Acm竞赛常用算法与数据结构

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常用算法,&数据结构,浙江大学微软技术俱乐部 彭鹏,ACM,竞赛,1,2,、竞赛中常见的,16,种题型,1、,ACM/ICPC,简介,4,、竞赛中基本的数据结构与算法,5、,ZOJ,入门,3,、时空复杂度的分析,2,ACM,A,ssociation for,C,omputing,M,achinery,美国计算机学会,ICPC,I,nternational,C,ollegiate,P,rogramming,C,ontest,国际大学生程序设计竞赛,ACM/ICPC,简介,3,ACM,ACM,(,A,ssociation for,C,omputing,M,achinery),成立于计算机诞生次年，是目前计算机学界中历史最悠久、最具权威性的组织，是推进信息技术专业人员和学生提高技巧的主要力量。,ACM,通过提供前沿技术信息和从理论到实践的转化，为其全球,7.5,万名成员服务，并已经成为信息科技领域的一个基本信息来源。,4,ICPC,ACM,主办的国际大学生程序设计竞赛,(,I,nternational,C,ollegiate,P,rogramming,C,ontest)，,简称,ACM /,ICPC,，,自从,1977,年开始至今已经连续举办,28,届。其宗旨是提供一个让大学生向,IT,界展示自己分析问题和解决问题的能力的绝好机会，并成为一个有效的途径，让下一代,IT,天才可以接触到其日后工作中将要用到的各种软件。,自,1998年,IBM,成为该项竞赛的赞助商以来，大赛规模不断扩大。去年有,71,个国家,1582,所大学派出,4109,支队伍参加了,30,个赛点的分区赛，其中,78,支队伍参加今年,4,月在,上海,香格里拉酒店,举办的世界总决赛。,现在，,ACM / ICPC,已成为世界各国大学生中最具影响力的国际计算机赛事。,5,ICPC,竞赛规则,三人组队,在,46,小时,编写,C/C+,或,Java,程序,解决,610,道题,完成题目数多的队伍优胜,完成题目数一样的队伍,罚时少的优胜,6,ICPC log,A problem,A thought,A solution,A balloon,7,中国各高校,ACM,开展情况,清华大学 上海交通大学,中山大学 复旦大学,北京大学 南京大学,浙江大学,8,浙江大学,ACM,集训队选拔标准,根据校内程序设计竞赛的结果，现拟定集训队具体选拔标准如下：,1. 曾参加过去年暑假集训的队员自愿入围；,未参加过集训，但满足下列条件者自愿入围：,2. 对,ACM ICPC,活动有极大热情，视练习题如游戏；并且,3. 校内程序设计竞赛前,5,名；或者,4. 校内程序设计竞赛第,6-9,名，并且,7月1,日前在,ZOJ,通过至少100 题；或者,5. 校内程序设计竞赛第,10-15,名，并且,7月1,日前在,ZOJ,通过至少 150题；或者,6. 7,月1,日前在,ZOJ,通过至少,200,题。,9,如何建立一支强队,个人的能力,理论,(,几何,数论,动态规划,图论等,),技术,(,编程,),队员能力上的互补,某论坛，一无聊男,yy,的中国“梦之队”,钱文杰（？） 反应奇快，擅长随机化，贪心，,NOI,贪心王,刘汝佳,or,吴嘉之 见多识广，做过的题必别人见过的题多,赵爽 上海交大的“割题手”,10,Leader/Coordinato,(,协调比赛进程,),Reader(,发现题目隐讳的涵义,),Thinker(,逻辑能力强,收集其他队员意见,),Programmer/Debugger(,反应快,/稳,细心,),Helper(,协助比赛,查错,验证数据等,),一支强队需要的角色,11,参考书籍,主要参考书籍,C+ Primer,C+,标准程序库,算法导论,算法艺术与信息学竞赛,组合数学,计算几何,？,历届国家集训队论文,12,网络资源,http:/acm.timus.ru,http:/acm.sgu.ru, Programming(,动态规划,),Greedy(,贪心,),Complete Search(,穷举,),Flood Fill (,种子填充,),16,常见题型,Shortest Path (,最短路径,),Recursive Search Techniques (,回溯）,Minimum Spanning Tree （,最小生成树）,Knapsack（,背包）,17,常见题型,Computational Geometry(,计算几何,),Network Flow(,网络流,),Eulerian Path (,欧拉回路,),Two-Dimensional Convex Hull (,二维凸包,),18,常见题型,BigNums (,大数,),Heuristic Search(,启发式搜索,),Approximate Search (,近似搜索,),Ad Hoc Problems(,杂题,),19,20,枚举法,又叫穷举法，它利用了计算机计算速度快且准确的特点，是最为朴素和有效的一种算法。