第九章二次型掌握二次型及其矩阵的定义课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019-8-17,谢谢观赏,*,第九章 二次型,9.1,二次型和对称矩阵,9.2,复数域和实数域上的二次型,9.3,正定二次型,9.4,主轴问题,研究对象,：,二次齐次多项式,(1),也叫二次型,(2),在数学和物理的许多分支都有重要应用,(3),展现矩阵的无穷魅力,1,谢谢观赏,2019-8-17,第九章 二次型9.1 二次型和对称矩阵研究对象：二次齐,9.1,二次型和对称矩阵,学习目标：,1.,掌握二次型及其矩阵的定义，,2.,理解变量的线性变换,3.,掌握矩阵合同的概念,4.,掌握二次型的标准形,2,谢谢观赏,2019-8-17,9.1 二次型和对称矩阵学习目标：2谢谢观赏2019-8-1,一、二次型及其矩阵,1,、定义：,设,F,是一个数域，,F,上,n,元二次齐次多项式,叫做,F,上的,n,元二次型，简称二次型,注：（,1,）二次型的特点,（,ii,）每项都为二次项,(2),例：下列是否二次型,答,:,不是,答,:,不是,答,:,是,3,谢谢观赏,2019-8-17,一、二次型及其矩阵 1、定义：设F是一个数域，F上n元二次齐,1,）分析：,2,、二次型的表示,约定,a,ij,=,a,ji,，,4,谢谢观赏,2019-8-17,1）分析：2、二次型的表示约定aij=aji，4谢谢观赏20,其中矩阵,A,称为,二次型 的矩阵,.,2,）分析：,计算,5,谢谢观赏,2019-8-17,其中矩阵A称为二次型 的矩阵,于是有,6,谢谢观赏,2019-8-17,于是有6谢谢观赏2019-8-17,3,）总结：,7,谢谢观赏,2019-8-17,3）总结：7谢谢观赏2019-8-17,4,）说明,:,ii,）二次型与它的矩阵相互唯一确定,正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具,.,i,）二次型的矩阵,A,是对称矩阵,即,（这表明二次型,完全由对称矩阵,A,决定,.),8,谢谢观赏,2019-8-17,4）说明:ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定正因为如此，讨论,3,、例题,:,1,）求下列二次型的矩阵,2,）求下列矩阵的二次型,4,、定义,:,A,的秩,1,）例，求下列二次型的秩,9,谢谢观赏,2019-8-17,3、例题:1）求下列二次型的矩阵2）求下列矩阵的二次型4、定,二、变量的线性变换,1,、定义,：,是两组变量,关系式,称为,变量的线性变换,10,谢谢观赏,2019-8-17,二、变量的线性变换1、定义：是两组变量,关系,2,、分析,：,变量的线性变换,11,谢谢观赏,2019-8-17,2、分析：变量的线性变换11谢谢观赏2019-8-17,3,、定义：,注：,12,谢谢观赏,2019-8-17,3、定义：注：12谢谢观赏2019-8-17,即，,B,为对称矩阵,.,4,、分析：,也是二次型,.,13,谢谢观赏,2019-8-17,即，B为对称矩阵. 4、分析：,5,、总结：,（,2,）问：,经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩,保持不变,（,3,）例：,（,1,）问：,非奇异线性变换,实施变量的,得到的二次型的矩阵为,14,谢谢观赏,2019-8-17,5、总结：（2）问：经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩保持,三、矩阵的合同,1,、定义：,设,A,，,B,为,n,阶矩阵，,2,、基本性质,传递性：,自反性：,对称性：,若存在,可逆,矩阵,P,，可使,则称,B,与,A,合同,。,若,A,与,B,合同,如果,B,与,A,合同，那么,A,也与,B,合同,如果,A,与,B,合同，,B,与,C,合同，,那么,A,与,C,合同。,3,、性质,:,任意矩阵,A,都与自身合同,15,谢谢观赏,2019-8-17,三、矩阵的合同1、定义：设A，B为n 阶矩阵，2、基本性质,4,、比较：合同，相似,A,与,B,合同,A,与,B,相似,16,谢谢观赏,2019-8-17,4、比较：合同，相似A与B合同A与B相似16谢谢观赏2019,F,上两个二次型,等价,，是指：可以通过变量,的非奇异线性变换将其中一个变成另一个,.,5,、定义：,6,、分析,：,7,、结论,：,8,、问：,17,谢谢观赏,2019-8-17,F上两个二次型等价，是指：可以通过变量5、定义： 6、分析,1,、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型,它的矩阵是对角阵,平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？