计算方法 插值法ch02a r

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,1,第二章,插值法,计算方法,2,插值法,许多实际问题都用函数来表示某种内在规律的数量关系,但函数表达式无法给出，只有通过实验或观测得到的数据表,如何根据这些数据推测或估计其它点的函数值？,例：,已测得在某处海洋不同深度处的水温如下：,深度（,M） 466 741 950 1422 1634,水温（,o,C） 7.04 4.28 3.40 2.54 2.13,根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500、600、,800,米）处的水温。,为什么要插值,3,插值基本概念,已知函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,上有定义，且已经测得在点,a,x,0,x,1,x,n,b,处的函数值为,y,0,=,f,(,x,0,)， ，,y,n,=,f,(,x,n,),什么是插值,如果存在一个,简单易算,的函数,P,(,x,),，使得,P,(,x,i,) =,f,(,x,i,)，,i,= 0, 1, . ,n,则称,P,(,x,),为,f,(,x,),的,插值函数,插值区间,插值节点,求插值函数,P,(,x,),的方法就称为,插值法,插值节点,无需递增排列,，但必须确保,互不相同,！,插值条件,4,常用插值法,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,多项式插值：,P,(,x,),为多项式函数,-,最常用的插值函数,分段插值：,P,(,x,),为分段多项式函数,三角插值：,P,(,x,),为三角函数, ,P,(,x,),常用插值法,5,多项式插值,多项式插值,已知函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,上,n,+ 1,个点,a,x,0,x,1, ,x,n,b,处的函数值为,y,0,=,f,(,x,0,)， ，,y,n,=,f,(,x,n,),求次数,不超过,n,的多项式,P,(,x,) =,c,0,+,c,1,x,+, ,+,c,n,x,n,，使得,P,(,x,i,) =,y,i,，,i,= 0, 1, . ,n,满足上述条件的多项式,存在,且,唯一,定理,证明：,利用,Vandermonde,行列式即可,证明过程给出了一种求,P,(,x,),的方法，但较复杂，一般不用！,P,(,x,),的次数可能小于,n,6,基函数插值法,基函数,法,通过基,函数来构造,插值多项式的方法,就,称为,基函数,插值,法,Z,n,(,x,),=,次数不超过,n,的多项式的全体,记,n,+1,维线性空间,设,z,0,(,x,),z,1,(,x,), . ,z,n,(,x,),构成,Z,n,(,x,),的一组基，则插值多项式,P,(,x,) =,a,0,z,0,(,x,) +,a,1,z,1,(,x,),+, ,+,a,n,z,n,(,x,),寻找合适的基函数,确定插值多项式在这组基下的表示系数,基函数法基本步骤,7,Lagrange,插值,Lagrange,插值基函数,设,l,k,(,x,),是,n,次多项式，在插值节点,x,0,x,1, ,x,n,上满足,则称,l,k,(,x,),为节点,x,0,x,1, ,x,n,上的,拉格朗日插值基函数,8,Lagrange,插值,l,0,(,x,),l,1,(,x,), ,l,n,(,x,),构成,Z,n,(,x,),的一组,基,性质,注意,l,0,(,x,),l,1,(,x,), ,l,n,(,x,),与插值节点有关，,但与函数,f,(,x,),无关,l,k,(,x,),的表达式,由构造法可得,9,Lagrange,插值,如何用,Lagrange,基函数求,P,(,x,),P,(,x,) =,a,0,l,0,(,x,) +,a,1,l,1,(,x,),+, ,+,a,n,l,n,(,x,),将,P,(,x,i,) =,y,i,，,i,= 0, 1, . ,n,代入，可得,a,i,=,y,i,，,i,= 0, 