,不是办法的办法,但有时却是最好的办法,21,Pizza Anyone? （ZOJ 1219）,题目大意：,你需要为你和你的朋友们订一个皮萨。每个朋友都会告诉你他们想和不想放进皮萨里的东西。,你是否能订一个皮萨，让他满足每个人至少一个条件。,假设一共有,16,种东西可以放进皮萨。,22,是个对计算机很小的数,23,贪心法,(,Greedy),矩阵胚理论（详情请参考算法导论）,枚举法的时间效率很低，贪心法恰恰与其相反。并且贪心法的程序也很好实现。,无数论文都指责贪心法往往得不到问题的最优解。,绝世高手与普通高手的差距所在。,24,栈和队列,栈：后进先出（,LIFO）,队列：先进先出（,FIFO）,25,字符串的输入与输出,或,char s100;scanf(%s,s); string a(s);,String a; cin a;,C+,常用头文件,字符串的读入,哪种读入更快？,在输入数据达到,1,M,时，,cin，cout,将比,scanf , printf,在速度上有明显的劣势,26,排序,排序的种类：,交换排序，选择排序，插入排序，堆排序,希尔排序，快速排序，归并排序，桶排序,27,用,C+,实现排序,#,include,数组,a,sort( a , a + 5 );,vector a,sort( a. begin() , a. end() );,28,并查集,并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并问题。,并查集的主要操作有,1,合并两个不相交集合,2,判断两个元素是否属于同一个集合,3,路径压缩,29,Parity(ceoi99),有一个,01,序列,长度,=1000000000,现在有,n,条信息,每条信息的形式是,a b even/odd。,表示第,a,位到第,b,位元素之间的元素总和是偶数,/,奇数。,你的任务是对于这些给定的信息，输出第一个不正确的信息所在位置,-1,。信息的数目不超过,5000,。,如果信息全部正确，即可以找到一个满足要求的,01,序列，那么输出,n。,30,Parity(ceoi99),从整个,01,序列肯定是无法入手的，因为它的长度高达,10,9,。,从范围比较小的,n,入手。也就是说我们需要对信息进行一些特殊的处理。,a b even/odd，,那么将元素,b,指向,a-1，,边的权值是,even/odd。,下面我们由样例来说明一下这个处理方法。,31,Parity(ceoi99)（,肖天）,建立,sum,数组，,sumi,表示从,1到,i,之和是奇（,true）,还是偶（,false），sum0=false。,这样题目中给的任意问题（,a,b）,的答案都可以,用,sumb,xor,suma-1,表示。,开始我们并不知道,sum1.n,的值，不妨设为,false，,这时任意,suma,sumb,都是独立的。对于每对问答,(,a,b,c)，,都可以知道,sumb,xor,suma-1=c,由此把,sumb,和,suma-1,联系起来。这步操作可以用并查集完成，对于问答（,a,b,c）,如果,suma-1,sumb,不属于一个集合就把它们并起来，否则如果,suma-1,xor,sumb,不等于,c,则说明出现矛盾，输出总句数，退出。,对于不出现矛盾的,sum,数组，对于每个集合分为两个部分，我们指定其中一个部分为,true，,另一个部分为,false，,则可以确定,sum,数组，利用,sumi,xor,sumi-1,可以求出第,i,位的数字，由于不同集合之间没有问答出现，所以此数列是一可行解，证明算法正确。,32,堆(,优先队列,),优点：,实现简单,动态维护一组数据中最小（大）的一个,数组维护,33,例题,:,积水,一个长方形网格包含了,n*m,块地，每块地上面有,1,个长方体。每一个长方形盖住了一块地，地的面积,是1,平方英寸。相邻的地上的长方体之间没有空隙。一场大雨降临了这个建筑物，在建筑物的某些区域有积水产生。,给各方格高度,求积水总量,34,分析,定义每块地上的,长方体的高度称为原始高度,积满水时的水面高度称为积水高度（高于积水高度的水一定会流走，低于积水高度的水一定流不走）,积水高度与原始高度之差为积水深度,如果一个长方体上不可能有积水，那么它的积水高度就等于它的原始高度。