,2,、问：任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成,四、二次型的标准形,18,谢谢观赏,2019-8-17,1、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角,证明：,对二次型变量个数,n,作归纳法,.,假定对,n,1,元二次型结论成立,.,下面考虑,n,元,过非退化线性替换化成平方和的形式,.,3,、定理：数域,F,上任一二次型都可经,n,=1,时，,结论成立,.,二次型,分三种情形来讨论：,1),a,ii,(,i,=1 , 2 , ,n,),中至少有一个不为零，,不妨设,a,11, 0 ,这时,19,谢谢观赏,2019-8-17,证明：对二次型变量个数n作归纳法.假定对n1元二次型结论成,20,谢谢观赏,2019-8-17,20谢谢观赏2019-8-17,这里，,是一个,.,的,n,1,元二次型,.,配方法,21,谢谢观赏,2019-8-17,这里， 是一个,它是非退化的，,且使,22,谢谢观赏,2019-8-17,它是非退化的，且使22谢谢观赏2019-8-17,使它变成平方和,于是，非退化线性替换,由归纳假设，对 有非退化线性替换,23,谢谢观赏,2019-8-17,使它变成平方和 于是，非退化线性替换 由归纳假设，对,就使 变成,2,）,但至少有一个,不妨设,作非退化线性替换：,24,谢谢观赏,2019-8-17,就使,不为零,.,由情形,1,）知，结论成立,.,则,这是一个 的二次型，且 的系数,25,谢谢观赏,2019-8-17,不为零.由情形1）知，结论成立.则 这是一个,这是一个,n,1,元二次型，由归纳假设，结论成立,.,总之，数域,P,上任一二次型都可经过非退化线性,替换化成平方和的形式,.,即,3,）,由对称性，,26,谢谢观赏,2019-8-17,这是一个n1元二次型，由归纳假设，结论成立. 总之，数域P,4,、二次型的标准形的定义,:,所变成的平方和形式,注,：,1,）由上定理知任一二次型的标准形是存在的,.,2,）可应用配方法得到二次型的标准形,.,二次型,经过非退化线性替换,的一个,标准形,.,称为,27,谢谢观赏,2019-8-17,4、二次型的标准形的定义:所变成的平方和形式注：1）由上定理,则,解：作非退化线性替换,5,、例：,求,的标准形,.,28,谢谢观赏,2019-8-17,则 解：作非退化线性替换 5、例：求的标准形.28谢谢观赏2,或,最后令,则,或,再令,29,谢谢观赏,2019-8-17,或 最后令 则 或 再令 29谢谢观赏2019-8-17,所作的非退化线性替换是,即,则,30,谢谢观赏,2019-8-17,所作的非退化线性替换是 即 则 30谢谢观赏2019-8-1,6,、定理：,数域,F,上任一对称矩阵合同于,一个对角矩阵,.,31,谢谢观赏,2019-8-17,6、定理：数域F上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵.31谢谢观,五、合同变换法,（,1,）,互换矩阵的,两行，再互,换矩阵的,两列,;,1,、,定义,：,合同变换,是指下列三种变换,（,2,）,以数,k,（,),乘矩阵的第,i,行；再以数,k,乘,（,3,）,将矩阵的第,i,行的,k,倍加,到第,行，再将第,列,的,k,倍加到第,列（,).,矩阵的第,i,列,.,32,谢谢观赏,2019-8-17,五、合同变换法（1）互换矩阵的 两行，再互 换矩阵的 两列;,2,、合同变换法化二次型为标准形,又，,设对称矩阵,A,与对角矩阵,D,合同，则存在可逆矩阵,（,1,）基本原理,：,C,使,.,若,为初等阵，则,33,谢谢观赏,2019-8-17,2、合同变换法化二次型为标准形又，设对称矩,对,E,施行同样的,初等列变换,便可求得可逆矩阵,C,满足,就相当于对,A,作,s,次合同变换化为,D.,所以，在,合同变换,化矩阵,A,为对角阵,D,的同时，,又注意到,所以，,34,谢谢观赏,2019-8-17,对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足就相当于对A作,（,2,）基本步骤,：,对,A,作合同变换化为对角矩阵,D,对,E,仅作上述合同变换中的初等列变换得,C,作非退化线性替换,X=CY,，则,即,写出二次型,的矩阵,A,为标准形,.,D,为对角阵,且,35,谢谢观赏,2019-8-17,（2）基本步骤：对A作合同变换化为对角矩阵D 