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有理数,人教版七年级上册数学期末复习单元小结与归纳,小结与复习第一章 有理数人教版七年级上册数学期末复习单元小结,要点梳理,二、有理数,1.,有理数的概念,2.,用正、负数表示具有相反意义的量,1.,小学学过的除,0,以外的数都是,正数,.,在正数前面加上符号,“-”,（负）的数叫做,负数,.,一、正数和负数,整数和分数,统称有理数,要点梳理二、有理数1.有理数的概念2.用正、负数表示具有相反,3.,数轴,有理数,正整数,负整数,负分数,正有理数,负有理数,正分数,零,有理数,正整数,正分数,整数,分数,零,负整数,自然数,2.,有理数的分类,负分数,(1),按定义分类,(2),按符号分类,(1),规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做,数轴,.,(2),任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,.,3.数轴有理数正整数负整数负分数正有理数负有理数正分数零有理,4.,相反数,（,1,）只有符号不同的两个数叫做,互为相反数,（,2,）,互为相反数的两个数,到原点的距离相等,5.,绝对值,（,1,）一个数在数轴上对应的点到原点的距离,叫做这个数的,绝对值,（,2,）一个,正数,的绝对值是,它本身,.,一个,负数,的绝对值是,它的相反数,.,0,的绝对值是,0,.,4.相反数（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（2）互,三、有理数的运算,6.,有理数大小的比较,(1),数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大,(2),正数大于,0,，,0,大于负数，正数大于负数；,两个负数，绝对值大的反而小,1.,有理数的加法,(1),加法法则,(2),加法的运算律,加法的交换律,加法的结合律,三、有理数的运算6.有理数大小的比较(1)数轴上表示的两个数,2.,有理数的减法,减法法则：,减去一个数，等于加上这个数的相反数,.,3.,有理数的乘法,(1),乘法法则,(2),乘法的运算律,乘,法的交换律,乘,法的结合律,4.,有理数的除法,乘,法的分配律,除法法则：,除以一个数，等于乘以这个数的倒数,.,2.有理数的减法减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数,(1),先乘方，再乘除，最后加减；,(2),同级运算，从左到右进行；,(3),如有括号，先做括号内的运算，按小括号、,中括号、大括号依次进行,.,5.,有理数的乘方,求几个相同因数的积的运算，叫做,乘方,.,指数,底数,6.,有理数的混合运算,幂,(1)先乘方，再乘除，最后加减；5.有理数的乘方 求几个相,四、科学记数法,五、近似数,1,按照要求取近似数,2,由近似数判断,精确度,四舍五入到某一位，就说这个数近似数精确到那一位,1.,1a,10,2.n,为原数的整数位减去,1,把大于,10,的数记成,a10,n,的形式，其中,四、科学记数法五、近似数1按照要求取近似数2由近似数判断,考点讲练,考点一 正、负数的意义,例,1,如果,-4,米表示向东走,4,米，那么向西走,2,米记作,_,.,+2,米,【,解析,】,根据题意，可知向东记为负，向西记为正，,故,向西走,2,米记做,+2,米,.,方法总结,根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示,.,一般情况下，把向北,(,东,),、上升、增加、收入等规定为,正,，把它们的相反意义规定为,负,注意带单位,考点讲练考点一 正、负数的意义例1 如果-4米表示向东走4,针对训练,1.,下列语句中，含有相反意义的两个量是（ ）,A.,盈利,1,千元和收入,2,千元,B.,上升,8,米和后退,8,米,C.,存入,1,千元和取出,2,千元,D.,超过,2,厘米和上涨,2,厘米,C,-8,2.,上升,9,记作,+9,，那么下降,8,记作,_.,针对训练 1.下列语句中，含有相反意义的两个量是（,考点二 正、负数的概念,例,2,判断,:,不带“”号的数都是正数 （ ）,一个有理数不是正数就是负数 （ ）,0,表示没有温度 （ ）,如果,a,是正数，那么,a,一定是负（ ）,不存在既不是正数，也不是负数的数（ ）,【,解析,】,0,不带“”号，但,0,不是正数，故,错误；正数的相反数是负数，故正确；同,，,故,错误,；,同,，故,错误；,0,并不是表示没有温度，它是介于正温度与负温度之间，故,错误,.,考点二 正、负数的概念例2 判断:一个有理数不是正数就,方法总结,0,既不是正数也不是负数，,0,的相反数是它本身,.,0,不仅能表示没有，而且表示正、负之间的分界值,.,方法总结 0既不是正数也不是负数，0的相反数是它本身.,考点三 有理数的分类,例,3,将下列各数分别填入下列相应的圈内：,3.5,|-2|,0,-3.5,-2,-1,3,5,-,1,3,0.5,， ， ， ， ， ， ，,正数,负数,整数,分数,3.5,，,|-2|,，,0.5,-3.5,-2,-1,3,5,-,1,3,0,，,|-2|,，,-2,3.5,，,0.5,-3.5,-1,3,5,-,1,3,考点三 有理数的分类例3 将下列各数分别填入下列相应的圈内,针对训练,+3.5,0,-2,-,2,3,-0.7,3.,在 ， ， ， ， 中，负分数有,个,.,11,2,【,解析,】,负分数不仅是负数而且是分数，注意小数也属于分数,.,故只有,2,个,.,针对训练+3.50-2-2-0.73.