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,*,*,知难而进 , 无坚不摧,第十八章 含参变量的反常积分,第十八章 含参变量的反常积分,4.含参量反常积分一致收敛的性质,主要内容,9/4/2024,1,第十八章 含参变量的反常积分4.含参量反常积分一致收敛的性,本节研究形如,的含参变量广义积分(无穷限积分，无界函数的积分)的连续性、可微性与可积性。,9/4/2024,2,本节研究形如的含参变量广义积分(无穷限积分，无界函数的积分),设 定义在无界区域,若对每一个固定的 , 反常积分,都收敛,则它的值是 在区间 上取值的函数,称为定义在 上的含参量 的无穷限反常积分,或,简称为,含参量反常积分.,9/4/2024,3,设 定义在无界区域,对于含参量反常积分 与函数,则称含参量反常积分 在,上,一致收敛,于 .,(1). 含参量无穷广义积分,9/4/2024,4,对于含参量反常积分,(2). 含参量瑕积分,9/4/2024,5,(2). 含参量瑕积分9/11/20235,一致收敛的柯西准则:,含参量反常积分 在 上一致收敛的,9/4/2024,6,一致收敛的柯西准则:含参量反常积分,一致收敛的柯西准则:,含参量反常积分 在 上一致收敛的,9/4/2024,7,一致收敛的柯西准则:含参量反常积分,魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法,若 收敛，则,设有函数 ,使得,9/4/2024,8,魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法若,证明,因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西,准则，有,从而,所以 关于,一致收敛。,9/4/2024,9,证明因为 收敛，所,魏尔斯特拉斯判别法:,设有函数 ,使得,9/4/2024,10,魏尔斯特拉斯判别法:设有函数 ,使得9/1,证明,因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有,从而,所以 关于,一致收敛。,9/4/2024,11,证明因为 收敛，所,阿贝耳判别法:,9/4/2024,12,阿贝耳判别法:9/11/202312,狄利克雷判别法;,9/4/2024,13,狄利克雷判别法;9/11/202313,三、含参量反常积分一致收敛的性质,1. 连续性定理,(1),(2),9/4/2024,14,三、含参量反常积分一致收敛的性质1. 连续性定理(1)(2,9/4/2024,15,9/11/202315,证明:,因为 在 内一致收敛，所以,因此，当 时，,又 在 上连续，所以,作为 的函数在 连续，于是,(就(1)的情况),9/4/2024,16,证明:因为,从而，当 时，有,定理证毕。,9/4/2024,17,从而，当 时，有定理证毕。,2. 积分顺序交换定理,设 在 上连续， 关于,在 上一致收敛，则 在,可积，并且,即积分顺序可以交换.,证明(从略),可积性定理,9/4/2024,18,2. 积分顺序交换定理设,可积性定理,9/4/2024,19,可积性定理9/11/202319,3. 积分号下求导的定理,设 在 上连续，,收敛， 关于 在 上一致收敛，则,在 可导，且,即求导和积分顺序可以交换.,可微性定理,9/4/2024,20,3. 积分号下求导的定理设,可微性定理,9/4/2024,21,可微性定理9/11/202321,证明:,因为 在 连续，由连续性定理,在 连续，,沿区间 积分 ，得到,在上式两端对 求导，得,定理证毕。,(就(1)的情况),9/4/2024,22,证明:因为 在,9/4/2024,23,9/11/202323,证明反常积分,在 R上一致收敛.,含参量反常积分,在R上一致收敛.,9/4/2024,24,证明反常积分在 R上一致收敛.含参量反常积分在R上一致收敛.,证明含参量反常积分,在0,d上一致收敛.,在0,d上一致收敛.,9/4/2024,25,证明含参量反常积分在0,d上一致收敛.,证明含参量反常积分,在 上一致收敛,.,含参量反常积分,在 上一致收敛,.,9/4/2024,26,证明含参量反常积分在 上一致收敛,例,4,证明,证明:,（1）用分段处理的方法.,(),9/4/2024,27,例4 证明证明: （1）用分段处理的方法. ()9/1,因为,9/4/2024,28,因为 9/11/202328,9/4/2024,29,9/11/202329,例5,计算积分,解,9/4/2024,30,例5 计算积分 解 9/11/202330,例 6,利用积分号下求导求积分,解,因为,因为,故,9/4/2024,31,例 6 利用积分号下求导求积分 解 因为 因为 故 9/1,由数学归纳法易证,于是,9/4/2024,32,由数学归纳法易证于是 9/11/202332,例7 计算积分,解,令,9/4/2024,33,例7 计算积分 解 令 9/11/202333,在第二项积分中令,得,故,9/4/2024,34,在第二项积分中令 得 故 9/11/202334,(2), 含参量反常积分一致收敛的定义;,(1), 含参量反常积分的定义;,(3), 含参量反常积分一致收敛的判别;,一致收敛的柯西准则:,一致收敛的充要条件;,魏尔斯特拉斯判别法;,9/4/2024,35,(2), 含参量反常积分一致收敛的定义;(1), 含参量,P264: 2 (2)(3), 4 (1)(3) ,5,阿贝耳判别法;,狄利克雷判别法;,(4), 含参量反常积分的性质;,( i), 连续性;,(ii), 可微性;,作业,(iii), 可积性;,9/4/2024,36,P264: 2 (2)(3), 4 (1)(3,9/4/2024,37,9/11/202337,
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