第六章非线性方程组的迭代解法

第六章非线性方程组的迭代解法,6.4 非线性方程组的数值解法,6.4.3非线性方程组的Newton法,6,.,4,.,2,非线性方程组的,Newton,法,6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法,1.2,学习目标：,设含有,n,个未知数的,n,个方程的非线性方程组为,(6,4,1),其中 为,n,维列向量，,6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法,中至少有一个是x的非线性函数，并假设自变量和函数值都是实数。多元非线性方程组(6.4.1)与一元非线性方程f(x)=0具有相同的形式，可以与一元非线性方程并行地讨论它的迭代解法。例如不动点迭代法和Newton型迭代法。但是，这里某些定理的证明较为复杂，我们将略去其证明。,(6.4.2),并构造不动点迭代法,(6.4.3),把方程组(6.4.1)改写成下面便于迭代的等价形式：,的解。,是方程组,从而,的不动点，,是迭代函数,即,满足,连续函数.则,的,是自变量,是连续的,即,且,收敛，,若由此生成的序列,对于给定的初始点,),1,.,4,.,6,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,*,*,*,*,*,2,1,2,1,),0,(,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,n,n,f,f,j,j,j,f,=,L,K,例,6.11,设有非线性方程组,(6.4.4),把它写成等价形式,并由此构造不动点迭代法,(6.4.5),取初始点 。计算结果列于表,6,9,，可见迭代收敛到方程的解,表 6-9,k,0,1,2,18,19,0,0.8,0.928,0.999999972,0.999999989,0,0.8,0.931,0.999999972,0.999999989,函数也称映射，若函数 的定义域为 ，则可用映射符号 简便地表示为 。为了讨论不动点迭代法（,6.4.3,）的收敛性，先定义向量值函数的映内性和压缩性。,定义,6.3,设有函数 若,则称 在,D,上是映内的，记做 ，又若存在常数 ，使得,则称 在,D,上是压缩的，,L,称为压缩系数,压缩性与所用的向量范数有关，函数 对某种范数是压缩的，对另一种范数可能不是压缩的。,定理,6.7,（,Brouwer,不动点定理,）若 在有界凸集 上连续并且映内，则 在内 存在不动点。,定理,6.8,（,压缩映射定理,）设函数 在闭集 上是映内的，并且对某一种范数是压缩的，压缩系数为,L,，则,（,1,） 在 上存在唯一的不动点 。,（,2,）对任何初值 迭代法（,6.4.3,）生成的序列 且收敛到 ，并且有误差估计式,例,6.12,对于例,6.11,，设 试证：对任何初始点 ，由迭代法（,6.4.5,）生成的序列的都收敛到方程（,6,4.4,）在 中的唯一解,证：首先容易算出，对于任何 ，都有,因此，迭代函数 在 上是映内的。进而，对于任何,都有,从而,可见，函数 在上 是压缩的。因此，由定理,6.8,得知结论成立。,以上讨论了迭代法在 的收敛性，下面讨论局部收敛性。,定义,6.4,设 为 的不动点，若存在 的一个领域 ，对一切,， 由（6.4.3）式产生的序列 且 ，则称 具有局部收敛性。,则 称为,p,阶收敛,。,定义,6.5,设 收敛于 ，存在常数 及常数,c0,使,定理,6.9,设 ， 为 的不动点，若存在开球 ，常数 ，使,则由,(6.4.3),产生的序列 局部收敛至,证：任给 ，一般的，设 ，即 ，则,得知 ，从而有 。