傅里叶级数周期函数的展开式教学课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第七节,第十一,傅里叶数,-周期函数的展开式,三角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,、正弦级数和余弦级数,傅里叶级数周期函数的展开式第七节,第十一,傅里叶数,-周期函数的展开式,三角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,、正弦级数和余弦级数,三角级数,周期函数反映客观世界中的周期性现象,如心脏的跳动(心电图),波浪,单摆的,振动。,正弦函数是最简单的周期函数之一。,4imH(A为振幅,O为角频率,d为初相),问题:给定一个周期函数,能否展开为简单,的周期函数(如正弦函数)的和?,即F(4+Am+)函,A,+2(A, sin P, cos nt+A, cos p, sinnt),令0=A0,an= A sin,bn= A cos p,Or=x,得,(x),2,+ a. cos nr+b,sinx)三角级数,三角级数,周期函数反映客观世界中的周期性现象,如心脏的跳动(心电图),波浪,单摆的,振动。,正弦函数是最简单的周期函数之一。,4imH(A为振幅,O为角频率,d为初相),问题:给定一个周期函数,能否展开为简单,的周期函数(如正弦函数)的和?,即F(4+Am+)函,A,+2(A, sin P, cos nt+A, cos p, sinnt),令0=A0,an= A sin,bn= A cos p,Or=x,得,(x),2,+ a. cos nr+b,sinx)三角级数,f(x)=+( a. cos nr+ b sinx)谐波分析,问题:(1)f(x)能否展开成三角级数?,(2)如果可以,anbn=?,物理意义:把一个一般的周期运动分解,为不同频率的简谐振动的叠加。,二、三角函数系的正交性,三角函数系:,1. cos. sin x cos 2 x sin 2x. cos nx sinn,正交性:其中任意两个不同函数的乘积在,-,z上的积分等于零(请验证),I-cosnrdx,1,sinnrdx=0,(n=1,2,3,), sinr cosnxdx:=. sinmxsinnxdx=0mn),cos mx cos nxdx=0(mn)(其中m,n=1,2,而两个相同函数的乘积在_z,上的,积分不等于零,11dx=2兀,c0s2nxdx=兀,sinnxdx=r. (n-12.,、函数展开成傅里叶级数,假设f(x)1(q4 coskx+ b, sin kx),利用三角函数系的正交性,(1)求an:等式两边从-到兀积分,f(xr=at+ (a,coskrdx+b1 sin kx dx),2,k=1,2TC,a,f(r)dx,(2)求an:等式两边同乘以 cos nr,然后从-x到z积分,f(r)cos ndx,= a, lcos2mxdx=an兀,n,=,ooa12.,(3)求bn:等式两边同乘以 sIn nr,然后从-x到兀积分,(r)sin ndx,a rsin ndx+2ia. l coskx sin ndx +b sink sin ndx,=bsin nrdr=bt,bn=f(x) in ndx(m=1,23,),f(x)=+2(a, cosnx+b, sinx),n=1,a,=f()cos ndx (n=0, 1,),b=,(x) sinned(n=12,),由公式确定的an,b称为f(x)的傅里叶系数;,以f(x)的傅里叶系数为系数的三角级数称为,f(x)的傅里叶级数,问题:f(x傅里叶级数是否收敛于f(x)?,