空间解析几何课件课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 向量代数与空间解析几何,如同平面解析几何那样，空间解析几何是通过建立空间直角坐标，把空间的点与三元有序数组对应起来，用三元方程及方程组来表示空间几何图形，从而可以用代数的方法来研究空间几何问题，而这又是学习微积分的根底。,1,向量及其线性运算,一,.,向量的概念,1.,数量与向量：仅有数值大小的物理量称数量或标量，如温度、时间等。不仅有大小，还有方向的量称向量或矢量，如力、速度等。,2.,向量的表示：一般用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，方向表示向量的方向。,3.,向量的记法：,用粗体字母，如,a,、,I,；或上面加箭头的字母，如,4.,向量的模：即向量的大小，,用顺序写出始点和终点的记法，如,特殊情形：,单位向量：模等于,1,；零向量：模等于,0,，记为,0,，,其方向可以是任意的；负向量：与,a,大小相等方向相反的向量，记为,-a,.,的模记为,而其属性不变，本章中只研究自由向量。,5.,自由向量：与始点位置无关的向量，可以对其进行平,移,1.向量的加法：即向量的合成，可参照力的合成法那么,定义：将a、b的始点放在一起，以a、b 为邻边作,平行四边形，那么从始点到对角顶点的向量称a、b 的和，,记a+b称平行四边形法那么。,a,b,a,+,b,称为平行向量，也称为共线，易知其方向相同或相反。,假设a与b在同一条直线上或在两条平行直线上，,6.,平行向量：,7.,向量相等：大小相等，方向相同，记,a,=,b.,二,.,向量的线性运算：,平行向量的和：当,a,与,b,方向相同时，其和向量的模,等于两向量模之和，其方向与,a,、,b,方向相同；当,a,与,b,方向相反时，其和向量的模等于两向量模之差，其方,向与,a,、,b,中模较大的向量的方向相同；,运算律：,1交换律：a+b=b+a,2结合律：a+b+c= a+(b+c),三角形法那么：向量的加法还可以使用三角形法那么，,如图：,特殊情况： a+0 = a ； a +- a = 0.,a,b,a,+,b,2.向量的减法：两向量a与b的差a-b规定为a+-b，,可使用三角形法那么求出，如图：,a,b,a,-,b,2.向量在轴上的投影：,点在轴上的投影：过A作轴u的垂直平面，那么与u的交点A称为A在轴u上的投影. 如图：,A,A,向量在轴上的投影：,设,A,点的坐标为（,x,1,，,y,1,），,B,点坐标为（,x,2,，,y,2,），,则,x,2,-x,1,称为向量 在,x,轴的投影，记作,同样,令 分别为,x,轴上的单位向量，则有,或,将投影 ， 分别叫做向量 的坐标,再设,C,点的坐标 ，则,不难证明,即和的投影等于投影的和,一般地有： 个向量之和在 轴上的投影等于各个向,量在 轴上投影之和,注：相等向量在同一轴上的投影相等。,易知，当向量与轴成锐角时投影为正；成钝,角时投影为 负；成直角时投影为,0.,B,AA,u,B,B”,u,3.,关于向量投影的定理：,定理,1,：向量 在轴 上的投影等于向量的模,乘以轴与向量的夹角的余弦。,其中,=,即,任何一个向量可在坐标轴上的分解，即,分别称为 在 轴， 轴上的向量,称为投影，或坐标，或数量,若已知向量的坐标,则向量的大小和,方向就被确定由,可得,称为 的方向余弦,定理：数与向量的乘积在轴上的投影等于向量在轴上,的投影与数的乘积,总之，我们将数量和向量这一对,矛盾统一在 之中,2,空间直角坐标系与向量的坐标,一.空间直角坐标系：,1.定义：由过同一原点O作三条相互垂直的数轴分别,称ox轴、oy轴、oz轴，又称横轴、纵轴、竖轴，按右手,法那么排列所组成的坐标系称为空间直角坐标系，记为,Oxyz。,其中以三坐标轴正向确定的称第,卦限，按逆时针方向依次称第,、,、,卦限，第,卦限下面称第,卦限，再按逆时针方向依次称第,、,、,卦限。,3.点的坐标：设有空间中点M，过M作三个平面分别垂直于Ox、Oy、Oz轴，并分别交三轴于点P、Q、R，设这三点在三轴上的坐标分别为x、y、z，那么称M点的在该空间坐标系中的坐标为x,y,z)，并记M点为M(x,y,z).如图：,2.有关概念：在上面定义中的点O称为坐标原点；,Ox轴、Oy轴、Oz轴称坐标轴；由每两条坐标轴所确,定的平面称为坐标平面，其中由Ox轴和Oy轴所确定,的平面称为xOy面，依次类推；三个坐标平面把整,个空间分为八个局部，每个局部称为一个卦限，,O,Q,P,z,y,x,M,R,坐标平面：xOy面上为x,y,0)，yOz面上为0,y,z)，zOx上为 x,0,z)；,坐标卦限：在第卦限中的点的坐标的符号依次为,(+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,+),(+,-,-).,其中,x,、,y,、,z,分别称,M,点的横坐标、纵坐标和竖坐标。,4.,坐标特征：点的坐标有以下特征：,坐标原点：0,0,0；,坐标轴：x轴上为x,0,0)，y轴上为0,y,0)，,z轴上为0,0,z)；,也可记为,二,.,向量的坐标：,1.根本单位向量：,此向量的坐标为,为点,M,的向径，,称向量,设有空间中点Mx,y,z)，,2.,点,M,的向径的坐标：,分别记为,i,、,j,、,k,.,正向相同的三个单位向量,与,x,轴、,y,轴、,z,轴,5.向量线性运算的坐标代数表示：,设,A(x,1,y,1,z,1,),B(x,2,y,2,z,2,),为空间中两点，,3.,向量,的坐标：,易知：,=x,2,-x,1,y,2,-y,1,z,2,-z,1,易知,i,、,j,、,k,的坐标分别为,1,0,0,0,1,0,0,01,4.,i,、,j,、,k,的坐标：,设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,那么有,a,=(a,x,),i,+(a,y,),j,+(a,z,),k,a,b,=(a,x,b,x,),i,+(a,y,b,y,),j,+(a,z,b,z,),k,即,a,x,= b,x,a,y,= b,y,a,z,= b,z,从中消去,得,其中假设上式中某个分母为0，那么其分子也为0.,6.,两向量平行的充要条件：,我们两向量a与b平行的充要条件是a= b,即两向量平行的充要条件是,其坐标对应成比例，,3,a,-2,b,=(18-6),i,+(-12-8),j,+(30+18),k,=12,i,-20,j,+48,k,例1 两向量a=6i-4j+10k,b=3i+4j-9k,求,a,+2,b,3,a,-2,b,.,解,a,+2,b,=(6+6),i,+(-4+8),j,+(10-8),k,=12,i,+4,j,-8,k,三,.,模与方向余弦的坐标表示：,1.,模：,其余弦称为该向量的方向余弦。,设有空间中两点,A(x,1,y,1,z,1,),B(x,2,y,2,z,2,),，,2.,方向余弦：,称,a,与三坐标轴正向的夹角,、为该向量的方向角，,易知,3.,方向余弦的性质：,4.,两点之间距离公式：,那么此两点之间的距离为,