合情推理在数列中的体现

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,合情推理在数列中的体现,能力的内涵的优质发展案例报告,1,一、归纳推理在数列中的体现,二、类比推理在数列中的体现,三、合情推理在解数列综合题中的体现,“在数学里，发现真理的主要工具也是,归纳,和,类比,。”,法国数学家拉普拉斯,（1749-1827,),合,情,推,理,2,归纳推理：归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。,例1、观察下列等式:,由以上等式推测到一个一般的结论：,2009，浙江高考题第15题,一、归纳推理在数列中的体现,3,一、归纳推理在数列中的体现,由于加减号未注意，错成 2,4n1,+2,2n1,由于加减号搞反了，错成 2,4n1,(1),n,2,2n1,由于未注意到n得取值从1开始，将4n1错成 4n+3，或将2n1错成2n+1,学生典型错误有如下三种：,解：这是一种需归纳推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 ，二项指数分别为 ，因此对于任意的,4,一、归纳推理在数列中的体现,(,2010年考试说明中的参考试卷),已知,a,0,0., 设方程,a,0,x,a,1,0的1个根是,x,1, 则,x,1,a,1,/ a,0, 设方程,a,0,x,2,a,1,x,a,2,0的2个根是,x,1,x,2, 则,x,1,x,2, a,2,/a,0,；, 设方程,a,0,x,3,a,1,x,2,a,2,x,a,3,0的3个根是,x,1,x,2,x,3, 则,x,1,x,2,x,3, a,3,/ a,0,；, 设方程,a,0,x,4,a,1,x,3,a,2,x,2,a,3,x,a,4,0的4个根 是,x,1,x,2,x,3,x,4, 则,x,1,x,2,x,3,x,4, a,4,/ a,0,；,由以上结论, 推测出一般的结论:,设方程,a,0,x,n,a,1,x,n,-1,a,2,x,n,-2,a,n,-1,x,a,n,0的,n,个根是,x,1,x,2, ,x,n,则,x,1,x,2,x,n,_.,(1),n,a,n,/a,0,相关试题1,:,5,例2、（2009年高考湖南卷理科第15题）,将正,ABC分割成n,2,(n,2，n,N) 个全等的小正三角形(图2，图3分别给出了n=2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于,ABC的三,边,及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别,依次,等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有 f(2)=2，f(3)=_ ，f(n)=_,一、归纳推理在数列中的体现,A(a),B(b),C(c),x,1,x,2,g,y,1,y,2,z,1,z,2,C,A,B,图2,A,B,C,图3,6,一、归纳推理在数列中的体现,7,一、归纳推理在数列中的体现,8,2 、解法3似乎违背了题意“若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同”这一条件，其实是命题人为了干扰考生设计的陷阱，有此地无银三百两之嫌，这里利用了一般到特殊的思想方法求解。,一、归纳推理在数列中的体现,解题感悟：,1 、以等差数列为背景，考察学生的阅读理解能力，运算能力，推理能力，合情猜想能力，能力立意高，设计新颖独特;这是一道很好的探索性、开放性、研究性的试题，解决其需要经历判断、尝试、归纳、猜想与推证得过程，特别是从前若干特例中推理发现一般规律的能力。,9,将正,ABC分割成n,2,(n,2，n,N) 个全等的小正三角形(图2，图3分别给出了n=2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个,正实数,，使位于,ABC的三,边,及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等,比,数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且,积,为1,记所有顶点上的数之积为f(n)，则有f(n)=_,一、归纳推理在数列中的体现,A(a),B(b),C(c),x,1,x,2,g,y,1,y,2,z,1,z,2,A,C,A,B,图2,B,C,图3,1,相关试题2,: 变式,10,一、归纳推理在数列中的体现,相关试题3：（2009湖北卷文）,古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：,他们研究过图,1,中的,1,，,3,，,6,，,10,，,，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数,;,类似地，称图,2,中的,1,，,4,，,9,，,16,这样的数称为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ）,A.289 B.1024 C.1225 D.1378,C,1 3 6 10,1 4 9 16,图1,图2,11,相关试题4： 已知数列 满足 ，,求 的值。