在 ， ，,考点四 相反数、倒数、绝对值,例,4,填表,3.5,|-2|,0,-3.5,-2,-1,3,5,-,1,3,0.5,数,相反数,倒数,绝对值,-3.5,-2,0,3.5,2,-0.5,1,3,5,1,3,3.5,2,0,3.5,2,0.5,1,3,5,1,3,-3,没有,-0.5,2,0.5,-,2,7,2,7,-,5,8,考点四 相反数、倒数、绝对值例4 填表3.5|-2|0,4.,的倒数是,； 的相反数是,；,-,1,3,-1,1,3,1,1,3,-3,5,的绝对值是,.,5,针对训练,4. 的倒数是 ； 的相反数是 ；-,3.5,|-2|,0,-3.5,-2,0.5,， ， ， ， ， ， ，,考点五 数轴,例,5,请你将下面的数在数轴上表示出来,-1,3,5,-,1,3,解：表示如下,-4,-2,-1,0,1,2,3,4,-3,3.5,-3.5,0,|-2|,-2,0.5,-1,3,5,-,1,3,3.5|-2|0-3.5-20.5， ， ， ，,针对训练,5.,在数轴上，点,A,所表示的数为,2,，那么到点,A,的距离,等于,3,个单位长度的点所表示的数是,_.,-1,或,3,针对训练5.在数轴上，点A所表示的数为2，那么到点A的距离-,考点六 有理数比较大小,3.5,|-2|,0,-3.5,-2,0.5,， ， ， ， ， ， ，,例,6,请你将下面的数,用“”连接起来,-1,3,5,-,1,3,解法一：将各数在数轴上表示出来，右边的大于左边的，然后从大到小排列,-4,-2,-1,0,1,2,3,4,-3,3.5,-3.5,0,|-2|,-2,0.5,-1,3,5,-,1,3, ,3.5,|-2|,0,-3.5,-2,0.5,-1,3,5,-,1,3,考点六 有理数比较大小3.5|-2|0-3.5-20.5，,解法二：,正数大于,0,，,0,大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小, ,3.5,|-2|,0,-3.5,-2,0.5,-1,3,5,-,1,3,6.,某日零点，北京、上海、宁夏的气温分别是4、5、6、8，当时这四个城市中，气温最低的是 （ ）,A北京 B上海 C重庆 D宁夏,针对训练,D,解法二：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对,考点七 科学记数法,例,7,将数,13 445 000 000 000km,用科学记数法,表示,_,_m.,1.344510,16,注意统一单位,7.,201,6,年末上海市常住人口总数为241,9,7万人，用科学记数法表示为,人,.,2.419710,7,针对训练,考点七 科学记数法例7 将数13 445 000 000,考点八 近似数,例,8,201,6,年我国全年出境旅游人数达1.,22,亿人次,.,这里的,1.,22,亿精确到,位,.,百万,针对训练,8.,由四舍五入法得到的近似数,2.34910,5,精确到,位，如果精确到万位可写成,.,2.310,5,百,考点八 近似数例8 2016年我国全年出境旅游人数达1.,考点九 有理数的运算,例,9,计算,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,考点九 有理数的运算例9 计算（1）,1.,把减法转化为加法时，要注意符号,2.,对几个有理数相加减的题目，要注意观察，将哪些数放在一起会使计算简便,解,:,(1),1.把减法转化为加法时，要注意符号解:(1),(2),注意符号问题,(2)注意符号问题,(3),先确定商的符号，再把绝对值相除,(3)先确定商的符号，再把绝对值相除,注意：,1.,底数是带分数时，要先将带分数化成假分数,.2.,区分,-2,4,与,(-2),4,.,(4),注意：1.底数是带分数时，要先将带分数化成假分数.2.区分-,针对训练,9.,计算,(1),(2),(3),(4),答案：,(1)-17,(2)33,(3)-3.3,针对训练9.计算答案：(1)-17(2)33(3)-3.3,课堂小结,整数,分数,数轴,比较大小,相反数,绝对值,点与数的对应,负分数,正分数,正有理数,负有理数,0,有理数,0,正整数,负整数,有,理,数,减法,运算,加法,乘法,乘方,除法,交换律,结合律,课堂小结整数分数数轴比较大小相反数绝对值点与数的对应负分数正,小结与复习,第二章 整式的加减,小结与复习第二章 整式的加减,要点梳理,一、整式的有关概念,1.,单项式：都是数或字母的,_,，这样的式子叫做,单项式,，单独的一个数或一个字母也是单项式,2.,单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数,积,3.,单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数,要点梳理一、整式的有关概念积 3.单项式的次数：一个单项,4.,多项式：几个单项式的,_,叫做多项式,5.,多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数,6.,整式：,_,统称整式,和,单项式与多项式,6.