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第一节 一维晶格的振动,3.1.1 一维单原子链的振动,3.1.2 一维双原子链(复式格子)的振动,本节主要内容:,3.1 一维晶格的振动,3.1.1 一维单原子链的振动,1. 振动方程及其解,(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量,),为,a,，,原子质量为,m,。,第,n,个原子,第,n,-2,个原子,第,n,-1,个原子,第,n,+1,个原子,第,n,+2,个原子,a,Xn,-2,Xn,-1,Xn,Xn,+1,Xn,+2,用,x,n,和,x,k,分别表示序号为,n,和,k,的原子在,t,时刻偏离平衡位置的位移，用,x,nk,=,x,n,-,x,k,表示在,t,时刻第,n,个和第,k,个原子的相对位移。,第,n,个原子,第,n,-2,个原子,第,n,-1,个原子,第,n,+1,个原子,第,n,+2,个原子,a,Xn,-2,Xn,-1,Xn,Xn,+1,X,n,+2,(2)振动方程和解,平衡时，第,k,个原子与第,n,个原子相距,为,两个原子间的互作用势能，平衡时为 ，,t,时刻为,nk,x,第,n,个与第,k,个原子间的相互作用力:,振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（,r）,二次方以上的高次项，只保留到(,r,),2,项-,简谐近似,。,(忽略掉作用力中非线性项的近似-简谐近似。),得:,弹性恢复力系数,原子的振动方程:,只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：,给出试探解：,原子都以,同一频率,，同一振幅,A,振动,相邻原子间的位相差为,aq,。,晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。,色散关系,(晶格振动谱),将试探解代入振动方程得振动频率:,推导略,给出试探解:,由色散关系式可画图如下:,2.色散关系,是波矢,q,的周期性函数,且,(-,q,)=,(,q,),。,0,m,且,故取,简约布里渊区,且,3. 玻恩-卡门周期性边界条件及波矢,q,的取值,(1)玻恩-卡门周期性边界条件,设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。,晶体中任一个原子，当其原胞标数增加,N,（,N,为晶体中原胞的个数,）,后，其振动情况复原,。由,N,个原胞组成的单原子链，由玻恩-卡门周期性边界条件:,对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同):,整数,(2)波矢,q,的取值,波矢 也只能取,N,个不同的值。,(共,N,个值,),晶格振动波矢只能取分立的值,波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目,4. 长波极限:,由连续介质波的传播速度：,在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。,例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为,m,，,恢复力常数为,(只考虑近邻原子间的相互作用),。,由玻恩-卡门周期性边界条件:,解:设最近邻原子间的恢复力系数为,，则:,将试探解代入振动方程得色散关系:,S,为整数,模型,运动方程,试探解,色散关系,波矢,q,范围,一维无限长原子链，,m,，,a,，,晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数,B-K,条件,波矢,q,取值,n,-2,n,n,+1,n,+2,n,-1,a,m,m,3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动,1. 运动方程和解,(1) 模型:一维无限长原子链，原子质量为,m,和,M,，,且,m,M,。,相邻原子间距均为,a,，,恢复力系数为,。,(晶格常量为2,a,),2,n,2,n,-1,2,n,+1,2,n,+2,2,n,-2,m,M,质量为,M,的原子编号为,2,n,-2,、,2,n,、,2,n,+2、,质量为,m,的原子编号为,2,n,-1,、,2,n,+1,、,2,n,+3,、,x,2,n,x,2,n-,1,x,2,n,+1,x,2,n,+2,x,2,n-,2,若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：,(2)方程和解,其他原子位移可按下列原则得出:,(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。,(2)相隔一个晶格常数2,a,的同种原子，相位差为2,aq,。,2.色散关系,上式看成是以,A,、,B,为未知数的线性齐次方程；,若,A,，,B,不全为零，必须其系数行列式为零，即:,推导略,0,(,+,)-,光学支格波,，,A,(,-,)-,声学支格波,(1)色散曲线,折合质量,由玻恩-卡门边界条件，设晶体有,N,个原胞,，则：,(2)波矢,q,的取值,(共有,N,个值,),一维双原子链，每个原胞有两个原子，,晶体的自由度数是2,N,。,由,N,个原胞组成的一,维,双原子链，波矢的数目为,N,，,频率的数目为2,N,，,格波(振动模式)数目为2,N,。,晶格振动波矢的数目=晶体的原胞个数,晶格振动频率(振动模式)的数目=晶体中原子的自由度数,3.声学波和光学波,在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。,(1)当波矢,q,0,时,推导略,(2)相邻原子的振幅之比,对于声学支格波:,声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的,。,长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动。,对于光学波:,光学支格波，相邻原子振动方向是相反的。,长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。,光学支格波，相邻原子振动方向是相反的,。,声学支格波，相邻原子振动方向是相同的,。,可以证明，,q,=,/2,a,时，在声学支格波上，质量为,m,的轻原子保持不动；在光学支格波上，质量为,M,的重原子保持不动,。,例,2,:,一维,无限,长原子链，原子质量为,m,和,M,，,且,m,M,。,靠得较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位置的距离为,b,，,恢复力系数为,1,，分子间两原子间的,恢复力系数为,2,，,晶格常量为,a,(,如图所示)，求色散关系,。,a,2,n,-2,2,n,2,n,+1,2,n,+2,2,n,-1,M,m,b,1,2,解:,只考虑最近邻原子,间,的相互作用，,将试探解代入方程得:,据玻恩-卡门周期性边界条件，可以确定波矢,q,的取值。,0,(+)-光学支格波，,A,(-)-,声学支格波,q,可取,N,个值。,
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