工程数学第7讲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,工程数学,第7讲,本文件可从网址,(单击ppt讲义后选择工程数学子目录),1,2,3,由此, 当,z,z,0,时, 得,而,y,(,z,)=1/,j,(,z,)在,z,0,解析, 并且,y,(,z,0,),0, 所以,z,0,是,f,(,z,)的,m,级极点.,证毕,这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.,4,5,6,5. 函数在无穷远点的性态,如果函数,f,(,z,)在无穷远点,z,=,的去心邻域,R,|,z,|内解析, 称点为,f,(,z,)的孤立奇点.,7,8,规定, 如果,t,=0是,j,(,t,)的可去奇点,m,级极点或本性奇点, 则称点,z,=,是,f,(,z,)的可去奇点,m,级极点或本性奇点.由于,f,(,z,)在,R,|,z,|+内解析, 所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数, 根据(4.4.5)与(4.4.8),C,为,R,|,z,|+内,绕原点任何一条简单正向闭曲线,9,如果在级数(5.1.6)中i)不含负幂项, ii)含有有限多的负幂项, 且,t,-,m,为最高幂, iii)含有无穷多的负幂项, 则,t,=0是,j,(,t,)的i)可去奇点,ii),m,级极点, iii)本性奇点.,10,因此, 在级数(5.1.5)中, i)不含正幂项;ii)含有限多的正幂项, 且,z,m,为最高幂;iii)含有无穷多的正幂项;则,z,=,是,f,(,z,)的i)可去奇点;ii),m,级极点;iii)本性奇点.,11,12,13,14,2,留数,15,1. 留数的定义及留数定理,如果函数,f,(,z,)在,z,0,的邻域内解析, 那末根据柯西-古萨基本定理,但是, 如果,z,0,为,f,(,z,)的一个孤立奇点, 则沿在,z,0,的某个去心邻域0|,z,-,z,0,|,R,内包含,z,0,的任意一条正向简单闭曲线,C,的积分,一般就不等于零.,16,因此将,f,(,z,)在此邻域内展开为洛朗级数,f,(,z,)=.+,c,-,n,(,z,-,z,0,),-,n,+.+,c,-,1,(,z,-,z,0,),-,1,+,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.+,c,n,(,z,-,z,0,),n,+.后,两端沿,C,逐项积分, 右端各项积分除留下,c,-,1,(,z,-,z,0,),-,1,的一项等于2,p,ic,-,1,外, 其余各项积分都等于零, 所以,其中,c,-,1,就称为,f,(,z,)在,z,0,的留数, 记作Res,f,(,z,),z,0, 即,17,定理一(留数定理),设函数,f,(,z,)在区域,D,内除有限个孤立奇点,z,1,z,2,.,z,n,外处处解析.,C,是,D,内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则,D,z,1,z,2,z,3,z,n,C,1,C,2,C,3,C,n,C,18,证, 把在,C,内的孤立奇点,z,k,(,k,=1,2,.,n,)用互不包含的正向简单闭曲线,C,k,围绕起来, 则根据复合闭路定理有,19,求函数在奇点,z,0,处的留数即求它在以,z,0,为中心的圆环域内洛朗级数中,c,-,1,(,z,-,z,0,),-,1,项的系数即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利. 如果,z,0,是,f,(,z,)的可去奇点, 则Res,f,(,z,),z,0,=0, 因为此时,f,(,z,)在,z,0,的展开式是泰勒展开式. 如果,z,0,是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好将其按洛朗级数展开. 如果,z,0,是极点, 则有一些对求,c,-,1,有用的规则.,20,2. 留数的计算规则规则1,如果,z,0,为,f,(z)的一级极点, 则,规则2,如果,z,0,为,f,(z)的一级极点, 则,21,事实上, 由于,f,(,z,)=,c,-,m,(,z,-,z,0,),-,m,+.+,c,-,2,(,z,-,z,0,),-,2,+,c,-,1,(,z,-,z,0,),-,1,+,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.,(,z,-,z,0,),m,f,(,z,)=,c,-,m,+,c,-,m,+1,(,z,-,z,0,)+.+,c,-,1,(,z,-,z,0,),m,-,1,+,c,0,(,z,-,z,0,),m,+.,令两端,z,z,0, 右端的极限是(,m,-,1)!,c,-,1, 两端除以(,m,-,1)!就是Res,f,(,z,),z,0, 因此即得(5.2.5), 当,m,=1时就是(5.2.4),22,23,24,由规则1, 得,25,我们也可以用规则III来求留数:,这比用规则1要简单些.,26,27,28,29,30,3.在无穷远点的留数,设函数,f,(,z,)在圆环域,R,|,z,|,内解析,C,为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分,的值与,C,无关, 称其为,f,(,z,)在,点的留数, 记作,积分路线的方向是负的.,31,定理二,如果函数,f,(,z,)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末,f,(,z,)在所有各奇点(包括,点)的留数总和必等于零.,证, 除点外, 设,f,(,z,)的有限个奇点为,z,k,(,k,=1,2,.,n,). 又设,C,为一条绕原点的并将,z,k,(,k,=1,2,.,n,)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有,32,33,34,3,留数在定积分计算上的应用,35,1. 形如 的积分,其中,R,(cos,q,sin,q,)为cos,q,与sin,q,的有理函数. 令,z,=e,i,q, 则d,z,=,i,e,i,q,d,q,36,其中,f,(,z,)是,z,的有理函数, 且在单位圆周|,z,|=1上分母不为零, 根据留数定理有,其中,z,k,(,k,=1,2,.,n,)为单位圆|z|=1内的,f,(,z,)的孤立奇点.,37,例1,计算 的值.,解, 由于0,p,1, 被积函数的分母在0,q,p,内不为零, 因而积分是有意义的. 由于,cos2,q,=(e,2,i,q,+e,-,2,i,q,)/2=(,z,2,+,z,-,2,)/2, 因此,38,在被积函数的三个极点,z,=0,p,1/,p,中只有前两个在圆周|,z,|=1内, 其中,z,=0为二级极点,z,=,p,为一级极点.,39,40,41,取积分路线如图所示, 其中,C,R,是以原点为中心,R,为半径的在上半平面的半圆周. 取,R,适当大, 使,R,(,z,)所有的在上半平面内的极点,z,k,都包在这积分路线内.,z,1,z,2,z,3,y,C,R,-,R,R,O,x,42,此等式不因,C,R,的半径,R,不断增大而有所改变.,43,44,45,46,3. 形如 的积分,当,R,(,x,)是,x,的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 且,R,(,x,)在实数轴上没有奇点时, 积分是存在的,象2中处理的一样, 由于,m,-,n,1, 故对充分大的|,z,|有,47,因此, 在半径,R,充分大的,C,R,上, 有,48,49,50,还可以利用复变函数计算出下列积分值:,51,作业 第五章习题,第183页开始,第1题 第1),2),3)小题,第8题 第1),2),3)小题,第9题 第1),2)小题,52,