整式：_统称整式和,二、同类项、合并同类项,1.,同类项：所含字母,_,，并且相同字母的指数也,_,的项叫做同类项几个常数项也是同类项,2.,合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变,相同,相同,注意,(1),同类项不考虑字母的排列顺序，如,7xy,与,yx,是同类项；,(2),只有同类项才能合并，如,x,2,x,3,不能合并,二、同类项、合并同类项相同相同注意 (1)同类项不考虑字,三、整式的加减,一般地，几个整式相加减，如果有括号就先,_,，然后再,_,去括号,合并同类项,去括号合并同类项,考点讲练,考点一,整式的有关概念,A,考点讲练考点一 整式的有关概念 A,针对训练,3,针对训练 3,考点二 同类项,例,2,若,3x,m,5,y,2,与,x,3,y,n,的和是单项式，求,m,n,的值,【解析】由题意可知,3x,m,5,y,2,与,x,3,y,n,是同类项，,所以,x,的指数和,y,的指数分别相等,考点二 同类项例2若3xm5y2与x3yn的和是单项,针对训练,2.,若,5x,2,y,与,x,m,y,n,是,同类项，则,m=( ) ,n=( ),若单项式,a,2,b,与,3a,m+n,b,n,能合并，,则,m=( ) , n=( ),1,1,1,只有同类项才能合并成一项,针对训练2.若5x2 y与x m yn是同类项，则m=(,考点三 去括号,例,3,已知,A,x,3,2y,3,xy,2,，,B,y,3,x,3,2xy,2,，,求：,(1)A,B,；,(2)2B,2A.,【解析】,把,A,，,B,所指的式子分别代入计算,解：,(1)A,B,(x,3,2y,3,xy,2,),(,y,3,x,3,2xy,2,),x,3,2y,3,xy,2,y,3,x,3,2xy,2,2x,3,y,3,xy,2,.,(2)2B,2A,2(,y,3,x,3,2xy,2,),2(x,3,2y,3,xy,2,),2y,3,2x,3,4xy,2,2x,3,4y,3,2xy,2,6xy,2,6y,3,.,考点三 去括号例3已知Ax32y3xy2，By,人教版七年级上册数学期末复习单元小结与归纳(含章节检测试卷及答案)课件,针对训练,3,下列各项中，去括号正确的是,(,),A,x,2,(2x,y,2),x,2,2x,y,2,B,(m,n),mn,m,n,mn,C,x,(5x,3y),(2x,y),2x,2y,D,ab,(,ab,3),3,C,针对训练3下列各项中，去括号正确的是()C,例,4,若,A,是一个三次多项式，,B,是一个四次多项式，则,A,B,一定是,(,),A,三次多项式,B,四次多项式或单项式,C,七次多项式,D,四次七项式,【解析】,A,B,的最高次项一定是四次项，至于是否含有其它低次项不得而知，所以,A,B,只可能是四次多项式或单项式,.,故选,B.,B,你能举出对应的例子吗？,例4若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则AB一定,针对训练,4,若,A,是一个四次多项式，,B,是一个二次多项式，则,A,B (,),A,可能是六次多项式,B,可能是二次多项式,C,一定是四次多项式或单项式,D,可能是,0,C,针对训练4若A是一个四次多项式，B是一个二次多项式，则A,考点四 整式的加减运算与求值,【解析】,如果把,x,的值直接代入，分别求出,A,，,B,，,C,的值，然后再求,3A,2B,36C,的值显然很麻烦，不如先把原式化简，再把,x,值代入计算,考点四 整式的加减运算与求值【解析】 如果把x的值直接代入,人教版七年级上册数学期末复习单元小结与归纳(含章节检测试卷及答案)课件,5.,化简后再求值：5x,2,-2y-8,(,x,2,-2y,)+,3,(,2x,2,-,3,y,),，其中,|x+12|+,(,y-13,),2,=0,分析：原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值,针对训练,解：原式=5x,2,-2y-8x,2,+16,y,+,6,x,2,-,9,y=,3,x,2,-,5,y,.,因为|x+2|+,(,y-3,),2,=0，所以x+2=0，y-3=0，,即x=-2，y=3，则原式=,12,-,15,=-3,5.化简后再求值：5x2-2y-8(x2-2y)+3(2x2,设,n,表示自然数，用关于,n,的整式表示出来,.,例,6,：,从,2,开始连续的偶数相加,它们和的情况如下表,:,加数的个数,n,和,s,1,2=12,2,2+4=6=23,3,2+4+6=12=34,4,2+4+6+8=20=45,考点五 与整式的加减有关的探索性问题,设n表示自然数，用关于n的整式表示出来.加数的个数n和s12,s,与,n,之间有什么关系？能否用一个关系式来表示？,分析,:,观察上表,当,n=1,时,s=12,即第一个数字是,1,第二个数字是,2;,当,n=2,时,s=2+4=6=23,第一个数字是,2,第二个数字是,3,依此类推,发现第一个数字是,n,第二个数字比,n,大,1.,解,:s,与,n,的关系为,s=n(n+1).,s与n之间有什么关系？能否用一个关系式来表示？分析:观察上,解：当,n= =1002,时,s=1002(1002+1)=1005006.,即,2+4+6+8+2004=1005006.,小结,:,观察是解题的前提条件,当已知数据有很多组时,需要仔细观察,反复比较,才能发现其中的规律,.,计算,2+4+6+8+2004.,解：当n= =1002时,小结:观察是解题的,针对训练,6.,观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第,2017,个图形中共有,_,个五角星,6052,【解析】可以发现每个图形的五角星个数都比前面一个图形的五角星个数多,3,个,.,由于第,1,个图形的五角星个数是,31+1,，所以第,n,个图形的五角星个数是,3n+1,故第,2017,个图形,五角星个数是,32017+1=6052.,针对训练6. 