,最外圈不能积水，积水高度等于原始高度,35,分析,由外而内,计算,。每次选取外围的格子中积水高度最低的一个格子,x，,考虑它周围所有在网格内部的格子,y,想象不断的往,x,和,y,里注水，但是,x,的积水高度固定（想象该高度处有一个小孔），因此,如果,y,的原始高度不小于,x,的积水高度，那么它的积水高度就是它的原始高度,如果,y,的原始高度小于,x,的积水高度，那么它的积水高度就等于,x,的积水高度,每次用堆取出,x,进行,计算，,O(,mn,log,mn,)。,36,哈希表,(,Hash),理论上查找速度最快的数据结构之一,缺点：,需要大量的内存,需要构造,Key,37,Hash,表的实现,数组,冲突解决法,开散列法,闭散列法,C+ sgi stl,实现,38,Hash Key,的选取,数值：,方法一：直接取余数（一般选取质数,M,最为除数）,方法二：平方取中法，即计算关键值的平方，再取中间,r,位形成一个大小为 的表,是多少？,39,字符串：,int ELFhash( char* key ),unsigned int h =,0,;,while( *key ),h = ( h ,24,;,h ,return h % M;,方法二：,ELFhash,函数,方法一：,折叠法：即把所有字符的,ASCII,码加起来,40,二分搜索树,普通的二分搜索树,时间复杂度：,缺点：,容易出现不平衡的情况,AVL Tree ， Splay tree ,红黑树,41,树堆,(,Treap),Treap = Tree + heap,每次插入,/,删除结点的时候，给结点随机分配一个优先级，让,Treap,关于优先级形成一个堆的同时，关于关键码形成,BST,跳跃表、,B,树,42,跳跃表（,Skiplists）,43,线段树,在一类问题中，我们需要经常处理可以映射在一个坐标轴上的一些固定线段，例如说映射在,OX,轴上的线段。由于线段是可以互相覆盖的，有时需要动态地取线段的并，例如取得并区间的总长度，或者并区间的个数等等。一个线段是对应于一个区间的，因此线段树也可以叫做区间树。,44,45,Atlantis （ZOJ 1128）,一个平面被很多矩形覆盖，矩形之间会相互叠加。输出矩形覆盖的总面积。,46,Atlantis （ZOJ 1128）,线段树,矩形切割,47,矩形切割,48,字典树,(,Trie ),当关键字是串的时候，理论上查找最快的数据结构,定义：,保存字符串用的树型数据结构,(,多叉树），其中每个节点表示一个公共前缀，单词信息保存在相应的页节点里面。,49,给如下几个单词，构造的单词树：,An，Ant，All，Allot,Alloy，Aloe，Are，Ate,be,版权归浙江大学,ACM,领队徐串所有,转载需保留此字样,50,T9（ZOJ 1038）,题目描述：手机有智能英文输入法，他根据自己已有的词汇表，即使你每个数字只按一次也可以猜出你要按的是哪个单词（方法就是从所有可能的串中选出出现概率最高的一个）。,词汇表,:,hell 3hello 4idea 8next 8super 3,按435561,是的响应显示,iidhelhellhello,51,动态规划,动态规划的时间效率极高。,动态规划的算法简洁，一般只用边界和状态转移方程就可清晰地表示出进行规划的步骤；而因为有了这些用数学语言描述的天然材料，编程也较为方便。,最重要的一点：动态规划不单是一种思想，也不单是一类算法，它是思想方法和具体算法的混合物。,摘自徐静,动态规划的算法与实现,52,动态规划,无后效性,递推法和记忆化搜索,53,深度优先搜索,(,DFS),按照深度优先的顺序遍历状态空间，通常用递归或者栈来实现。,void,dfs,( state , depth ),if ( state =,结束状态 ）退出；,枚举所有可行状态,更新全局变量；,dfs,(,newstate, depth + 1 );,还原全局变量,54,宽度优先搜索,(,BFS),如果代价和搜索树深度成正比，那么可以通过广度优先搜索得到解。