于是，由定义,6.4,知,迭代法（,6.4.3,）在点,处局部收敛。定理得证。,与单个方程的情形类似，有时可以用关于导数的条件代替压缩条件来判别收敛性,定理,6.10,设 ， 在,D,内有一不动点 ，且 在 处可导，且谱半径 ，则迭代法（,6.4.3,）在点 处局部收敛，其中，函数 的导数为,Jacobi,矩阵（见*式）,利用谱半径与范数的关系 ，我们可用 代替定理,6.10,中的条件,（*）,例如，对于例,6.11,有,对于例,6 .12,所取的区域 的不动点 在它的内部。容易验 证，在 上有 ，因此，迭代法（,6.4.5,）在点 处局部收敛。,对于非线性方程组，也可以构造类似于一元方程的,Newton,迭代法。设 是方程组（,6.4.1,）的解， 是方程组的一个近似解。用点 处的一阶,Taylaor,展开式近似每一个分量函数值,，有,其中 为 的,Jacobi,矩阵 在的 值，而,写成向量形式有,6,.,4,.,2,非线性方程组的,Newton,法,若矩阵 非奇异，则可以用使（,6.4.6,）右端为零的向量作为 新的一个近似值，记为 ，于是得到,Newton,迭代法,（6.4.7),其中 是给定的初值向量。如果写成一般不动点迭代,的形式，则,Newton,迭代函数为,(6.4.8),在,Newton,法实际计算过程中，第,k,步是先解线性方程组,解出 后，再令 ，其中包括了计算向量 和矩阵,(6.4.9),例,6.13,用,Newton,法解例,6.11,的方程组（,6.4.4,）,解,对该方程组有,取初始向量 ，解方程组 ，即,求出 后， 。同理计算 结果列于表,6,10,。可见，,Newton,法的收敛速度比例,6.11,中的迭代法（,6.4.5,）要快的多。,表 6-10,k,0,1,2,3,4,0,0.80,0.991787221,0.999975229,1.00000000,0,0.88,0.991711737,0.999968524,1.00000000,关于,Newton,法的收敛性，有下面的局部收敛性定理,定理,6.11,设 ， 满足 。若有 的开邻域 ， 在其上连续， 可逆，则,(2),Newton,迭代序列 在,S,上收敛于 ，且是超线性收敛,。,(1) 存在以 为中心， 为半径的闭球 ,使 （,6.4.8,）式中的 对所有 都有意义，并且,。,（3）,若还有常数 ，使,则,Newton,迭代序列 至少二阶收敛于 。,虽然,Newton,法具有二阶局部收敛性，但它要求 非奇异。如果矩阵 奇异或病态，那么 也可能奇异或病态，从而可能导致数值计算失败或产生数值步稳定。这时可采用,“,阻尼,Newton,法,”,，即把（,6.4.9,）改成,其中的参数 称为阻尼因子， 称为阻尼项，解出 后，令 。加进阻尼项的目的，是使线性方程的系数矩阵非奇异并良态。当 选的很合适时，阻尼,Newton,法时线性收敛的。,例,6,14,用,Newton,法和阻尼,Newton,法求解方程 ，其中,解：易知该方程有一个解是 。由于,6.4.3非线性方程组的Newton法,-pR9A$jL3uWdF)oQ8z!iK2tVcE(nP7y#hJ1sUbD*mO6xZgI0rTaC&lN4wYfH+qS9B%kM3vXeG-pR8A$jL2uWdF)oQoP7y#iJ1sUcD*nO6xZhI0rTbC&mN5wYgH+qSaB%kM4vXfG-pR9A$jL3uWeF)oQ8z!iK2tVdE(nP7y#hJ1sUcD*mO6xZgI0rTaC&lN5wYfH+qS9B%kM4vXeG-pR8A$jL3uWdF)oQ7z!iK2tVcE(nP6y#hJ1sUbD*mO5xZgI+rTaC&lN4wYfH-qS9B%kM3vXeG)pR8A$jL2uW*nO6xZhI0sTbC&mN5wYgH+rSaB%lM4vXfG-pR9A$kL3uWeF)oQ8z!jK2tVdE(nP7y#iJ1sUcD*mO6xZhI0rTbC&lN5wYfH+qSaB%kM4vXeG-pR9A$jL3uWdF)oQ8z1sUcD*mO6xZgI0rTbC&lN5wYfH+qSaB%kM4vXeG-pR9A$A!jK2uVdE(oP7z#iJ1tUcD*nO6xZhI0sTbC&mN5wYgH+rSaB%lM4vXfG-qR9A$kL3uWeF)pQ8z!jK2tVdE(oP7y#iJ1sUcD*mO6xZhI0rTbC&lN5wYgH+qSaB%kM4vXfG-pR9A$jL3uWeF)oQ8z!iK2tVcE(nP7y#hJ1sUbD*mO6xZgI0rTaC&lN5wYfH+qS9jK2uVdF(oP7z#iJ1tUcE*nO6yZhI0sTbC&mN5xYgH+rSaB%lM4wXfG-qR9A$kL3vWeF)pQ8z!jK2uVdE(oP7y#iJ1tUcD*nO6xZhI0rTbC&mN5wYgH+qSaB%lM4vXfG-pR9A$kL3uWeF)oQ8z!jK2tVdE(nP7y#hJ1sUcD*mO6xZgI0rTbC&lN5wYfH+qSaB%kMkL3vWeF)pQ8A!jK2uVdE(oP7z#iJ1tUcD*nO6xZhI0sTbC&mN5wYgH+rSaB%lM4vXfG-qR9A$kL3uWeF)pQ8z!jK2tVdE(oP7y#iJ1sUcD*mO6xZhI0rTbC&lN5wYgH+qSaB%kM4vXfG-pR9A$jL3uWeF)oQ8z!iK2tVdE(nP7y#hJ1sUbD*mO6fH-qR9B$kL3vWeG)pQ8A!jK2uVdF(oP7z#iJ1tUcE*nO6yZhI0sTbC&mN5xYgH+rSaB%lM4wXfG-qR9A$kL3vWeF)pQ8z!jK2uVdE(oP7y#iJ1tUcD*nO6xZhI0rTbC&mN5wYgXfH-qR9B$kM3vWeG)pQ8A!jL2uVdF(oP7z#iK1tUcE*nO6yZhJ0sTbD&mN5xYgH+rSaC%lM4wXfG-qR9B$kL3vWeF)pQ8A!jK2uVdE(oP7z#iJ1tUcD*nO6xZhI0sTbC&C%lN4wXfH-qS9B$kM3vWeG)pR8A!jL2uVdF(oQ7z#iK1tUcE*nP6yZhJ0sTbD&mN5xYgI+rSaC%lM4wXfH-qR9B$kL3vWeG)pQ8A!jK2uVdF$kL3uWeF)pQ8z!jK2tVdE(oP7y#iJ1sUcD*mO6xZhI0rTbC&lN5wYgH+qSaB%kM4vXfG-pR9A$jL3uWeF)oQ8z!iK2tVdE(nP7y#hJ1sUbD*mO6xZ-qR9B$kL3vWeG)pQ8A!jK2uVdF(oP7z#iJ1tUcE*nO6yZhI0sTbD&mN5xYgH+rSaB%lM4wXfG-qR9A$kL3vWeF)pQ8z!jK2uVdE(oP7y#iJ1tUcD*nO6xZhI0rTbC&mN5wYgH+qSaB%lM4vXfG-pR9A$kL3uWeF)oQ8z!jK2tVdE(nP7y6yZhJ0sTbD&mN5xYgH+rSaC%lM4wXfG-qR9B$kL3vWeF)pQ8A!jK2uVdE(oP7z#iJ1tUcD*nO6yZhI0sTbC&mN5wYgH+rSaB%lM4vXfG-qR9A8A!jL2uVdF(oQ7z#iK1tUcE*nP6yZhJ0sTbD&mO5xYgI+rSaC%lM4wXfH