初等方法建模

,Mathematical Modeling,2008,Department of Mathematics HUST,Mathematical Modeling,2008,Department of Mathematics HUST,Department of Mathematics HUST,Mathematical Modeling,2008,Department of Mathematics HUST,Department of Mathematics HUST,第,二,章 初等方法建模,2.1,比例分析模型,2.2,代数模型,2.3,量纲分析模型,2.4,简单优化模型,2.1,比例分析模型,包装本钱问题,划艇比赛成绩,2.1.1 包装本钱问题,考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产品，它们常常是包装后出售的。注意到包装比较大的按每克计算的价格较低。人们通常认为这是由于节省了包装和经营的本钱的缘故。,或许有人会问，这是主要原因吗?是否还有其他重要因素？能否构造一个简单模型来分析？,问题,研究产品本钱随包装大小而变化的规律,2.1.1 包装本钱问题,模型分析与假设,1,）计入批发价格的主要成本是,:,生产该产品的成本,包装该产品的成本,运输该产品的成本,包装材料的成本,2,）产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变,化，忽略这些因素集中考虑在原料和买卖过程的,费用上,.,设该产品成本 与所生产的货物重量成正比,记为,其中,w,为产品重量,模型分析与假设,装包时间大致与体积因而与重量成比例,而对于体,积在一定范围内的包装，后两局部时间相差不大。,2.1.1 包装本钱问题,3)包装本钱取决于装包、封包以及装箱备运所需要的时间.,于是有,5假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积,几乎与线性尺度的立方成正比,外表积几乎与线性尺度,的平方成正比，,模型分析与假设,2.1.1 包装本钱问题,于是每克的批发本钱是,模型建立,由此看出，当包装增大时，即每包内产重量 增大时，,每克的成本下降,.,现在将,比例法,中涉及的自变量化为一个自变量,重量。,2.1.1 包装本钱问题,进一步的分析可以看到，每克产品的本钱下降速度,因此当包装比较大时，每克的节省率增加得比较慢。总节省率为,这是,W,的减函数。,这也是 的减函数。,2.1.1 包装本钱问题,直观解释,购置预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格(体积)增大一倍，每克所节省的钱，倾向于比大型的包装规格增大一倍所节省的钱多。,此模型可推广于零售价格，零售成本取决于批发价、销售成本和仓库成本，后两种成本具有的形式,，因此上述 结论也适用于零售价格。,应用,这里说“倾向于是因为模型是粗糙的。然而在定性预测中往往很可靠。而验证上述解释也是很容易的,只须计算的 值，其中,2.1.1 包装本钱问题,赛艇,2000,米成绩,t,(,分),种类 1 2 3 4 平均,单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21,双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88,四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32,八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84,艇长,l,艇宽,b,(,米) (米),l,/,b,7.93 0.293 27.0,9.76 0.356 27.4,11.75 0.574 21.0,18.28 0.610 30.0,空艇重,w,0,(kg),浆手数,n,16.3,13.6,18.1,14.7,对四种赛艇单人、双人、四人、八人4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,准备,调查赛艇的尺寸和重量,l,/,b,w,0,/,n,基本不变,2.1.2,划艇比赛成绩,问题分析,前进阻力 浸没局部与水的摩擦力,前进动力,浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,划浆,功率,赛艇,速度,赛艇,速度,前进,动力,前进,阻力,浆手数量,艇,重,浸没,面积,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用适宜的物理定律建立模型,2.1.2,划艇比赛成绩,模型假设,1艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比,2v是常数，阻力 f与 Sv2成正比,符号：艇速,v,浸没面积,S,浸没体积,A,空艇重,w,0,阻力,f,浆手数,n,浆手功率,p,浆手体重,w,艇重,W,艇的静态特性,艇的动态特性,3w相同，p不变，p与w成正比,浆手的特征,模型建立,f,Sv,2,p,w,v,(,n/S,),1/3,S,1/2,A,1/3,A,W,(=,w,0,+,nw,),n,S,n,2/3,v,n,1/9,比赛成绩,t,n, 1/9,np,fv,2.1.2,划艇比赛成绩,模型检验,n,t,1 7.21,2 6.88,4 6.32,8 5.84,最小二乘法,利用,4次国际大赛冠军的平均成绩对模型,t,n, 1/ 9,进行检验,t,n,1,2,4,8,7.21,6.88,6.32,5.84,与模型巧合！