由于空间占用大，,BFS,用处不是很广，一般只用在路径寻找问题中，但是一旦使用，将比深度优先搜括看得多,双向宽度优先搜索,深度优先和宽度优先搜索比较,55,Prime Ring Problem （ZOJ 1457）,A ring is compose of n circles as shown in diagram. Put natural number 1, 2, ., n into each circle separately, and the sum of numbers in two adjacent circles should be a prime.Note: the number of first circle should always be 1. n (0 n 20),56,while ( !deque.empty() ),state = deque0;,deque,.pop();,枚举所有可行状态,tempstate,=,状态改变,(,state);,deque,.push_back(,tempstate,);,宽度优先搜索,(,BFS),宽度优先搜索的框架,57,Winlinez (ZOJ 1591),Now we have a board of 9 * 9 grids, on which there are several beads. These beads have only seven colors, we number them 1 - 7. We define the empty grid to be zero. Each turn you can move any bead on the board to the destination where there is a route between them. The route means that the bead can move up, down, left or right to the adjacent empty grid and may go on until it reaches the destination. After the moving, if there are five or more same-colored beads in a line (row, column, diagonal), they will all be eliminated.,58,博弈问题,给定一个有向无环图,(,X, F)，,其中,X,是一个非空的点集(每个点表示一个位置)，,F,是一个在集合,X,上的函数，对于集合,X,中的任意一个元素,x，F(x),返回一个集合,X,的子集，即，,F(x),表示了由一个位置,x,可以到达的位置。如果,F(x),是空集，则称,x,是一个结束位置。,现在两个人在这样的一个有向图上玩游戏，首先在一个初始位置,x0,上放置了一个棋子，然后他们将按照如下规则进行游戏：,首先由选手,I,从初始位置,x0,进行移动。,两个选手交替移动。,在一个位置,x，,选手可以将棋子移到位置,y,上，其中,yx。,如果轮到某一个选手移动时棋子处在一个结束位置，那么这个选手就会因为无法继续移动棋子而被判输掉这局游戏。,对于给定的有向图和初始位置，请你判断出选手,I,与选手,II,谁会获胜。,楼天城,浅谈一类博弈问题的解法,59,局面,局面,局面,终结局面,局面估价函数,Alpha-Beta,剪枝,60,A Multiplication Game,（,）,Stan,和,Ollie,一起做游戏。游戏的内容是将一个整数乘上到中的任一个数。,Stan,总是从开始，然后两个人交替相乘。在游戏开始前，两个人订了一个数（,1,n4294967295 ),谁先到达，谁就是最后的胜利者。,61,最大公约数最小公倍数,欧几里得辗转相除,int gcd ( int a , int b),return b?gcd(b,a%b):a;,int lcm ( int a , int b),return a / gcd (a , b) * b;,62,筛选法求质数表,Eratosthenes（,埃拉托色尼）筛选法：,每次求出一个新的素数，就把,n,以内的它的所有倍数都筛去。在实现的时候，对于一个素数,p，,只需要筛去 等就可以了，因为 已经在,q,的第一个素因子被找到的时候被筛去了,63,#define N 100,#define M 100,int p M , plist = 0;,int init(),memset( p , 0 , sizeof( p ) );,for ( int i = 2; i = N; i+ ),if ( !p i ),p plist+ = i;,int del = i * i;,while ( del a i + 1 ,if ( i 0 ),return 0;,for ( Min = i + 1 , j = i + 2; j a i & a j a Min ),Min = j;,swap( a i , a Min );,for ( int j = i + 1; j n; j+ ),for ( int k = j + 1; k a k ),swap( a j , a k );,return 1;,69,Catalan,数,将正边形用对角线剖分成三角形的方法数,通项公式,70,Fibonacci,数,Fibonacci,数的,O(lgn),实现,71,彩票,大街上到处在卖彩票，一元钱一张。