03现值和内部收益率

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,02-,*,现值和内部收益率,投 资 学,章 贤 军,现值和内部收益率,金 融 学 院,1,Present Value and,Internal Rate of Return,Present Value (PV),Internal Rate of Return (IRR),Cash Flow Evaluation,Discount factor,Spot and forward rate,2,Present Value,现值,用,x=(x,0, x,1, . , x,n,),表示一个现金流,。我们需要找到办法来比较不同的现金流。,折现因子,Discount factors,和,利率,Interest rates,可以在时间轴上移动现金流,.,time,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,time,PV,3,术语,Terminology,现值,present value.,time,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,time,PV,终值,final value.,time,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,time,FV,4,Present Value and,Internal Rate of Return,Present Value (PV),Internal Rate of Return (IRR),Cash Flow Evaluation,Discount factor,Spot and forward rate,5,折现因子,Discount factor,对应某特定期间的,折现因子，,是指该期间结束时所收取,1,元的现值。将,t,年期的折现因子表示为,d(t),。,d(0.5),0.9825,表示,6,个月后收取的,1,元，现值,0.9825,元。,某证券,6,个月后收取的,105,元，现值多少？,105 d(0.5),1050.9825,103.16,元。,当前投资,1,元，,6,个月后回收,1/ d(0.5) =1.02,元,6,Discount factor,国债,Bonds,在以下的讨论里都是没有信用风险的（,default,free,）,对于一般的国债，现金流包含,3,个要素：,面值,face value or par value,票息,coupon rate,到期日,maturity day,7,在,94,年,2,月,15,日 购买了一种国债（,付息债券,），面值,10000,元，票息,4.375%,到期日是,96,年,8,月,15,日。购买者在此之前每年收到利息，并在到期日收到,10000,元的本金。市场惯例，每年的利息分两次支付，即每,6,个月付,218.75,元。,218.75,218.75,218.75,218.75,10218.75,94.2.15,94.8.15,95.2.15,95.8.15,96.2.15,96.8.15,8,票息率 到期日 价格,6.875 94.8.15 101:20,5.5 95.2.15 101:18,4.625 95.8.15 100:21,4.625 96.2.15 100:12,4.375 96.8.15 99:15,比如最后一行的债券，指,100,元的面值，当前价格为,99,15/32=99.46875,元,表,3.1,报价日：,94.2.15,9,折现因子可以由国债价格表计算,：参考表,3.1,第一行,第二行,6,个月后的收益：,2.75,1,年后收益：,100,2.75,所以现值,可以算出,d(1)=0.9621 d(1.5)=?,10,11,表,3.2,：根据表,3.1,计算的折现因子,T d(t),0.5 0.9825,1 0.9621,1.5 0.9399,2 0.9159,2.5 0.8920,12,d(t),1,0,T,年,28,20,图,3.1 30,年之后将收取的,1,元，现值仅有,0.14,元,13,Present Value and,Internal Rate of Return,Present Value (PV),Internal Rate of Return (IRR),Cash Flow Evaluation,Discount factor,Spot and forward rate,14,即期利率与远期利率,折现因子可以用来给资产定价，但使用更多的还是利率。,重点介绍即期利率,spot rate,与远期利率,forward rate,，并说明如何根据债券价格来计算这两个利率，及其功能。,15,即期利率,是指放款者在签约当时立即提供资金给借款者，所约定的利率。,t,年的即期利率定义为 ，将其视为,t,年期,每半年复利一次,的名义利息率。