一可对角化的概念

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,7.5,对角矩阵,一、可对角化的概念,二、可对角化的条件,7.5 对角矩阵,三、对角化的一般方法,第七章 线性变换,定义,1,：设 是 维线性空间,V,的一个线性变换，,如果存在,V,的一个基，使 在这组基下的矩阵为对,角矩阵，则称,线性变换可对角化,.,矩阵，则,称矩阵,A,可对角化,.,定义,2,：矩阵,A,是数域 上的一个 级方阵. 如果,存在一个 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角,一、可对角化的概念,1.,(,定理,7),设 为 维线性空间V的一个线性变换，,则 可对角化 有 个线性无关的特征向量.,证：设 在基 下的矩阵为对角矩阵,则有,二、可对角化的条件,就是 的,n,个线性无关的特征向量.,反之，若 有 个线性无关的特征向量,那么就取 为基，则在这组基下 的矩阵,是对角矩阵.,2.,(,定理,8),设 为,n,维线性空间,V,的一个线性变换,如果 分别是 的属于互不相同的特征值,的特征向量，则 线性无关.,证：对,k,作数学归纳法.,当 时， 线性无关. 命题成立.,假设对于 来说，结论成立. 现设为,的互不相同的特征值， 是属于 的特征向量，,即,以 乘式的两端，得,设,又对式两端施行线性变换 ，得,式减式得,由归纳假设， 线性无关，所以,但 互不相同，所以,将之代入，得,故 线性无关.,特别地,，,(,推论2,),在复数域,C,上的线性空间中，,3.,(,推论1,),设为,n,维线性空间,V,的一个线性变换,，,则 可对角化.,如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可,如果 的特征多项式在数域,P,中有,n,个不同特征值，,对角化.,特征值 的线性无关的特征向量，,则向量 线性无关.,4.,(,定理9,),设为线性空间,V,的一个线性变换，,是 的不同特征值，而 是属于,证明,：首先， 的属于同一特征值 的特征向量,的非零线性组合仍是 的属于特征值 的一个特征,向量.,令,由有，,设,若有某个 则 是 的属于特征值 的,特征向量.,而 是互不相同的，由定理,8,，,必有所有的,即,而 线性无关，所以有,故 线性无关.,为的特征子空间.,5.,设为,n,维线性空间,V,的一个线性变换，,为 全部不同的特征值，则可对角化,6.,设为,n,维线性空间,V,的一个线性变换，,若 在某组基下的矩阵为对角矩阵,则,1,） 的特征多项式就是,2,）对角矩阵,D,主对角线上元素除排列次序外是唯一,确定的,它们就是的全部特征根,(,重根按重数计算,).,三、对角化的一般方法,1,求出矩阵,A,的全部特征值,2,对每一个特征值 ，求出齐次线性方程组,设 为维线性空间,V,的一个线性变换，,为,V,的一组基，在这组基下的矩阵为,A.,步骤:,的一个基础解系（此即的属于 的全部线性无关,的特征向量在基下的坐标）.,3,若全部基础解系所含向量个数之和等于,n,，则,（或矩阵A）,可对角化. 以这些解向量为列，作一个,n,阶方阵,T,，则,T,可逆， 是对角矩阵. 而且,有,n,个线性无关的特征向量从而,T,就是基到基的过渡矩阵.,下的矩阵为,基变换的过渡矩阵.,问 是否可对角化. 在可对角化的情况下，写出,例,1.,设复数域上线性空间,V,的线性变换 在某组基,解：,A,的特征多项式为,得,A,的特征值是,1、1、1,.,解齐次线性方程组 得,故其基础解系为：,所以，,是的属于特征值,1,的两个线性无关的特征向量.,再解齐次线性方程组 得,故其基础解系为：,所以，,是 的属于特征值,1,的线性无关的特征向量.,线性无关，故 可对角化，且,在基 下的矩阵为对角矩阵,即基 到的过渡矩阵为,例,2,.,问,A,是否可对角化？若可，求可逆矩阵,T,，使,为以角矩阵. 这里,得,A,的特征值是,2、2、,-,4,.,解:,A,的特征多项式为,对于特征值,2,，求出齐次线性方程组,对于特征值,4,，求出齐次方程组,的一个基础解系:,（2、1、0），（1、0、1）,的一个基础解系:,令,则,所以,A,可对角化.,是对角矩阵（即,D,不可对角化）.,项式.并证明：,D,在任何一组基下的矩阵都不可能,练习：,在 中, 求微分变换,D,的特征多,解：在 中取一组基：,则,D,在这组基下的矩阵为,于是,D,的特征值为0（,n,重）.,的系数矩阵的秩为,n,1，从而方程组的基础解系,故,D,不可对角化 .,又由于对应特征值,0,的齐次线性方程组,只含有一个向量，它小于的维数,n,（1）,.,