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规,课堂小结,整 式 的 加 减,用字母表示数,单项式：,多项式：,去括号：,同类项：,合并同类项：,整式的加减：,系数、次数,项、次数、常数项,定义、“两相同、两无关”,定义、法则、步骤,法 则,步 骤,整 式,课堂小结整 式 的 加 减 用字母表示数单,小结与复习,第三章 一元一次方程,小结与复习第三章 一元一次方程,要点梳理,一、方程的有关概念,1.,方程：,含有未知数的等式叫做方程,2.,一元一次方程的概念：,只含有,_,个未知数，未,知数的次数都是,_,，等号两边都是,_,_,_,，,这,样的方程叫做一元一次方程,3.,方程的解：,使方程左右两边的值相等的未知数的,值叫做方程的解,4.,解方程：,求方程解的过程叫做解方程,一,1,整式,要点梳理一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做,1.,等式的性质,1,：,等式两边加,(,或减,),同一个数,(,或,式子,),，结果仍相等如果,a,b,，那么,a,b,c,.,2.,等式的性质,2,：,等式两边乘同一个数，或除以同一个不为,0,的数，结果仍相等如果,a,b,，那么,ac,_,；如果,a,=,b,(,c,0),，那么 ,_,二、等式的性质,bc,c,1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或二、,解一元一次方程的一般步骤：,(,1,),去分母,：方程两边都乘各分母的最小公倍数，,别漏乘,(,2,),去括号,：注意括号前的系数与符号,(,3,),移项,：把含有未知数的项移到方程的左边，常,数项移到方程右边，移项注意要改变符号,(,4,),合并同类项,：把方程化成,ax,b,(,a,0),的形式,(,5,),系数化为,1,：方程两边同除以,x,的系数，得,x,m,的形式,.,三、一元一次方程的解法,解一元一次方程的一般步骤：三、一元一次方程的解法,1.,列方程解决实际问题的一般步骤：,审：,审清题意，分清题中的已知量、未知量,设：,设未知数，设其中某个未知量为,x,.,列：,根据题意,寻找等量关系,列方程,解：,解方程,验：,检验方程的解是否符合题意,答：,写出答案,(,包括单位,),四、实际问题与一元一次方程,审题是基础，找等量关系是关键,.,1. 列方程解决实际问题的一般步骤：四、实际问题与一元一次方,2.,常见的几种方程类型及等量关系：,(,1,),行程问题中基本量之间关系：,路程速度,时间, 相遇问题：,全路程甲走的路程乙走的路程；, 追及问题：,甲为快者，被追路程甲走路程乙走路程；, 流水行船问题：,v,顺,v,静,v,水,，,v,逆,v,静,v,水,2. 常见的几种方程类型及等量关系：,(,2,),工程问题中基本量之间的关系：, 工作量,=,工作效率工作时间；, 合作的工作效率,=,工作效率之和；, 工作总量 = 各部分工作量之和,=,合作的工作效,率工作时间；, 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看,做,1.,(2) 工程问题中基本量之间的关系：,(,3,),销售问题中基本量之间的关系：, 商品利润 = 商品售价商品进价；,利润率 = ；,商品售价 = 标价 ；,商品售价 = 商品进价+,商品,利润,= 商品进价+,商品进价,利润率,= 商品进价(1+利润率).,(3) 销售问题中基本量之间的关系： 利润率 =,例,1,如果,x,= 2,是方程 的解，那么,a,的值是,( ),A. 0 B. 2 C.,2 D.,6,考点讲练,考点一 方程的有关概念,解析：将,x,2,代入方程得,1,a,1,，解,得,a,2.,C,方法总结：,已知方程的解求字母参数的值，将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即可得字母参数的值,.,例1 如果 x = 2是方程,1.,若,(,m,3),x,|,m,|,2,2,1,是关于,x,的一元一次方程，,则,m,的值为,_,3,针对训练,注意：,结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记,未知数的系数不为,0.,1. 若 (m3) x| m|221 是关于 x 的,考点二 等式的基本性质,例,2,下列说法正确的是,( ),A.,x,+1 = 2+2,x,变形得到,1=,x,B. 2,x,= 3,x,变形得到,2 = 3,C.,将方程 系数化为,1,，得,D.,将方程,3,x,= 4,x,4,变形得到,x,= 4,D,方法总结：,已利用等式的性质变形，需注意符号问题，同时一定要谨记，利用等式性质,2,变形，等式两边同时,除以,一个数时，,该数不能为,0.,考点二 等式的基本性质例2 下列说法正确的是,2.,下列运用等式的性质，变形正确的是,( ),A.,若,x,=,y,，则,x,5 =,y,+5,B.,若,a,=,b,，则,ac,=,bc,C.,若 ，则,2,a,= 3,b,D.,若,x,=,y,，则,B,a,可能为,0,针对训练,2. 