,A,A(1+r/2),2t,time,0,t,面值,:100,元,小于,100,元,16,Spot rate,由于多数债券是每半年支付票息一次，所以投资者关心半年一次的复利率。,已知折现因子,d(t),表示,t,年之后的,1,元的现值，因此有：,A,A(1+r/2),2t,time,0,t,17,表,3.3,根据表,3.2,折现因子所推算的即期利率,T d(t) %,0.5 0.9825 3.567,1 0.9621 3.896,1.5 0.9399 4.178,2 0.9159 4.443,2.5 0.8920 4.622,18,Spot rate,10%,0,T,年,28,20,4%,4,12,图,3.2 94.2.15,的即期利率,19,即期利率与到期期间的关系，通常被成为,“即期利率的期限结构”,term structure of spot rate,根据图,3.2,显示，即期利率最初具有斜率向上的期限结构，但大约到第,23,年后，即期利率具有斜率向下的趋势,downward sloping,20,零息债券,零息债券,zero coupon bond,指只在到期日支付面值的债券。,零息债券的价格相当于折现因子。,零息债券的收益率相当于即期利率。,零息债券可以通过票息债券,coupon bond,的组合获得,21,经分割的现金流：,52.5,52.5,52.5,1000,94.2.15,94.8.15,95.2.15,95.8.15,22,把票息债券组合成零息债券,价格:,票息:,面值:,可以组合一个,zero coupon bond,使,C,0,=0, F,0,=$100,这个组合要满足,3,个公式,:,解出,x,和,y.,组合而成的零息债券的价格,xP,1,+yP,2,23,Example,Bond 1: 10 year, 10% coupon, P,1,=98.72,元,Bond 2: 10 year, 8% coupon, P,2,=85.89,元,面值,100,元,Portfolio: x Bond 1, y Bond 2.,构建的零息债券价格:,x = - 4, y = 5,Coupon: x(10) + y(8) = 0,Face: x(100) + y(100) = 100,Create a zero:,Spot Rate:,xP,1,+yP,2,=34.57,元,24,面值,100,元票息,4.625,到期日,95.8.15,的债券，用折现因子表示，在,94.2.15,日的价格为,2.3125d(0.5)+2.3125d(1)+102.3125d(1.5),使用即期利率，则债券现值又可以表示为,25,以这种方式表示，说明现金流量根据发生当时的即期利率来折现。换句话说，投资者对于不同时期发生的现金流量，将赚取不同的报酬率,26,表,3.3,根据表,3.2,折现因子所推算的即期利率,T d(t) %,0.5 0.9825 3.567,1 0.9621 3.896,1.5 0.9399 4.178,2 0.9159 4.443,2.5 0.8920 4.622,远期利率,forward rate,27,（一）六个月期的债券 收益率,A(1+,3.567%2,),一年期的债券,前六个月,的收益率,A(1+,3.896%2,),（二） 一年期债券 收益率,A(1+,3.896%2,),2,两年期债券,第一年,的收益率,A(1+,4.443%2,),2,28,购买,1,年期债券的投资者，在前,6,个月获得较高的年利率,3.896%,，是因为相当于承诺在,6,个月结束时，继续将贷款延展半年。这种隐含的承诺就是一个,远期贷款,。,远期贷款,，在未来某日期开始放款的契约。在远期贷款签约当时（而不是放款的当时），所定的利率称为,“远期利率”,forward interest,。,29,我们定义,r(t),为目前对于由第,t-0.5,年起算而至第,t,年之贷款所适用的年利率。,r(1.5),就是指由第,1,年起算的,6,个月期远期,年利率,。,r(0.5),94.2.15,94.8.15,95.2.15,95.8.15,r(1),r(1.5),96.2.15,r(2),30,远期利率的计算方法,：,(1),(2),(3),(4),31,表,3.4,根据表,3.3,的即期利率推算远期利率,T % r(t) %,0.5 3.567 3.567,1 3.896 4.226,1.5 4.178 4.743,2 4.443 5.239,2.5 4.622 5.342,32,图,3.3,即期利率与远期利率曲线,rate,10%,0,T,年,28,20,4%,4,12,即期利率,远期利率,33,面值,100,元票息,4.625,到期日,95.8.15,的债券，在,94.2.15,日价格可以表示为,1,、,2.3125d(0.5)+2.3125d(1)+102.3125d(1.5),2,、,3,、,34,Present Value and,Internal Rate of