对E仅作上,3,、例：,用合同变换求下面二次型,的标准形,r,1,+r,2,c,1,+c,2,解：,的矩阵为,36,谢谢观赏,2019-8-17,3、例：用合同变换求下面二次型的标准形r1+r2 c1+,r,3,+r,1,r,2,r,1,c,3,+c,1,c,2,c,1,2r,2,2c,2,c,3,+2c,2,r,3,+2r,2,37,谢谢观赏,2019-8-17,r3+r1r2r1c3+c1c2c12r22c2,作非退化线性替换,X=CY,则二次型化为标准形,令,则,38,谢谢观赏,2019-8-17,作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形 令则38谢,对,A,每施行一次合同变换后所得矩阵必仍,为对称矩阵,.,（因为合同变换保持矩阵的对 称性可利用这一点检查计算是否正确,.,）,对,A,作合同变换时，无论先作行变换还是,先作列变换，结果是一致的,.,可连续作,n,次初等行（列）变换后，再依次作,n,次相应的初等列（行）变换,.,4,、说明,：,39,谢谢观赏,2019-8-17,对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍对A作合同变,作非退化线性替换,f,的标准形为,5,、练习：,求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换,.,答案：,40,谢谢观赏,2019-8-17,作非退化线性替换f 的标准形为5、练习：求下面二次型的标准形,的矩阵为,详解：,41,谢谢观赏,2019-8-17,的矩阵为详解：41谢谢观赏2019-8-17,42,谢谢观赏,2019-8-17,42谢谢观赏2019-8-17,43,谢谢观赏,2019-8-17,43谢谢观赏2019-8-17,令,则,作非退化线性替换,X=CY,，则,f,的标准形为,44,谢谢观赏,2019-8-17,令则作非退化线性替换X=CY ，则 f 的标准形为44谢谢观,小结,1,、二次型的标准形,基本概念,基本结论,定理,2,、数域,P,上对称矩阵合同于一 个对角矩阵,.,定理,1,、任一数域,P,上的二次型,f,(,x,1,x,2,x,n,),可,经过非退化线性变换,X,CY,化为标准形,2,、合同变换,45,谢谢观赏,2019-8-17,小结1、二次型的标准形基本概念基本结论定理2、数域P上对称矩,9.2,复数域和实数域上的二次型,学习目标：,1,掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、,2.,掌握实二次型的惯性指标、符号差等概念。,3,掌握实二次型的惯性定律,.,46,谢谢观赏,2019-8-17,9.2 复数域和实数域上的二次型 学习目标：46谢谢观赏20,复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型,.,一、 复二次型,1,、定理：,复数域上两个,n,阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩,.,证,：条件的必要性是明显的,.,我们只要证条件的充分性,.,设,A,，,B,是复数域上两个,n,阶对称矩阵，且,A,与,B,有相同的秩,r,，由定理,9.1.2,，分别存在复可逆矩阵,P,和,Q,，使得,即：两个复二次型等价的充分且必要条件,是它们有相同的秩,.,47,谢谢观赏,2019-8-17,复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型. 一,48,谢谢观赏,2019-8-17,48谢谢观赏2019-8-17,取,n,阶复矩阵,的一个平方根,.,49,谢谢观赏,2019-8-17,取 n 阶复矩阵的一个平方根. 