下列运用等式的性质，变形正确的是 ( )Ba可,考点三 一元一次方程的解法,例,3,解下列方程：,(,1,),；,解：去分母，得,3(2,x,+1),12 = 12,x,(10,x,+1).,去括号，得 6,x,312 = 12,x,10,x,1.,移项，得 6,x,12,x,10,x,= 1312.,合并同类项，得 4,x,= 8.,系数化为1，得,x,= 2.,考点三 一元一次方程的解法例3 解下列方程：解：去分母，得,提示：,先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易,(,2,) .,解：去括号，得,移项，得,合并同类项，得,系数化为,1,，得,提示：先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易(2),3.,解方程：,解：去分母，得 2(,x,2),=,205(,x,3),.,去括号，得 2,x,4,=,205,x,15,.,移项，得 2,x,5,x,= 20154,.,合并同类项，得 7,x,=,9,.,系数化为,1,，得,针对训练,3. 解方程：解：去分母，得 2(x2) = 205,考点四 实际问题与一元一次方程,例,4,一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为,7 km/h,，水流速度为,2 km/h,，往返一次共用,28 h,，求甲、乙两码头之间的距离,解：设甲、乙两码头之间的距离是,x,km,.,由顺水航行时间逆水航行时间往返一次共用时间，得,解得,x,= 90.,答：甲、乙两码头之间的距离是,90,km,.,考点四 实际问题与一元一次方程例4 一轮船在甲、乙两码头间,4.,小明从家里骑自行车到学校，每小时骑,15,千米，,可早到,10,分钟；每小时骑,12,千米,，就会迟到,5,分钟，,则他家到学校的路程是多少千米？,解：设,他家到学校的路程是,x,千米,，,依题意得,解得,x,=15.,答：他家到学校的路程是,15,千米,.,针对训练,4. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，解：设他家,例,5,抗洪救灾小组在甲地有28人，乙地有15人，现在又调来,17,人，分配在甲、乙两地，要求调配后甲地人数与乙地人数之比为,3:2,，求应调至甲地和乙地各多少人？,解：设应调至甲地,x,人，则调至乙地的人数为,(17,x,),人，根据调配后甲乙两地人数的数,量关系得,解得,x,= 8.,则,17,-,x,=9.,答：,应调至甲地,8,人，乙地,9,人,.,例5 抗洪救灾小组在甲地有28人，乙地有15人，现在又调来,5.,春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共450件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装50件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的2倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌服装的数量,解：设甲商城原来有该品牌服装,x,件，则乙商城原来有该品牌服装（450,-,x,）件，,根据题意,得,x,+50=2（450,-,x,）,-,50，,解得,x,=250，则450,-,x,=200,答：甲商城原来有该品牌服装250件，乙商城原来有该品牌服装200件,.,针对训练,5. 春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共450件，由于甲,例,6,一项工作，甲单独做,8,天完成，乙单独做,12,天完成，丙单独做,24,天完成现甲、乙合作,3,天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？,解：设,乙、丙还要,x,天才能完成这项工作，由,甲、,乙合作,3,天的工作量,+,乙、丙合作的工作量,=1,，,得,解得,x,= 3.,答：,乙、丙还要,3,天才能完成这项工作,例6 一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独,6.,一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ，,第二天耕了剩余部分的 ，还剩下,42,公顷，则这,片地共有,公顷,.,解析：设这片地共有,x,公顷,.,由题意，得,解得,x,=189.,189,针对训练,6. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ，解析：,例,7,某个商品的进价是,500,元，把它提价,40%,后作为标价,.,如果商家要想保住,12%,的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出最多打几折,?,提示：,提价,40, 后，商品标价为,500,(1+40,),，要,保住,12, 的利润率，商品的售价应为,500,(1+12,),，,根据 可列方程,.,商品售价 = 标价,例7 某个商品的进价是 500 元，把它提价 40% 后作为,解：设最多可以打,x,折，根据题意得,解得,x,= 8.,答：广告上可写出最多打,8,折,.,解：设最多可以打 x 折，根据题意得解得 x = 8.,7.,一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假,日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件,仍可获利24元，问这件商品的进价是多少元？