,相关试题5： 已知数列 满足 ，,求连乘积 的值。,12,一、归纳推理在数列中的体现,例4、宁波市2009学年度高三数学第一学期期末试卷(理科)第17题：,整数数列 满足:,则数列 的通项,分析：本题考生要经历观察-探究-归纳- 猜想-验证-证明的思维过程。,13,一、归纳推理在数列中的体现,14,一、归纳推理在数列中的体现,15,二、,类比推理在数列中的体现,类比推理：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。,开普勒：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最 可信赖的老师 ”,16,二、,类比推理在数列中的体现,例5、（2009浙江文科第16题）设等差数列 的前n项和为,S,n,，则,S,4, S,8,S,4, S,12,S,8, S,16,S,12,成等差数列类比以上结论有：,设等比数列 的前n项积为,T,n,，则,T,4,，,，,， 成等比数列,【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力,17,二、,类比推理在数列中的体现,例6、（2000上海）在等差数列 中，若 则有等式,成立，类比上述性质，相应的，,在等比数列 中，若 则有等式,成立,18,二、,类比推理在数列中的体现,19,二、,类比推理在数列中的体现,记等差数列 的前 项的和 为利用倒序相加法 ,可将 表示成首项为 末项 与项数 的一个关系,式，记公式 类似地，记等比数列 的前 项积为 且,试类比等差数列求和的方法，可将 表示成首项,末项 与项数 的一个关系式,记公式 _,相关试题1：,解：,20,二、,类比推理在数列中的体现,等差数列有如下的性质：若数列 是等差数列，则,当 时，数列 也是等差数列；,类比上述性质，相应的，若数列 是正项等比数,列，当,时，数列 也是等比数列。,相关试题2：,21,二、,类比推理在数列中的体现,相关试题3 ：,已知命题：“若数列 为等差数列，且,” ，现已知数列,为等比数列， 且 ，若类比上,述结论，则可得,背景知识：基本数列的通项公式。,22,三、,合情推理在解数列综合题中的体现,等差数列和等比数列是数列中最基本也是最简,单的两大数列，数列综合题难度最高莫非与不等,式结合的题目，所涉及的非基本数列都要转换到,基本数列进行求解，这就需要合情推理，观察其,结构，结合解题经验，对问题的走向做出预测，,当然这其中需要直觉、估算、转换视角等思维方,式的参与。,23,例7、（2002年高考数学全国卷理科第22题）,设数列 满足,()当 时，求 并由此猜想出,的一个通项公式 ；,()当 时，证明对所有的 有,三、,合情推理在解数列综合题中的体现,24,分析：第()问，容易猜想,对第()问，用数学归纳法加以证明。,难在第() 问。注意到 ，可把右边的,看成以 为首项， 为公比的等比数列的和。,能想到用数列 来控制数列 ，因此只需证,25,三、,合情推理在解数列综合题中的体现,26,三、,合情推理在解数列综合题中的体现,求证： 当 时,（）,（）,（）,例8、2008浙江理科卷压轴题第22题,已知数列,记,27,三、,合情推理在解数列综合题中的体现,28,三、,合情推理在解数列综合题中的体现,29,三、,合情推理在解数列综合题中的体现,30,三、,合情推理在解数列综合题中的体现,相关试题1,(2008年全国卷一第22题)设函数 ,数列 满足,（）证明：函数 在区间 是增函数；,（）证明： ；,（）设 , 整数 ,证明： ,31,三、,合情推理在解数列综合题中的体现,(2008年陕西卷第22题)已知数列 的首项,（）求 的通项公式；,（）证明：对任意的,（）证明：,相关试题2,32,三、,合情推理在解数列综合题中的体现,从特殊观察寻找并发现一般规律并给予证明是新课程要求培养的一种数学思考方法，合情推理，也是科学研究的很重要的方法，具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新能力的培养，随着新课程的实施这一思想方法的考查会越来越受到重视。,33,“合情推理是冒险的，有争议的和暂时的”,美籍匈牙利数学家波利亚,（1887-1985），,34,