49谢谢观赏2019-8-1,那么 ，而,因此，矩阵,A,，,B,都与矩阵,合同，所以,A,与,B,合同,.,50,谢谢观赏,2019-8-17,那么 ，而 因,二、实二次型,1,、定理：,实数域上每一,n,阶对称矩阵,A,都合同于如下形式的一个矩阵：,（,1,）,这里,r,等于,A,的秩,.,证,：,由定理,9.1.2,，存在实可逆矩阵,P,，使得,51,谢谢观赏,2019-8-17,二、实二次型1、定理：实数域上每一n 阶对称矩阵A 都合同于,如果,r ,0,，必要时交换两列和两行，我们总可以假定,52,谢谢观赏,2019-8-17,如果r 0 ，必要时交换两列和两行，我们总可以假定,取,那么,53,谢谢观赏,2019-8-17,取 那么53谢谢观赏2019-8-17,2,、定理：,实数域上,n,元二次型都与如下形式的二次型等价：,（,1,）,这里,r,是所给的二次型的秩,.,注,:,二次型（,1,）叫做,实二次型的典范形式,，,该定理是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价,.,在典范形式里，平方项的个数,r,等于二次型的秩，因而是唯一确定的,.,54,谢谢观赏,2019-8-17,2、定理：实数域上n 元二次型都与如下形式的二次型等价： （,3,、定理 （惯性定律）：,设实数域上,n,元二次型,等价于两个典范形式,（,2,）,（,3,）,那么,证：,设（,2,）和（,3,）分别通过变量的非奇异线性变换,（,4,）,（,5,）,55,谢谢观赏,2019-8-17,3、定理 （惯性定律）：设实数域上n元二次型 等价于两个典范,化为所给的二次型 如果 不,妨设 考虑 个方程的齐次线性方程组,（,6,）,因为 所以 因此，方程组（,6,）在,R,内有非零解,.,令 是（,6,）的一个非零解,.,把这一组值代入 的表示式,56,谢谢观赏,2019-8-17,化为所给的二次型,（,4,）和（,5,）,.,记,我们有,57,谢谢观赏,2019-8-17,（4）和（5）. 记 我们有57谢谢观赏2019-8-17,然而,所以,因为 都是非负数，所以必须,又 所以 是齐次线性方程组,的一个非零解,.,这与矩阵 的非奇异性矛盾,.,58,谢谢观赏,2019-8-17,然而所以 因为,这就证明了,.,同理可证得,.,所以,4,、总结：实二次型都与唯一的典范形式（,1,）等价,.,在（,1,）中，正平方项的个数,p,叫做所给二次型的惯性指标,.,正项的个数,p,与负项的个数,r p,的差,s = p (r p) = 2p r,叫做,所给的二次型的符号差,.,注意：,一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定的,.,59,谢谢观赏,2019-8-17,这就证明了 . 同理可证得,5,、定理：,实数域上两个,n,元二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩和符号差,.,证,设 是实数域上两个,n,元二次型,.,令 分别是它们的矩阵,.,那么由定理,9.2.2,，存在实可逆矩阵,P,，使得,如果 等价，那么 合同,.,于是存在实可逆矩阵,Q,使得,.,取 ，那么,60,谢谢观赏,2019-8-17,5、定理：实数域上两个 n 元二次型等价的充分且必要条件是它,因此 都与同一个典范形式等价，所以它们有相同的秩和符号差,.,反过来，如果 有相同的秩,r,和符号差,s,那么它们也有相同的惯性指标,.,因此 都与矩阵,61,谢谢观赏,2019-8-17,因此 都与同一个典范形式等价，所以它们,合同,.,由此推出 合同，从而 等价,.,6,、推论 ：,实数域,R,上一切,n,元二次型可以分成,类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价,.,证,给定,.,令,62,谢谢观赏,2019-8-17,合同. 由此推出 合同，从而,由定理,9.2.4,，,R,上每一,n,元二次型恰与一个以 为矩阵的典范形式等价,.,当,r,取定后，,p,可以取,0,，,1,，,，,r,；而,r,又可以取,0,，,1,，,，,n,中任何一个数,.,因此这样的 共有,个,.,对于每一个 ，就有一个典范形式,63,谢谢观赏,2019-8-17,由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰与一个以,与它相当,.,把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是,R,上的一切,n,元二次型恰可以分成,类，属于同一类的二次彼此等价，属于不同类的二次互不等价,.,7,、例 ：,a,满足什么条件时，二次型,的惯性指标是,0,，符号差是,2,？写出其典范形。,64,谢谢观赏,2019-8-17,与它相当. 