,解：设,这件商品的进价是,x,元，根据题意得,解得,x,= 200.,答：,这件商品的进价是,200,元,.,针对训练,7. 一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假解：设这,(,1,),当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市,实付款分别是多少？,例,8,小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：,甲超市促销信息栏,乙超市促销信息栏,全场,8.8,折,不超过,200,元，不予优惠；,满,200,元而不超过,500,元，打九折；,满,500,元，其中,500,元的部分优惠,10,，超过,500,元的部分打八折,假设两家超市相同商品的标价都一样,.,解：当一次性购物标价总额是300元时，,甲超市实付款：3000.88=264,(,元,),，,乙超市实付款：3000.9=270,(,元,).,(1) 当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市例8 小,(,2,),当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？,解：设当标价总额是,x,元时，甲、乙超市实付款一样由题意知，当,x, 500,时，甲超市的促销力度大于乙超市，此时，标价总额一样的条件下，甲超市实付款始终小于乙超市实付款，所以,x,500,根据题意得 0.88,x,= 500,(1,10,),+ 0.8,(,x,500,),，,解得,x,= 625,答：当标价总额是 625 元时，甲、乙超市实付款一样,.,(2) 当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？解：设当标,(3),小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若,他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多,少元？,分析：,由题目信息可知，在乙超市购物：, 不超过,200,元，不予优惠；,大于等于,200,元小于,500,元，实付款大于等于,180,元，,小于,450,元；,大于等于,500,元，实付款大于等于,450,元,.,(3) 小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若分,解：由题意知：, 购物标价总额,不超过,200,元，不予优惠；, 大于等于,200,元小于,500,元，实付款大于等于,200,0.9 =180 (,元,),，小于,500,0.9 = 450 (,元,),；,大于等于,500,元，实付款大于等于,450,元,.,小王第一次购物付款 198 元,200,元，购物标价可,能是 198 元，也可能是1980.9=220,(,元,),，,第二次购物付款 466 元,450,元，所以购物标价,大于,500,元，为,(,466450,),0.8+500 = 520,(,元,),，,解：由题意知：,所以，小王两次购物标价之和为 198+520 = 718,(,元,),，,或 220+520 = 740,(,元,),若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为,5000.9 + 0.8,(,718500,),= 624.4,(,元,),，或,5000.9 + 0.8,(,740-500,),= 642,(,元,),，,可以节省 198+466624.4 = 39.6,(,元,),，或,198+466642 = 22,(,元,),答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以,节省 39.6 元或 22 元,所以，小王两次购物标价之和为 198+520 =,8.,甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为,了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市,累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价,8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出 200 元之后，,超出部分按原价 8.5 折优惠设顾客累计购物,x,元,(,x,300,),(,1,),请用含,x,的代数式分别表示顾客在两家超市购物,所付的费用；,针对训练,8. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为针对训练,解：,顾客在甲超市购物所付的费用为：,300+0.8,(,x,300,),=,(,0.8,x,+60,),元,(,x,300),；,顾客在乙超市购物所付的费用为：,200+0.85,(,x,200,),=,(,0.85,x,+30,),元,(,x,300),解：顾客在甲超市购物所付的费用为：,(,2,),李明准备购买 500 元的商品，你认为他应该去哪,家超市？