-qR9B$kL3vWeG)pQ8A!jK2uVdF(oP7z#iJ1tUcE*nO6yZhI0sTbC&mN5xYgH+rSaB%lM4wXfG-qR9A$kL3vWeF)pQ8z!jK2uVdE(oP7y#irTaC&l!iK2tVdE(nP7y#hJ1sUbD*mO6xZgI0rTaC&lN5wYfH+qS9B%kM4vXeG-pR8A$jL3uWdF)oQ7z!iK2tVcE(nP6y#hJ0sUbD*mO5xZgI+rTaC&lN4wYfH-8z!jK2uVdE(oP7y#iJ1tUcD*nO6xZhI0sTbC&mN5wYgH+qSaB%lM4vXfG-pR9A$kL3uWeVdF(oP7z#iK1tUcE*nO6yZhJ0sTbD&mN5xYgI+rSaC%lM4wXfG-qR9B$kL3vWeF)pQ8A!jK2uVdE(oP7z#iJ1tUcD*nO6yZhI0sTbTaC%lN4wXfH-qS9B$kM3vWeG)pR8A!jL2uVdF(oQ7z#iK1tUcE*nP6yZhJ0sTbD&mO5xYgI+rSaC%lM4wXfH-qR9B$kL3vWeG)pO6yZhI0sTbC&mN5xYgH+rSaB%lM4wF)oQ7z!iK1tVcE(nP6y#hJ0sUbD&mOA!jK2uVdF(oP7z#iJ1tUcD*nO6yZhI0sTbC&mN5xYgHR8A$jL2uWdF)oQ7z!iK1tVcE(nP6y#hJ0sUbD&mO5xZgI+rTaC%lN4wYfH-qS9B$kM3vXeG)pR8A!jL2uWdF(oQ7z#iK1tVcE*nP6yZhJ0sTbD&mO5xYgI+rSaC%lN4wXfH-qR9B$kM3vWeG)pQ8A!jL2uVdFcE(nP6y#hJ1sUbD*mO5xZgI+rTaC&lN4wYfH-qS9B%kM3vXeG)pR8A$jL2uWdF(oQ7z!iK1tVcE*nP6yZhJ0sUbD&mO5xYgI+rTaC%lN4wXfH-qS9B$kM3vWeG)pR8A!jL2uVdF(oQ7z#iK1bC&lN5wYfH+qSaB%kM4vXeG-pR9A$jL3ugI+rTaC%lN4wXfH-qS9B$kM3vWeG)pR8A!jL2uVdF(oQ7z#iK1tUcE*nO6yZhqSaB%kM4vXeG-pR9A$jL3uWdF)oQ8z!iK2tVcE(nP7y#hJ1sUbD*mO6xZgI0rTaC&lN4wYfH+qS9B%kM3vXeG-pR8A$jL2uWdF)oQ7z!iK1tVcE(nP6y#hZhI0rTbC&mN5wYgH+qSaB%kM4vXfG-pR9A$jL3uWeF)oQ8z!iK2tVdE(nP7y#hJQ8A!jK2uVdF(oP7z#y#hJ0sUbD*mO5xZgI+rTaC%lN4wYfH-qS9B$kM3vXeG)pR8A!jL2uWdF(oQ7z#iK1tVcE*nP6yZhXeG-pR8A$jL3uWdF)oQ7z!iK1tVcE(nP6y#hJ0sUbD*mO5xZgI+rTaC&lN4wYfH-qS9B%kMVdE(oP7y#iJ1tUcD*nO6xZhI0rTbC&mN5wYgH+qSaB%lM4vXfG-pR9A$kL3uWeF)oQ8z!jK2tVdE(nP7y#iJ1sUcD*mO6xZgI0rTbC&lN5wYfXfG-qR9B$kL3vWeF)pQ8AJ1sUbD*mO5xZgI0rTaC&lN4wYfH-qS9B%kM3vXeG)pR8A$jL2uWdF(oQ7z!iK1tVcE*nP6y#hJ0sUbD&mO5xZgI+rTaC%lN4wXfH-qSnP7y6yZhI0sTbC&mN5wYgH+rSaB%lM4vXfG-qR9A$kL3uWeF)pQ8z!jK2tVdE(oP7y#iJ1sUcD*mO6xZhI0rTbC&lN5wYgH+qSaB%kM4vXfG-pR9A$jL3uWeF)6yZhJ0sTbD&mO5xYgI+rSaC%lM4wXfH-qR9B$kL3vWeG)pQ8A!jK2uVdF(oP7z#iJ1tUcE*nO6yZhI0sTbD&mN5xYgH+rSaB%lM4wXfXeG)pR8A!jL2uWdF(oQ7z#iK1tVcE*nP6yZhJ0sUbD&mO5xYgI+rSoQ7z!iK2tVcE(nP6y#hJ0sUbD*mO5xZgI+rTaC&lN4wYfH-qS9B%kM3vXeG)pR8A$jL2uWdF(oQ7hI0sTbC&mN5wYgH+qSaB%lM4vXfG-pR9A$kL3uWeF)oQ8z!jK2tVdE(nP7y#iJ1sUcD*mO6xZgI0rTbC&lN5wYfH+qSaB%kM4vXeG-pR9A$jL3uWdF)oQ8z!z#iJ1tUcD*nO6yZhI0sTbC&mN5wYgH+rSaB%lM4vXfG-qR9A$kL3uWeF)pQ8z!jKS9B$kM3vWeG)pR8A!jLiK2tVcE(nP7y#hJ1sUbD*mO5xZgI0rTaC&lN4wYfH+qS9B%kM3vXeG-pR8A$jL2uWdF)oQ7z!iK1tVcE(nP6y#hZhI0rTbC&lN5wYgH+qSaB%kM4vXfG-pR9A$jL3uWeF)oQ8z!iK2tVdE(nP7y#hJ1sUcD*mO6xZgI0rTaC&lN5wYfH+qS9B%kM4vXeG-pR8A$jL3uWdF)oQ7z!iK2tD&mN5xYgH+r(oQ7z#iK1tVcE*nwYgH+qSaB%kM4vXfG-pR9A$jL3uWeF)oQ8z!iK2tVdE(nP7y#hJ1sUcD*mO6xZgI0rTbC&lN5wYfH+qS9B%kM4vXeG-pR8A$jL3uWdF)oQ7z!iK2J1tUcD*nO6xZhI0sTbC&mN5wYgH+qSaB%lM4vXfG-pR9A$kL3uWeF)oQ8z!jK2tVdE(nPnO6yZhJ0sTbD&mN5xYgI+rSaC%lM4wXfG-3vXeG)pR8A$jL2uWdF(oQ7z#iK1tVcE*nP6yZhJ0sUbD&mO5xYgI+rTaC%lN4wXfH-qS9B$kM3vWeG)pQ8A!jL2uVdF(oP7P6y#hJ1sUbD*mO5xZgI0rTaC&lN4wYfH+qS9B%kM3vXeG-pR8A$jL2uWdF(oQ7z!iK1tVcE*nP6y#hJ0sUbD&mO5xZgI+rTqSaB%kM4vXfG-pR9A$jL3uWeF)oQ8fH-qR9B$kL3vWeF)pQ8A!jK2uVdE(oPnP6y#hJ0sUbD&mO5xZgI+rTaC%lN4wYfH-qS9B$kM3vXeG)pR8A!jL2uVdF(oQ7z#iK1tUcE*nP6yH+qSaB%kM4vXfG-pR9A$jL3uWeF)oQ8z!iK2tVdE(nP7y#hJ1sUbD*mO6xZgI0rTaC&lN5wYfH+qS9B%kM4vXeG-pR8A$jL3uWdF)A$jL3uWeF)oQ8z!iK2tVdE(nP7y#hJ1sUsTbC&mN5xYgH+rSaB%lM4wXfG-qR9A$kL3vWeF)pQ8z!jK2uVdE(oP7y#iJ1tUcD*nO6xZhI0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