Return,Present Value (PV),Internal Rate of Return (IRR),Cash Flow Evaluation,Discount factor,Spot and forward rate,35,内部收益率,Internal Rate of Return,用,x=(x,0, x,1, . , x,n,),表示现金流,.,内部收益率指能够满足下式的,r,为了解出,r,通常会设,:,and solve,36,Example,对现金流,(-2,1,1,1),，它的内部收益率是多少,?,Solve:,Question:,这个多项式只有惟一的正解吗,?,Answer: This can be a problem.,37,关于,IRR,的一个重要结论,Proof: plot,f(c),c,x,0,increasing.,如果现金流,x=(x,0, x,1, ., x,n,),有,x,0, 0,至少有一项是正的,.,那么对以下方程式就有惟一的正解,:,38,内部报酬率实际上就是,到期收益率,(yield to maturity),到期收益率的作用：,1,、债券报价的另一种形式,2,、判断债券是折价还是溢价,3,、判断债券价格低估还是高估,39,由到期收益率的定义，假定,T,年期国债的,面值为,1,元，票息率为,c,，则价格为,上式又可以表示为，,40,1,、如果,c=y,，则,P=1,。票息利率等于到期收益率，则债券价格等于面值。,2,、如果,cy,，则,P1,。票息利率大于到期收益率，则债券将有溢价,premium,3,、如果,cy,，则,P1,。债券将有折价,discount,4,、对于长期债券，,T,非常大，价格接近,c/y,。,永续债券,perpetuity,41,Present Value and,Internal Rate of Return,Present Value (PV),Internal Rate of Return (IRR),Cash Flow Evaluation,Discount factor,Spot and forward rate,42,Example,：,When to cut a tree,？,种树为了卖木材赚钱，有两种砍伐方案,:,(1) After 1 year: Cash Flow: (-1,2),(2) After 2 years: Cash Flow: (-1,0,3),如果,r,1,is 10% r,2,is 12%,你会选哪个,?,43,NPV Solution,(1) NPV = -1 + 2/1.1 = 0.82,(2) NPV = -1 + 3/(1.12),2,= 1.392,NPV says choose option (2).,44,IRR Solution,Choose the one with the greatest internal rate of return.,Solution:,IRR says choose option (1),(1) IRR: -1+2c=0 c=0.5 r=1.0,(2) IRR: -1+3c,2,=0 c=0.577 r=0.7,45,三种债券的现金流量、价格与,IRR,债券,0.5,年,1.5,年,2.5,年,价格,IRR,A 100 1 1 100.8 3.628%,B 1 100 1 95.86 4.183%,C 1 1 100 91.13 4.617%,46,根据表,3.2,的折现因子可以计算现在的价格；利用这些价格，可以分别计算它们的内部收益率。以,A,为例,P,A,=0.9825100,0.93991,0.8921,=100.08,元,A,的,IRR,为,3.628%,因为,47,三种债券的,IRR,与即期收益率的比较,债券,0.5,年,1.5,年,2.5,年,IRR,SR,A 100 1 1 3.628%,3.567%,（,0.5,年）,B 1 100 1 4.183%,4.178%,（,1.5,年）,C 1 1 100 4.617%,4.622%,（,2.5,年）,48,B,债券的价值主要来自第,1.5,年的现金流量，所以它的,IRR 4.183%,接近第,1.5,年的即期利率,4.178%,。,结论：在到期日相同的债券中，并不能说内部收益率高的品种优于其他。,上述三种债券都有合理的定价。,C,的到期收益率最高，仅是因为它的大部分现金流量是以最高的即期利率折现。,49,IRR,是实现的报酬率,?,票息,4.625,到期日,96.2.15,的债券,如果持有债券至到期日，则到期收益率是否就是实际得到的报酬率？,50,上式两边同乘以,(1,y/2),4,则有,这个式子的左侧可以解释为，在,94.8.15,获得第一笔票息,2.3125,元，根据到期收益率,y,再投资至到期日，收益为,2.3125(1+y/2),3,。以次类推，假定再投资利率为,y,，在到期日收取的所有金额就是,100.375(1+y/2),4,，如此则到期收益率代表了实现的债券收益率。