把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是 R,解,实二次型 的矩阵为,经过合同变换可化为标准形,所以当 或 时，二次型的惯性指标是,0,，符号差是,2,，其典范形为,65,谢谢观赏,2019-8-17,解 实二次型 的,三、小结,基本概念：,这里，,秩,(,f,).,2,、,n,元实二次型 的规范形,这里，,秩,(,f,),，,p,称为,f,的正惯性指数；,称为,f,的负惯性指数；称为 符号差,.,1,、,n,元复二次型的规范形,66,谢谢观赏,2019-8-17,三、小结基本概念：这里， 秩( f ).2、 n元实二次,基本结论,定理,、任意一个复系数二次型，经过一适当的,非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的,.,即，任一复对称矩阵,A,合同于一个对角矩阵,推论,、两个复对称矩阵,A,、,B,合同,67,谢谢观赏,2019-8-17,基本结论定理、任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变,定理,、任意一个实二次型，经过一适当的非退化,线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的,.,即，任一实对称矩阵,A,合同于一个对角矩阵,其中 的个数等于矩阵,的秩,.,68,谢谢观赏,2019-8-17,定理、任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范,推论,、两个实对称矩阵,A,、,B,合同的充要条件是,正惯性指数相等,.,且二次型与的,69,谢谢观赏,2019-8-17,推论、两个实对称矩阵A、B合同的充要条件是正惯性指数相等.且,学习目标：,1,掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型的概念。,2,掌握实二次型,正定的判,定定理。,9.3,正定二次型,70,谢谢观赏,2019-8-17,学习目标： 2掌握实二次型 正定的判 定定理。 9.3 正,一、正定二次型与正定矩阵,1,基本概念,i,）正定二次型,实二次型,称为,正定的,，如果对于,任意一组不全为零的实数,都有,ii,）正定矩阵,实对称矩阵,称为,正定的,，如果二次型,71,谢谢观赏,2019-8-17,一、正定二次型与正定矩阵1基本概念 i）正定二次型实二次型,2,、例：,下列实二次型是否为正定的二次型：,1,）,2,）,3,）,72,谢谢观赏,2019-8-17,2、例：下列实二次型是否为正定的二次型：1） 2） 3） 7,从而,例：,若 ， 都是 阶正定矩阵， 证明： 是正定矩阵。,证明：,只需证明 正定。,由 ， 都是正定矩阵，知 ， 正定，,所以对于任意一组不全为,零的实数,，,有,，,73,谢谢观赏,2019-8-17,从而 例： 若 ， 都是 阶正定矩阵，,实二次型 是正定的当且仅当,.,证明：,若 正定，则对任意一组不全为零的实数 ，都有,.,分别选取 为 ，则有,.,若,.,则对任意一组不全为零的实数 ，都有,所以,是正定的。,74,谢谢观赏,2019-8-17,实二次型,非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变,.,设实二次型,(1),经过非退化实线性替换,(2),变成二次型,(3),则 是正定的 是正定的。,75,谢谢观赏,2019-8-17,非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变.(1) 经过非退化,证明：,若 是正定的。对于任意一 组不全为零的实数 ，令,由于 是可逆实矩阵，故 也是一组不全为零的实数，从而,因为二次型（,3,）也可以经非退化实线性替换,变到二次型（,1,），所以按同样理由，当（,3,）正定时，（,1,）也正定,.,76,谢谢观赏,2019-8-17,证明： 若 是正,二、正定二次型的判别,1,判别定理,1,：,实二次型 是正定的 它的正惯性指数等于,.,实二次型 是正定的 它的规范形为 。,一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合同,.,例：,正定矩阵的行列式大于零,.,逆命题不成立。,反例,：,的行列式大于零，但它对应的二次型 不是正定的。,77,谢谢观赏,2019-8-17,二、正定二次型的判别 1判别定理1： 实二次型,提示：,2,矩阵的顺序主子式：,称为矩阵 的顺序主子式,.,矩阵 的第 个顺序主子式为,练习：,若 是 阶实矩阵，则满足（ ）时， 是正定矩阵。