广义积分的概念与计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第十一章 广义积分,9/10/2024,1,二、无界函数的,广义,积分,1,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的广义积分,广义积分,广义积分的概念与计算,9/10/2024,2,一、无穷限的,广义,积分,引例.,曲线,和直线,及,x,轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,9/10/2024,3,定义1.,设,若,存在 ,则称此极限为,f,(,x,) 的无穷限,广义,积分,记作,这时称,广义,积分,收敛,;,如果上述极限不存在,就称,广义,积分,发散,.,类似地 , 若,则定义,9/10/2024,4,则定义,(,c,为任意取定的常数 ),只要有一个极限不存在 , 就称,发散 .,无穷限的,广义,积分也称为,第一类,广义,积分,.,并非不定型 ,说明:,上述定义中若出现,它表明该,广义,积分发散 .,9/10/2024,5,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式 :,9/10/2024,6,例1.,计算,广义,积分,解:,思考:,分析:,原积分发散 !,注意:,对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .,9/10/2024,7,例2.,证明第一类,p,积分,证:,当,p =,1 时有,当,p ,1 时有,当,p ,1 时收敛 ;,p,1,时发散 .,因此, 当,p ,1,时,广义,积分收敛 , 其值为,当,p,1,时,广义,积分发散 .,9/10/2024,8,例3.,计算,广义,积分,解:,9/10/2024,9,二、无界函数的,广义,积分,引例:,曲线,所围成的,与,x,轴,y,轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,9/10/2024,10,定义2.,设,而在点,a,的右邻域内无界,存在 ,这时称,广义,积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称广义积分,发散 .,类似地 , 若,而在,b,的左邻域内无界,若极限,数,f,(,x,) 在 ,a,b, 上的,广义,积分（也叫瑕积分）,则定义,则称此极限为函,记作,9/10/2024,11,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点,c,的,无界函数的积分又称作,第二类广义积分,无界点常称,邻域内无界 ,为,瑕点(奇点),.,例如,间断点,而不是广义积分.,则本质上是常义积分,则定义,9/10/2024,12,注意:,若瑕点,计算表达式 :,则也有类似牛 莱公式的,若,b,为瑕点, 则,若,a,为瑕点, 则,若,a,b,都为瑕点, 则,则,可相消吗?,9/10/2024,13,下述解法是否正确:, 积分收敛,例4.,计算广义积分,解:,显然瑕点为,a,所以,原式,例5.,讨论广义积分,的收敛性 .,解:,所以广义积分,发散 .,9/10/2024,14,例6.,证明广义积分,证:,当,q,= 1 时,当,q, 1 时收敛 ;,q,1,时发散 .,当,q,1 时,所以当,q, 1,时, 该广义积分收敛 , 其值为,当,q,1,时, 该广义积分发散,.,9/10/2024,15,例7.,解,：,求,的无穷间断点,故,I,为广义,积分.,9/10/2024,16,内容小结,1.,广义积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.,两个重要的广义积分,9/10/2024,17,说明:,(1),有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以互,相转化 .,例如 ,(2),当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.,9/10/2024,18,(3),有时需考虑,主值意义下的广义积分,.,义积分收敛 .,注意:,主值意义下广义积分存在不等于一般意义下广,思考与练习,其定义为,9/10/2024,19,解,练习1,9/10/2024,20,当为k何值时，广义,积分,求其最大值 .,当k为何值时，这广义积分发散？又当k为何值时，,这广义积分取得最小值？,收敛？,提示：,练习2,9/10/2024,21,备用题,试证, 并求其值 .,解:,令,9/10/2024,22,9/10/2024,23,作业,P.277,1（2）（3）（4）,P.289,1（2）（3）,9/10/2024,24,