多元复合函数与隐函数求导法则课件

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,单击此处编辑母版标题样式,1,第三节,本节内容,:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,第八章,三、隐函数求导法则,1第三节本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合,2,一、多元复合函数求导的链式法则,定理,.,若函数,处偏导连续,在点,t,可导,则复合函数,证,:,设,t,取增量,t,则相应中间变量,且有链式法则,有增量,u,v,2一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若函数处偏导连续,3,(,全导数公式,),(,t,0,时,根式前加,“,”,号,),3( 全导数公式 )(t0 时,根式前加“”号),4,若定理中,说明,:,例如,:,易知,:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立,.,4若定理中 说明: 例如:易知:但复合函数偏,5,推广,:,1),中间变量多于两个的情形,.,设下面所涉及的函数都可微,.,2),中间变量是多元函数的情形,.,例如,例如,5推广:1) 中间变量多于两个的情形. 设下面所涉及的函数都,6,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意,:,这里,表示,f,(,x,(,x,y,) ),固定,y,对,x,求导,表示,f,(,x,v,),固定,v,对,x,求导,口诀,:,与,不同,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,6又如,当它们都具有可微条件时, 有注意:这里表示 f (,7,例,1.,设,解,:,7例1. 设解:,8,解,例,2,. 求函数 的偏导数.,令,则,8 解 例2. 求函数,9,例,3.,解,:,9例3.解:,10,例,4.,设,求全导数,解,:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号,.,10例4. 设 求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏,11,(,当 在二、三象限时, ),例,5.,设,二阶偏导数连续,求下列表达式在,解,:,已知,极坐标,系下的形式,(1),则,11(当 在二、三象限时,12,题目,12题目,13,已知,注意利用,已有公式,13 已知注意利用,14,同理可得,题目,14同理可得题目,15,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论,u , v,是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性,.,15二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u ,16,例,6.,利用全微分形式不变性再解例,1.,解,:,所以,16例 6.利用全微分形式不变性再解例1. 解:所以,17,1,、一个方程所确定的隐函数 及其导数,2,、方程组所确定的隐函数组 及其导数,三、,隐函数的求导方法,171、一个方程所确定的隐函数 及其导数 2、方程组所确定的,18,1,、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理,1.,设函数,则方程,单值连续函数,y = f,(,x,) ,并有连续,(,隐函数求导公式,),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数,;,的,某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,181、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1. 设函数则方程,19,两边对,x,求导,在,的某邻域内,则,19两边对 x 求导在的某邻域内则,20,例,7,.,验证方程,在点,(0,0),某邻域,可,确定一个,单值可导隐函数,解,:,令,连续,;,由 定理,1,可知,导的隐函数,则,在,x =,0,的某邻域内方程存在单值可,且,并求,20例7. 验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐,21,21,22,定理,2 .,若函数,的某邻域内具有连续偏导数,;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数,z = f,(,x , y,) ,定理证明从略,仅就求导公式推导如下,:,满足, 在点,满足,:,某一邻域内可唯一确,22定理2 .若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ;则方程在点,23,两边对,x,求偏导,同样可得,23两边对 x 求偏导同样可得,24,解：,利用公式,设,则,例,8.,24解： 利用公式设则例8.,25,2,、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形,.,由,F,、,G,的偏导数组成的行列式,称为,F,、,G,的雅可比 行列式,.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,雅可比,252、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推,26,雅可比,(1804 1851),德国数学家,.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础,.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作,.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积,分中,.,他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微,分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献,.,他在柯尼斯堡大学任教,18,年,形成了以他为首的学派,.,26雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方,27,定理,3,.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式,:,在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足,:,导数；,27定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续,28,(P86),28(P86),29,有隐函数组,则,两边对,x,求导得,设方程组,在点,P,的某邻域内,解的公式,故得,系数行列式,29有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内,30,同样可得,30同样可得,31,例,9.,设,解:,方程组两边对,x,求导，并移项得,求,练习,:,求,答案,:,由题设,故有,31例9. 设解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习:,32,内容小结,1.,复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.,全微分形式不变性,不论,u,v,是自变量还是中间变量,32内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,33,3.,隐函数,(,组,),存在定理,4.,隐函数,(,组,),求导方法,方法,1.,利用复合函数求导法则直接计算,;,方法,2.,利用微分形式不变性,;,方法,3.,代公式,.,333. 隐函数( 组) 存在定理4. 隐函数 ( 组) 求,第三次作业,第三次作业,多元复合函数与隐函数求导法则课件,