,51,但是，并不能保证债券的票息可以根据最初的到期收益率进行再投资。票息的再投资取决于不确定的未来利率，这被称为,再投资风险,reinvestment risk,2.3125,94.2.15,94.8.15,95.2.15,95.8.15,96.2.15,2.3125,2.3125,102.3125,52,NPV and IRR,比例变化,Scaling:,Cash Flows,(-1,2),10,(-1,2),PV (,10%,),0.818,8.18,IRR,r = 1.0,r = 1.0,IRR,体现不了变化, NPV,可以,53,NPV and IRR,重复,Repetition,Cash Flows,(-1,2),(-1,2,-1,2,.),PV (,10%,),0.818,4.71,IRR,r=1.0,r=1.0,NPV,可以区分现金流是否重复, IRR,不能,54,Summary of IRR and NPV,NPV,和,IRR,不一定得到相同的结论。,IRR,也并不能,有效,区分债券的收益高低。,NPV,可以体现现金流的多种情况，所以在评价,现金流的时候比,IRR,更好。,55,作业,Problems,56,下表是各年期零息债券（面值,1000,元）的报价,期限,价格,即期利率,远期利率,0.5,年,943.4,1,年,898.47,1.5,年,847.62,2,年,792.16,1,、请填写表中空格。此处均为半年复利一次的名义利率。,2,、现金流,x=(,x,0,x,0.5,x,1,x,1.5,),为,(-1020,85,85,1085),根据上表计算它的净现值和内部收益率。,57,1.,期限,价格,Spot rate,Forward rate,0.5,年,943.4,12,1,年,898.47,11,10,1.5,年,847.62,11.3,12,2,年,792.16,12,14,58,2,该现金流净现值为,850.9434+850.89847+10850.84762-1020=56.2,1020=85/(1+y/2)+85/(1+y/2),2,+1085(1+y/2),3,当,y=18% P=987.3,当,y=14% P=1039.3648,59,Appendix 1,60,等比数列加总,61,Appendix 2,62,利率期限结构的解释,Q: Why does the term structure shape like this?,Three Explanations,1,期望理论,Expectations Theory,2,流动性偏好,Liquidity Preference,3,市场分割,Market Segmentation,63,Expectations Theory,即期利率是由对利率的市场预期决定的。,Spot rates are determined by the expectations of what interest rates will be.,Ex: If the spot rate curve slopes upward, that is because,people expect interest rates to increase in the future.,64,Liquidity Preference,Investors prefer short term securities over long term,securities because long term securities “tie-up” capital,that may be needed before maturity.,However, there are well developed markets for short and,long term securities. Hence investors can easily get out.,More likely, long term investments are more sensitive,to interest rates. To lessen risk, investors would prefer,short term securities.,65,Market Segmentation,Fixed income market is segmented by maturity dates.,The rate for each maturity date is determined by the group of investors interested in that maturity date. Hence, simple supply and demand among those investors determines the interest rate.,66,Appendix,3,67,费雪的经济理论框架,财富,/,资产,收入,资本,收入的市值,金融理论,价格理论,产权理论,68,资产、收入与资本,资产是一切带来未来收入的资源；,财货（有形的与无形的）,人的能力,人本身,收入,享受的、实际的和货币的,收入是资产或财货提供的服务。