购买撕开它上面的锡箔，你会看到一个漂亮的图案。图案有,n,种，如果你收集到所有,n,种彩票，就可以得大奖。请问，在平均情况下，需要买多少张彩票才能得到大奖呢？,72,分析,总结,已,有0,个图案,: 拿1,次就可以多搜集一个,已有,1,个图案,:,平均拿,n/(n-1),次就可多搜集一个,已有,k,个图案,:,平均拿,n/(n-k),次就可多搜集一个,所以总次数为,:,n(1+1/2+1/3+1/n),73,数值分析,定,积分,计算(Romberg),多项式求根,(,牛顿法,),线形方程组,(,高斯消元法,),74,生成树问题,最小生成树,(,MST),最大生成树,?,Prim,算法,Kruskal,算法,两种算法的使用范围,75,最短路问题,单源最短路径问题,Dijkstra,多源最短路径问题,Floyd-Warshall,Bellman-ford,76,第,n,短路径,第二最短路径：枚举最短路径上的每条边，每次删除一条，然后求新图的最短路径，取这些图的最短路径。最短的一条即为第二最短路径,第,n,最短路径可以在求解第,n-1,最短路径的基础上求解,77,Arbitrage (ZOJ 1092),题目大意,:,有很多很多种货币,每两种货币之间都有一个汇率,问是否能找到一种套汇,(?),的方法,78,网络流问题,特点：,2.较高的编程复杂度,3.较死板的构造方法,1.较广的使用范围,由于后面的两个特点，网络流算法已经逐步淡出了高中信息学舞台。,但在竞赛中，网络流算法仍占据着一席之地,79,网络流模型,若有向图,G=(V,E),满足下列条件：,有且仅有一个顶点,S，,它的入度为零，即,d-(S) = 0，,这个顶点,S,便称为源点，或称为发点。,有且仅有一个顶点,T，,它的出度为零，即,d+(T) = 0，,这个顶点,T,便称为汇点，或称为收点。,每一条弧都有非负数，叫做该边的容量。边,(,vi, vj),的容量用,cij,表示。,则称之为网络流图，记为,G = (V, E, C),80,最大流,最大流的定义,求有向带权图,G=(V,E,C),的一个流,它满足容量限制条件 ，,且原点提供的流量最大,最大流解法,Ford-Fulkerson method,Push-relabel algorithm,Relabel-to-front algorithm,算法导论第,26章,81,最小费用最大流,给定网络,G=（V，E，C，W），,求网络上的一个流,f，,使得,f,是网络的最大流，且每条弧的流量与费用的乘积加起来的总合,带上下界的最小费用最大流,最小费用路算法,消圈算法,82,网络流算法（金恺）,难点：,网络流在具体问题中的应用，最具挑战性的部分是模型的构造，其次是算法的优化。,构造,没有现成的模式可依，只能根据题目的具体条件来分析。这需要对各种网络流的性质了如指掌，并且归纳总结一些经验，发挥我们的创造性。,一般来说，用得最多的方法是,拆点法,。,优化,是算法的重要环节，它并非朝夕之功就能提高的，必须靠经验的积累。,83,二分图匹配问题,二分图是一类很重要的图，它的顶点可以分成两个集合,X,和,Y，,图的所有边一定是有一个顶点属于集合,X，,另一个顶点属于集合,Y。,84,二分图的最大匹配,同类结点不邻接。图的一个匹配是一些边的集合，任意两条边没有公共端点。图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配,匈牙利算法,网络流解法（,Hopcroft）,85,二分图的最小覆盖,定理,：二分图中点对边的最小覆盖等于其最大匹配数。,M,个是足够的。只需要让它们覆盖最大匹配的,M,条边，则其它边一定被覆盖（如果有边,e,不被覆盖，把,e,加入后得到一个更大的匹配）,M,个是必须的。仅考虑形成最大匹配的这,M,条边，由于它们两两个无公共点，因此至少需要,M,个点才能把它们覆盖,86,二分图的匹配,二分图的最佳匹配,二分图的完美匹配,二分图的完备匹配,稳定婚姻问题,87,独立集,考虑图,G=（V，E）。S,是,V,的一个子集，如果在,S,中任意两个顶点在,G,中都不是邻接的，那么,S,就是,G,的一个独立集。,如果在,G,中不存在具有,|,S1|S|，,则称,S,为,G,的最大独立集,88,诱导子图,顶点,-,导出子图,另,V1,是图,G=(V,E),的顶点集,V,的子集,如果,E1,是,E,的子集,且边,(,vi,vj,),属于,E1,当且仅当,vi,和,vj,属于,V1,那么子图,G1=(V1,E1),就叫做,G,在顶点集,V1,上的导出子图。