变换,若变换,T,满足平面上不同的点被变换,T,变到,_,；变,换,T,将平面变到,_,，即平面上每一个点,Q,都是平面上某,一点,P,的,_,，则称变换,T,为可逆变换，可逆变换一定有逆,变换,.,不同的点,整个平面,像,T,(P),【,即时应用,】,若变换,T,是将平面内的点逆时针旋转 ，则变换,T,-1,对应的矩,阵为,_.,【,解析,】,由题意,答案：,4.,常见变换对应的矩阵,(1),旋转变换,绕原点,O,按逆时针方向旋转,角：,(2),伸缩变换：在直角坐标系,xOy,内，将每个点的纵坐标变为,原来的,k(k0),倍的伸缩变换的矩阵为 将每个点的,横坐标变为原来的,k(k0),倍的伸缩变换的矩阵为 将,每个点的横坐标变为原来的,k,1,倍，纵坐标变为原来的,k,2,倍,(k,1,k,2,0),的伸缩变换的矩阵为,(3),反射变换,关于直线,Ax+By=0,的反射的矩阵,(4),位似变换,位似中心为,O,，相似比为,k,，使 的矩阵为,(5),投影变换,平面到直线,l,：,Ax+By=0,的投影变换的矩阵,【,即时应用,】,(1),在平面直角坐标系,xOy,内，将每个点的横坐标变为原来的,2,倍，将每个点的纵坐标变为原来的 倍，该变换对应的矩阵为,_.,(2),关于直线,x-2y=0,的反射变换的矩阵为,_.,(3),函数,y=,在旋转变换 作用下得到的新曲线的,方程为,_.,【,解析,】,(1),由伸缩变换方法易得所求矩阵为,(2)A=1,，,B=-2,，,(3),设新曲线上任意点,(x,y),由,得,从而,代入,y=,得,y,2,-x,2,=2,即新曲线的方程为,y,2,-x,2,=2.,答案,：,(1) (2),(3)y,2,-x,2,=2,热点考向,1,线性变换与矩阵,【,方法点睛,】,线性变换及其矩阵,平面内的线性变换都对应着相应的二阶矩阵，而任何一个二阶矩阵都对应着相应的线性变换，关键是要熟悉常见的线性变换的二阶矩阵，在此基础上才能灵活运用,.,【,例,1】,写出关于直线 的反射的矩阵,.,【,解题指南,】,代入反射变换的矩阵公式，通过计算求矩阵,.,【,规范解答,】,关于直线,Ax+By=0,的反射的矩阵为,将直线方程变为,x-3y=0,，,A=1,，,B=-3,，,关于直线 的反射的矩阵为,【,互动探究,】,试写出平面到直线 的投影变换的矩阵,.,【,解析,】,平面到直线,Ax+By=0,的投影变换的矩阵为,将直线方程化为,x-3y=0,，,A=1,，,B=-3,平面到直线 的投影变换的矩阵为,【,反思,感悟,】,1.,根据本题可知，求线性变换的矩阵关键是公式的应用,.,2.,在,应用公式求线性变换的矩阵时，特别注意矩阵元素的结构，不要代错,.,热点考向,2,22,矩阵与列向量的乘法及其应用,【,方法点睛,】,22,矩阵与列向量的乘法应用的方法,设,22,矩阵,A, ，点,P(x,，,y),经,22,矩阵,A,对应的变换作,用下得到点,P(x,，,y),，三者满足的关系式：,常见的问题设置是知道三者中的两个求第三个，解题的方法从,根本上讲是一样的，即列方程组求解,.,【,例,2】,(2012,泉州模拟,),二阶矩阵,A,对应的变换将点,(1,，,-1),与,(-2,，,1),分别变换成点,(-1,，,-1),与,(0,，,-2),，求矩阵,A.,【,解题指南,】,求矩阵,A,一般可用待定系数法，设出矩阵,A,后,利用矩阵与向量的乘法列方程组求解,.,【,规范解答,】,设,A=,由题意,A,即,解得,【,反思,感悟,】,设矩阵,A, ，