,收入流（,income flow),“,收入是一连串事件”（,Income is a series of events,),。,事件（,events),“,一连串事件”构成收入,资本是资产的现时市场价值，是未来收入的折现，或者收入的资本化,Capitalization,利息是连接收入与资本的桥梁,69,利息理论,有形形色色的利息,利息,=,纯利息,+,风险,/,莫测,纯利息,pure interest,1,、没有不履行债务的信用风险,2,、没有通货膨胀的风险,3,、没有需要牺牲其它投资机会的机会成本,70,不耐（,impatience),不耐：急不可耐的现时消费倾向。,享受收入是生命的投入,纯利息：为牺牲“不耐”的出价,降低不耐的其他可能性：收入水平，安全性，教育,71,利息率：自然生长率,投资机会：牺牲现时消费的回报,资本是收入的折现,收入流,净收入流：未来收入减去未来成本,资本与行为解释：人们站在现在，面对未来做选择；选择的机会成本；约束下的行为,72,费雪（,I.Fisher),“二十世纪最伟大的经济学家”。,资本与收入的性质,（,1907,）,“利息论”（,1907,）,利息理论,（,1930,）（上海人民中译本）,把奥地利学派的经济学思想拉回到真实世界里来,73,资金提供者的资金机会成本,(,折现率,),为,10% (,股东与债主的资金的机会成本都是,10%),，各年的资金流量为：,表,1,单位：万元,该公司因为拥有生产机会的财产权，在第一年初投入,510,万元后，就可以在后续的,5,年之中，获得一系列的收入。,第一年初,第一年底,第二年底,第三年底,第四年底,第五年底,资金流量,-510,262.8,306.2,322.3,222.2,152.8,74,若是没有该项投资生产机会，就只能得到资金的机会成本,(,每年,10%),：,要在第一年底获得,262.8,万，第一年初需在别处投资 万元；,要在第二年底得,306.2,万元，第一年初需在别处投资 万元；,要在第三年底得,322.3,万元，第一年初需在别处投资 万元；,要在第四年底得,222.2,万元，第一年初需在别处投资,=151.7,万元；,要在第五年底得,152.8,万元，第一年初需在别处投资 万元。,75,因此，资金提供者因为拥有了投资生产机会的财产权，使得他们在第一年初时只需要投入,510,万元，而不是,980.76,万元,(=238.91+253.06+242.15+151.76+94.88),，就可以得到如表,1,的资金流量，总共节省了,470.76,万元,(=980.76-510),的投资金额。,470.76,万元也可称为这个生产机会的财产权的市场现价，这也代表了若在投资,510,万元之后立刻转售，可获得,980.76,万元。,净现值的计算可以表示为：,= 470.76,76,计算上述投资计划的净现值时，第二项需要考虑的因素的是：,470.76,万元的净现值,(,超额利润,),究竟是为谁所拥有？,在计算净现值时，收入与成本是从,资金提供者,(,股东与债主,),的角度来看的，但是债主投入,100,万元之后所能得到的仅为机会成本,(,是债主在他处所能得到的最高报酬,),，因此，债主的资金的机会成本为下式的,10%,：,亦即债主每年底得利息,10,万元，第,5,年底得本金加利息,110,万元，而他贷出,100,万元后所得到的资金流量的现值即为,100,万元；债主只能得到资金的机会成本，不能得到任何超额利润，因此该投资计划的净现值,470.76,万元是属于拥有生产机会财产权的股东所有。,77,我们可以将净现值式改写为：,拥有生产机会财产权的股东在期初投入,410,万元的现值是,880.76,万元,( = 410 + 470.76),，没有生产机会财产权的债主在期初投入,100,万元的现值仍是,100,万元,( = 100 + 0),。谁拥有生产机会的财产权，谁就能得到超额利润,(,正的净现值,),。,不论是由资金提供者,(,股东加上债主,),的角度来计算净现值，或是由股东的角度来计算净现值，所得到的净现值都是相同的。,78,由于股东拥有生产投资机会才得以拥有超额利润,(,正的净现值,),，因此公司投资的资金来源会以内部资金为优先,(,从留存收益,retained earnings,或由现有的股东出资,),，其次才考虑向外贷款,(,贷款的交易成本通常要高于使用内部资金的交易成本,),，而发行新股并引入新股东来与现有股东分享正的净现值会是个最糟糕的选择。因此公司一旦以发行新股来融资投资计划时，会被外界解读为：一定是个不理想的净现值投资计划，公司如此做的目的，只是想利用新股东的钱来补贴现有的股东，而市场的反应是，现有的股票的价格会立刻下跌。这里的解释也符合,融资顺位理论,(pecking order theory),的说法,79,