1, . ,n,P,(,x,) =,y,0,l,0,(,x,) +,y,1,l,1,(,x,),+, ,+,y,n,l,n,(,x,),Lagrange,插值多项式,10,线性与抛物线插值,两种特殊情形,n,=1,线性插值多项式（一次插值多项式）,n,=2,抛物线插值多项式（二次插值多项式）,11,插值举例,例：,已知函数,y,= ln,x,的函数值如下,解,：,x,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,ln,x,-,0.9163,-,0.6931,-,0.5108,-,0.3567,-,0.2231,试分别用,线性插值,和,抛物线插值,计算,ln 0.54,的近似值,线性插值,：,取,x,0,=,0.5, x,1,=,0.6,得,将,x=,0.54,代入可得：,ln 0.54,L,1,(0.54) =,-,0.6202,为了减小截断误差，通常选取插值点,x,邻接的插值节点,12,插值举例,抛物线插值,：,取,x,0,=,0.4, x,1,=,0.5, x,2,=,0.6,可得,ln 0.54,L,2,(0.54) =,-,0.6153,在实际计算中，不需要给出插值多项式的表达式,ex21.m,ln 0.54,的精确值为：,-,0.616186,可见，抛物线插值的精度比线性插值要高,Lagrange,插值多项式简单方便，只要取定节点就可写出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。,13,误差估计,如何估计误差,插值余项,定理,设,f,(,x,),C,n,a,b,(,n,阶连续可微,),，且,f,(,n,+1),(,x,),在,(,a,b,),内存在，则对,x,a,b,，有,其中,x,(,a,b,),且与,x,有关,证明：,14,插值余项,由插值条件可知：,R,n,(,x,i,)=0,i,=0, 1, ,n,R,n,(,x,),在,a,b,上至少有,n,+1,个零点,对任意给定的,x,a,b, (,x,x,i,i,=0, 1, .,n,),，构造辅助函数,则 在,a, b,中有,n,+2,个互不相同的零点：,x,x,0, ,x,n,R,n,(,x,),可写成,罗尔,定理,15,插值余项,由,Rolle,定理可知 在,(,a,b,),内至少有,n,+1,个不同的零点；,同理可知 在,(,a,b,),内至少有,n,个零点；,又,f,(,x,),C,n,a,b,，且,f,(,n,+1),(,x,),在,(,a,b,),内存在,以此类推，可知 在,(,a,b,),内至少有一个零点，设为,x,，,即 ，,x,(,a,b,),。,16,插值余项,余项公式只有当,f,(,x,),的高阶导数存在时才能使用,几点说明,计算插值点,x,上的近似值时，应选取与,x,相近插值节点,如果 ，则,x,与,x,有关，通常无法确定,实际使用中通常是估计其上界,17,Lagrange,基函数性质,Lagrange,基函数的两个重要性质,当,f,(,x,),为一个次数,n,的多项式时，有,故,即,n,次插值多项式对于次数,n,的,多项式是,精确,的,若,f,(,x,) =,x,k,，,k,n,，则有,特别地，当,k =,0,时有,Lagrange,基函数的两个重要性质,18,插值误差举例,例：,已知函数,y,= ln,x,的函数值如下,x,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,ln,x,-,0.9163,-,0.6931,-,0.5108,-,0.3567,-,0.2231,试估计,线性插值,和,抛物线插值,计算,ln 0.54,的误差,解,：,线性插值,x,0,=,0.5, x,1,=,0.6,(0.5, 0.6),19,插值误差举例,抛物线插值,：,x,0,=,0.4, x,1,=,0.5, x,2,=,0.6,(0.4, 0.6),高次插值通常优于低次插值,但绝对不是次数越高就越好，,嘿嘿,20,插值误差举例,例：,函数 ，插值区间,-,5, 5,，取等距节点，,试画出插值多项式,L,的图像,ex22.m,例：,教材,28,页例,1,，,29,页例,3,（板书）,21,作业,教材 第,48,页：,4,、,5,、,6,提示,第,6,题的意思是采用等距节点插值，,不要写出函数值插值节点的函数值,