,如果,vi,和,vj,属于,V1，,那么,E,中任何一条以,vi,和,vj,为端点的边都属于,E1,89,弦图,定理,:,如果一个图的任何诱导子图都不是,K,阶环,(,K=4),那么该图称为弦图,90,Fishing Net (ZOJ 1015),判断一个图是否是弦图,?,91,计算几何,判两条线断相交,判点在多边性内部,二维凸包,叉乘,92,Online Judge,的简称,一种通过网络信息交互在线判题的系统,它模拟了,ICPC,比赛真实的情况,当前世界上规模比较大的,OJ,UVA,ZOJ,URAL,USACO,OJ,是什么,93,Zhejiang university online judge,推荐使用：,gcc + vi,vs2003/vs2005,94,Submission Error,-,提交使用了不正确的队名、题号等。,No Such Problem,-,检查题号有没有填错？,Compile Error,-,程序不能通过编译。,Run Time Error,-,程序运行过程中出现非正常中断。,Memory Limit Exceeded,-,内存使用量超过裁判规定的上限。,Output Limit Exceeded,-,输出数据量过大，多半死循环了,Time Limit Exceeded,-,运行超过时限还没有得到输出结果。,Wrong Answer,-,答案错误。,Presentation Error,-,输出格式不对，可检查空格、回车等等细节。,Accepted,-,恭喜恭喜！,Out Of Contest Time,-,比赛已经结束啦！,Contest Rule Violation,-,宣判极刑，参赛资格随即被取消。,可能收到的反馈信息包括,：,95,常见问题,long long,vc+6.0 _int64,gcc vc+7.0 long long,printf(“%lld”),在处理浮点数时，请选择,double,读入一行,gets() , getline(),96,ZOJ,输入输出,程序提交上去后，服务器（？）会编译它（,gcc),然后重新定向它的输入输出。,所以，,coder,无须担心文件操作之类的事情。,请采取解决一个,case，,就直接打印出来的办法，因为输入输出是分开的，无须担心相互之间会有影响。,请不要混用,cout,和,printf ，,这样很可能得不到希望的结果。,97,ZOJ,输入输出,读到文件的结尾，程序自动结束,while( (,scanf,(“%d”,&a) ) != -1 ),while ( cin a ),读到一个,0,时，程序结束,while(,scanf,(“%d”,&a) & a ),while ( cin a & a ),98,ZOJ,输入输出,读到两个,0,时，程序结束,while(,scanf,(“%d”,&a) & (a | b) ),while ( cin a & ( a | b ) ),读入一个数，程序一共执行次,while( N- ),99,ZOJ,输入输出,每个,case,之后打印一个空行,cout endl;,case,之间有一个空行,需要一个计数器,count,int count = 0;,if( count+ ),cout endl;,100,ZOJ,输入输出,有的题目会告诉你，程序由很多,block,组成，每个,block,又有很多,case,基本上不用理睬它，只要把,block,看成一个大的,case,就好了,通常情况下，打印,1 1 2 3,这样的一行数字时，结尾的数字后面要求没有空格,cout a 0 ;,for ( int i = 1; i n; i+ ),cout “ “ a i ;,101,ZOJ,输入输出,对于大部分的,ACM,题目来说，输入输出并不是题目的难点。出题者一般会遵守大家默认的规则。,不过，也不能保证有的出题者“心血来潮”。比赛的时候一次,PE,是20,分钟的时间。,所以，在平时的训练中，大家一定要养成交题前检查输入输出格式的习惯。,102,Special Judge,一般情况下,ACM,的题目答案都是唯一的。,当答案不能确定时：,1.,修改输出要求，迫使答案唯一,2,.Special Judge,出题者将写一个程序，与后台程序一起验证答案的正确性。,Special Judge,一般会将,PE,判成,WA，,所以要格外小心。,Special Judge,多出现在构造题中。,103,Debug,每道题所能忍受的,Debug,时间,编译器提供的工具,Printf,，,万能的,debug,方法,Debug,位置的选择,104,ZOJ,上的简单题,如何寻找简单题？,什么是简单题？,有没有必要做简单题？,105,谢谢！,106,