请说明理由,答：他应该去乙超市，理由如下：,当,x,=500 时，,在甲超市购物所付的费用为：,0.8,500,+60 = 460,(,元,),；,在乙超市购物所付的费用为：,0.85,500,+30 = 455,(,元,).,460455，,他去乙超市划算,答：他应该去乙超市，理由如下：,(,3,),计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超,市购物所付的费用一样？,解：由题意得,0.8,x,+60 = 0.85,x,+30,.,解得,x,= 600.,答：李明购买600元的商品时，到两家超市购物,所付的费用一样,(3) 计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超解：由题意,9.,为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标,准作如下规定：每户每月用电如果不超过 100 度，,那么每度按 0.50 元收费；如果超过 100 度不超过,200 度，那么超过的部分每度按 0.65 元收费；如果,超过200度，那么超过的部分每度按 0.75 元收费,(,1,),若居民甲在 6 月份用电 100 度，则他这个月应缴,纳电费,元；,若居民乙在 7 月份用电 200 度，则他这个月应缴,纳电费,元；,若居民丙在 8 月份用电 300 度，则他这个月应缴,纳电费,元；,50,115,190,9. 为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标50115,(,2,),若某户居民在9月份缴纳电费310元，那么他这个,月用电多少度？,解：设他这个月用电,x,度，根据题意得：,0.50100+0.65,(,200100,),+0.75,(,x,200,),= 310，,解得,x,= 460,答：他这个月用电 460 度,(2) 若某户居民在9月份缴纳电费310元，那么他这个解：设,课堂小结,去括号,等式的性质,移项,合并同类项,概念,实际问题,去分母,系数化为,1,解法步骤,一元一次方程,方程,等式的性质,1,等式的性质,2,设,列,解,检,答,课堂小结去括号等式的性质移项合并同类项概念实际问题去分母系数,小结与复习,第四章 图形初步认识,小结与复习第四章 图形初步认识,要点梳理,一、几何图形,1.,立体图形与平面图形,(,1,),立体图形的,各部分,不都在,同一平面内，如：,(,2,),平面,图形的,各部分,都在,同一平面内，如：,要点梳理一、几何图形1. 立体图形与平面图形 (1),2.,从不同方向看立体图形,3.,立体图形的展开图,正方体,圆柱,三棱柱,圆锥,2. 从不同方向看立体图形3. 立体图形的展开图正方体圆柱三,4.,点、线、面、体之间的联系,(,1,),体是由面围成，面与面相交成线，线与线,相交成点；,(,2,),点动成线、线动成面、面动成体,.,4. 点、线、面、体之间的联系(1) 体是由面围成，面与面相,二、直线、射线、线段,1.,有关直线的基本事实,经过两点有一条直线，并且只有一条直线,.,2.,直线、射线、线段的区别,类型,线段,射线,直线,端点个数,2,个,不能,延伸,延伸性,能否度量,可,度量,1,个,向,一个方向,无限延伸,不可,度量,无,端点,向,两个方向,无限延伸,不可,度量,二、直线、射线、线段1. 有关直线的基本事实经过两点有一条直,3.,基本作图,(,1,),作一线段等于已知线段；,(,2,),利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差,.,5.,有关线段的基本事实,两点之间，线段最短,.,4.,线段的中点,应用格式：,A,C,B,6.,连接两点的线段的,长度,，叫做这两点间的,距离,.,C,是线段,AB,的中点，,AC,BC,AB,，,AB,2,AC,2,BC.,3. 基本作图5. 有关线段的基本事实两点之间，线段最短.4,三、角,1.,角的定义,(,1,),有,公共端点,的两条,射线,组成的图形，叫做角；,(,2,),角也可以看作由一条射线,绕着,它的,端点,旋转,而形成的图形,.,2.,角的度量,度、分、秒的互化,1,60,，,1,60,三、角1. 角的定义(1) 有公共端点的两条射线组成的图形，,3.,角的平分线,O,B,A,C,应用格式：,OC,是 ,AOB,的角平分线，,AOC,BOC,AOB,AOB,2,BOC,2,AOC,3. 角的平分线OBAC应用格式：OC 是 AOB 的角平,4.,余角和补角,(,1,),定义, 如果两个角的和等于,90,(,直角,),，就说这,两个角互为,余角,(,简称为两个角互余,).,如果两个角的和等于,180,(,平角,),，就说这,两个角互为,补角,(,简称为两个角互补,).,(,2,),性质,同角,(,等角,),的补角相等,.,同角,(,等角,),的余角相等,.,4. 