,78,谢谢观赏,2019-8-17,提示：2矩阵的顺序主子式： 称为矩阵,称为矩阵 的顺序主子式,.,3,判别定理,2,：,实二次型,是正定的 矩阵 的顺序主子式全大于零,.,79,谢谢观赏,2019-8-17,称为矩阵 的顺序主子式.,4,、例：,判定二次型,是否正定,.,的矩阵为,，它的顺序主子,式,所以， 正定。,80,谢谢观赏,2019-8-17,4、例： 判定二次型 是否正定. 的矩阵为 ，它的顺,A, ，,B.,非退化，,C.,的元素全是正实数，,D.,的主对角上元素全为正。,练习：,若 是正定矩阵，则下列结论错误的是（ ）。,练习,：,设,易知 都是正定矩阵，但,不是正定矩阵。,81,谢谢观赏,2019-8-17,A ， B. 非退化,三、小结,1,、正定二 次型；,基本概念：,2,、顺序主子式、主子式,正定矩阵；,基本结论：,1,、非退化线性替换保持实二次型的正定,性不变,.,82,谢谢观赏,2019-8-17,三、小结1、正定二 次型；基本概念：2、顺序主子式、主子式正,3,、实二次型,f,(,x,1,x,2,x,n,),XAX,正定,负定,.,2,、,实二次型 正定,A,与单位矩阵,E,合同，即存在可逆矩阵,C,，使,A,CC,A,的各级顺序主子式全大于零,f,的正惯性指数,p,等于,n,4,、实对称矩阵,A,正定,83,谢谢观赏,2019-8-17,3、实二次型 f (x1,x2,xn)XAX 正定负,9.4,主轴问题,学习目标,1,掌握变量的正交变换,2,掌握将实二次型通过变量的正交变换化为 只含平方项的二次型,84,谢谢观赏,2019-8-17,9.4 主轴问题 学习目标84谢谢观赏2019-8-17,一、变量的正交变换,我们已经看到,实数域上一个二次型 可以经过变量的非奇异变换,化为二次型,85,谢谢观赏,2019-8-17,一、变量的正交变换我们已经看到, 实数域上一个二次型,1,、定义,:,将,n,元实二次型通过变量的正交变换化为只含平方项的二次型问题,这个问题称为二次型的,主轴问题,.,注,：,(1),这里所说的变量的,正交变换,指的是这个变换的矩阵是正交矩阵,.,(2),由于正交矩阵是非奇异的,所以变量的正交变换是非奇异的,.,(3),即：,给一个实对称矩阵,A,要寻求一个正交矩阵,U,使得 是对角形式,86,谢谢观赏,2019-8-17,1、定义: 将n元实二次型通过变量的正交变换化为只含平方,2,、定理：,设,是实数域上一个二次型,那么总可以通过变量的正交变换,化为 这里,U,是一个正交矩阵,而 是二次型 的全部特征根,.,87,谢谢观赏,2019-8-17,2、定理： 设 是实数域上一个二次型, 那么总可以通过变量的,证,是一个,n,阶实对称矩阵,.,由定理,8.4.3,和,8.4.6,存在一个正交矩阵,U,使得,这里 是,A,的全部特征根,.,这也就相当于说以,A,为矩阵的二次型可以通过变量的正交变换化为标准形式,88,谢谢观赏,2019-8-17,证 是一个n 阶实对称矩阵.由定,1,、推论,:,设,是实数域上一个,n,元二次型,是它的矩阵,.,(i),二次型 的秩等于,A,的不等于零的特征根的个数,而符号差等于,A,的正特征根个数与负特征根个数的差,.,(ii),二次型 是正交的必要且只要,A,的所有特征根都是正数,.,二、实对称矩阵的相似对角形,89,谢谢观赏,2019-8-17,1、推论: 设 是实数域上一个n元二次型,2.,例,:,已知实二次型,(1),用正交线性变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交线性变换；,(2),求出的秩、惯性指标与符号差,.,解 （,1,） 的矩阵为,求,f,的全部特征根：因为,90,谢谢观赏,2019-8-17,2. 例: 已知实二次型 (1) 用正交线性变换将二次,故的全部特征根为 （二重）， 。,对特征根 ，解齐次线性方程组,得一基础解系：,91,谢谢观赏,2019-8-17,故的全部特征根为 （二重），,对特征根 ，解齐次线性方程组,得一基础解系：,对,正交化、单位化得：,92,谢谢观赏,2019-8-17,对特征根 ，解齐次线性方程组 得一基础解,以 为列作一个正交矩阵,93,谢谢观赏,2019-8-17,以 为列作一个正交矩阵93谢谢,则,于是 经过正交线性变换 ，化为标准形,（,2,）,由（,1,） 的秩为,2,，惯性指标 ，符号差,.,94,谢谢观赏,2019-8-17,则 于是 经过正,