点,P(x,，,y),经矩阵,A,对应的变,换作用下得到点,P(x,，,y),，三者满足的关系式：,常见的问题设置是知道三者中的两个求第三个，解题的方法从根本上讲是一样的，即列方程组求解,.,【,变式训练,】,向量,a,在矩阵,A=,的作用下变为与向量,平行的向量且向量的模为,1,，求,a,.,【,解析,】,设,a,= ,则由条件得,解得,sin=cos,从而所求向量为,a,=,或,a,=,【,变式备选,】,已知,设,=a+b,，,=a-b,，求,A,A.,【,解析,】,由条件得,从而,热点考向,3,线性变换与曲线方程,【,方法点睛,】,线性变换与曲线方程问题的解题方法,曲线,C,在矩阵,A,变换后得到曲线,C.,这一变换过程通过公式,(*),确定，常见的设问及其解决方法有：,(1),若已知曲线,C,的方程，矩阵,A,，求曲线,C,的方程，则通过公,式,(*),表示出,x,，,y,，代入曲线,C,的方程即得曲线,C,的方程,.,(2),若已知曲线,C,的方程，矩阵,A,，求曲线,C,的方程，则由公式,(*),直接将,x,，,y,代入曲线,C,的方程后即得曲线,C,的方程,.,(3),若已知曲线,C,，,C,的方程，求矩阵,A,，则先设出矩阵,A,，再在,曲线,C,上任取一点,(x,y),，通过公式,(*),代入曲线,C,的方程后得,曲线,C,的另一形式的方程，再与曲线,C,的方程比较系数，利用系,数相等列方程组求矩阵,A.,【,例,3】,(2011,福建高考,),设矩阵,M,= (,其中,a,0,，,b,0).,若曲线,C,：,x,2,+y,2,=1,在矩阵,M,所对应的线性变换作用下得到曲线,C,： ，求,a,，,b,的值,.,【,解题指南,】,本题变换矩阵符合伸缩变换的特征，求解的关键,是准确把握变换前后点的坐标间的关系，运用待定系数法列出,方程组，即可获解,.,【,规范解答,】,设曲线,C,上任意一点,P(x,y),，它在矩阵,M,所对应的,线性变换作用下得到点,P(x,y).,则 即,又点,P(x,y),在曲线,C,上，所以,则 为曲线,C,的方程,.,又已知曲线,C,的方程为,x,2,+y,2,=1,，故 ，又,a,0,b,0,，所以,【,互动探究,】,在平面直角坐标系,xOy,中，设椭圆,4x,2,+y,2,=1,在本例,中矩阵,M,对应的变换作用下得到曲线,F,，求,F,的方程,.,【,解析,】,由本例解析知,M,=,设,P(x,0,y,0,),是椭圆上任意一点，点,P(x,0,y,0,),在矩阵对应的变换作,用下变为点,P(x,0,y,0,),则有,即 ，所以,又因为点,P,在椭圆上，故 ，从而,(x,0,),2,+(y,0,),2,=1,所以，曲线,F,的方程是,x,2,+y,2,=1.,【,反思,感悟,】,本题是已知变换之前和变换之后的曲线方程，求变换矩阵的问题求解的方法是设出变换之前和变换之后的坐标，利用矩阵乘法建立关系，再利用变换前后的曲线方程建立方程组,.,【,变式备选,】,已知二阶矩阵,M, 矩阵,M,对应的变换将点,(2,1),变换成点,(4,，,1).,求矩阵,M,将圆,x,2,y,2,1,变换后的曲线,方程,.,【,解析,】,由已知得 即,解得, 设点,P(x,，,y),是圆,x,2,y,2,1,上的任意一点，变换,后的点为,P(x,，,y),，则,所以,从而,则变换后的曲线方程为,(x,2y),2,(x,y),2,9,，化简得,2x,2,2xy,5y,2,9.,即变换后的曲线方程为,2x,2,-2xy+5y,2,=9.,