余角和补角(1) 定义(2) 性质,(,3,),方位角, 定义,物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹,角称为方位角，一般以正北、正南为基准，,用向东或向西旋转的角度表示方向,., 书写,通常要先写北或南，再写偏东或偏西,(3) 方位角 定义,考点一,从不同方向看立体图形,考点讲练,例,1,如右图是由几个小立方体搭成的几何体的从上面看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,画出从正面和左面方向,看到的平面图形,.,1,1,2,2,考点一 从不同方向看立体图形考点讲练例1 如右图是由几个小,考点讲练,1,1,2,2,从正面看,从左面看,解：,解析：,根据图中的数字，可知从前面看有,3,列，从左到右的个数分别是,1,，,2,，,1,；从左面看有,2,列，个数都是,2,.,考点讲练1122从正面看从左面看解：解析：根据图中的数字，可,A B C D,a b c d,针对训练,1.,如图，从,正面,看,A,，,B,，,C,，,D,四个立体图形，分别,得到,a,，,b,，,c,，,d,四个平面图形，把上下两行相对,应立体图形与平面图形用线连接起来,A B,考点二 立体图形的展开图,例,2,根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称,(1)_,_,_,，,(2)_,，,(3)_.,长方体,三棱柱,三棱锥,(1) (2) (3),考点二 立体图形的展开图例2 根据下列多面体的平面展开图，,2.,在下列图形中,(,每个小四边形皆为相同的正方形,),，,可以是一个正方体展开图的是,( ),B,C,D,C,针对训练,2. 在下列图形中 (每个小四边形皆为相同的正方形)，,考点三 线段长度的计算,例,3,如图，已知点,C,为,AB,上一点，,AC,=15 cm，,CB,=,AC,，,D,，,E,分别为,AC,，,AB,的中点，求,DE,的长,E,C,A,D,B,解：,AC,=15cm，,CB,=,AC,，,CB,= 15=9 cm，,AB,=15+9= 24 cm,D,，,E,分别为,AC,，,AB,的中点，,AE,=,AB,=12 cm，,DC,=,AC,= 7.5 cm，,DE,=,AEAD,=127.5 = 4.5,(,cm,),考点三 线段长度的计算例3 如图，已知点 C 为 AB 上,例,4,如图，,B,，,C,两点把线段,AD,分成 2,:,5,:,3 三部分，,M,为,AD,的中点，,M,C,= 6 cm，求线段,B,M,和,AD,的长,D,A,B,C,M,提示：,题目中线段间有明显的倍分关系，且和差关系较为复杂，可以尝试列方程解答,.,例4 如图，B，C 两点把线段 AD 分成 2:5:3 三部,由,MC,+,CD,=,M D,得，,3,x,+ 6,=,5,x,.,解得,x,=,3.,故,BM,=,A,M,AB,=5,x,2,x,=,3,x,=,3,3,=,9,(,cm,),，,AD,=10,x,=10,3,=,3,0,(,cm,),D,A,B,C,M,解：设,AB,= 2,x,cm，,BC,= 5,x,cm，,CD,= 3,x,cm，,则,AD,=,AB,+,BC,+,CD,=10,x,cm,.,M,是,AD,的中点，,AM,=,MD,=,AD,= 5,x,cm,.,由 MC + CD= M D得，3x + 6,例,5,点,C,在线段,AB,所在的直线上，点,M,，,N,分别是,AC,，,BC,的中点,.,(,1,),如图，,AC,= 8 cm,，,CB,= 6 cm,，求线段,MN,的长；,A M C N B,CM,AC,4 (cm),，,CN,BC,3 (cm),，,解：点,M,，,N,分别是,AC,，,BC,的中点，,MN,CM,CN,4,3,7 (cm).,例5 点 C 在线段 AB所在的直线上，点M，N分别是 A,(,2,),若,C,为线段,AB,上任一点，满足,AC,+,CB,=,a,cm,，,其它条件不变，你能猜想,MN,的长度吗？并说明,理由；,A M C N B,证明：同,(1),可得,CM,AC,，,CN,BC,，,MN,CM,CN,AC,BC,(,AC,BC,),a,(cm).,猜想：,MN,=,a,cm.,(2) 若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC + CB,(,3,),若,C,在线段,AB,的延长线上，且满足,AC,BC,=,b,cm,，,M,，,N,分别为,AC,，,BC,的中点，你能猜想,MN,的长度,吗？请画出图形，并说明理由,.,A M B N C,MN,=,MC,NC,=,AC,BC,= (,AC,BC,) =,b,(cm),猜想：,MN,=,b,cm.,证明：根据,题意画出,图形，由图可得,(3) 若C 在线段 AB的延长线上，且满足 ACBC =,针对训练,B,A,M,C,D,B,A,C,D,45cm,72cm,4.,如图：,AB,=120 cm，点,C,，,D,在线段,AB,上，,BD,=,3,BC,，,点,D,是线段,AC,的中点,. 则,线段,BD,的长度为,_,.,3.,如图：线段,AB,= 100 cm，点,C,，,D,在线段,AB,上,.,点,M,是线段,AD,的中点，,MD,= 21 cm，,BC,= 34 cm .,则线段,MC,的长度为,_,.,针对训练BAM CD BACD 45cm 72cm 4. 如,5.,已知：点,A,，,B,，,C,在一直线上，,AB,=12 cm，,BC,=,4 cm. 点,M,，,N,分别是线段,AB,，,BC,的中点,.,求线,段,MN,的长度,.,A
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