,2.1.2,划艇比赛成绩,2.2,代数模型,森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度，开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值？,森林管理问题,模型假设,1把树木按高度分为n类，第1类树木的高度为,0, h1，它是树木的幼苗，第k类树木的高度为,hk -1, hk，k=2, 3,n-1，第n类树木的高度为,hn-1,；,2幼苗的经济价值为p1=0，第k类的经济价值为,pk , k=2, 3,n ；,3每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐局部,树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗.,森林管理问题,5,）在一年的生长期内，树木最多生长一个高度类,即第,k,类的树木可能进入第,k,+1,类，也可能停留,在第,k,类，进入第,k,+1,类的比例为,;,4补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长,期后，与砍伐前树木的高度状态相同；,6忽略两次砍伐期间树木的死亡情况.,模型假设,森林管理问题,设 为第,t,年森林中第,k,类树木的数量，,每年砍伐第,k,类树木数为,建立模型,S,为森林树木总数,没有砍伐时，树木第,t,+1,年的数量是,(2),森林管理问题,(1),有砍伐时，树木第,t,+1,年的数量是,(3),建立模型,森林管理问题,引入树木状态向量,x,(,t,),、收获向量,y,、生长矩阵,G,和种植矩阵,R,如下,建立模型,森林管理问题,2式和3式分别写为,考虑到假设4，又有,5,本问题即是求满足1式条件下的5式的解。,建立模型,树木状态向量,x,(,t,),、收获向量,y,、生长矩阵,G,、,种植矩阵,R,森林管理问题,模型求解,由于幼苗无经济价值，故不对其砍伐，即,由5式可得,(6),森林管理问题,利用收获向量和价值向量，得所收获树木的价值为,(8),为了获得最大的收益,要在条件(1)和(7)式限制下,求8式的最大值。,(7),模型求解,森林管理问题,在实际中，往往只砍伐一种类别的所有树木，,设为,k,类，,且此时,及6式得,解得,模型求解,即,森林管理问题,代入1式得,此时，收获树木的价值为,比较各即可获得最正确砍伐方案。,模型求解,森林管理问题,求出对其进行最优采伐的策略。,例题,森林具有6年的生长期，,g,1,=,0.28,g,2,=,0.32,g,3,=,0.25,g,4,=,0.23,g,5,=,0.37,p,2,=,50,元，,p,3,=,100,元，,p,4,=,150,元，,p,5,=,200,元，,p,6,=,250,元。,问题,森林管理问题,f2=14.0S, f3=14.7S, f4=13.9S, f5=13.2S, f6=14.0S，,比较得f3最大，收益是14.7S。,因此应砍伐第三年中的全部树木。,求解,例题,按上述方法计算得,此时，,x,2,=,0.475S,，森林群体,x=,(0.525, 0.475, 0, 0, 0,，,0),T,，即第一年树木占树木总数的,52.5%,，第二年树木占树木总数的,47.5%,。,森林管理问题,2.3,量纲分析法,单位,量纲分析,物理模拟中的比例模型,2.3.4,无量纲化,量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是建立数学模型的一个有力工具。,任何物理量都是有单位的，数学建模中的变量、参量和常量代表可以被测量的数量，所以也应具有相应的单位。,一般执行国际单位制，比方：长度米, m、质量千克, kg、时间秒, s，力牛顿, N=kg.m/s2、能量焦耳, J=kg.m2/s2等。,2.3.1,单位,物理量的量纲,X,x,或,dim,x,长度,l,的量纲记,L,=,l,质量,m,的量纲记,M,=,m,时间,t,的量纲记,T,=,t,动力学中根本量纲,L, M, T,速度,v,的量纲,v,=,LT,-1,导出量纲,加速度,a,的量纲,a,=,LT,-2,力,f,的量纲,f,=,LMT,-2,面积,s,的量纲,s,=,L,2,密度的量纲,=,ML,-3,2.3.2,量纲分析,2.3.2,量纲分析,量纲齐次原那么,任何一个有意义的等式方程左右两端的量纲应保持一致,引力常数,k,的量纲,k,对无量纲量,，,=1(=,L,0,M,0,T,0,),=,f,l,2,m,-2,=,L,3,M,-1,T,-2,量纲分析利用量纲齐次原那么寻求各物理量之间的关系,例：单摆运动,l,mg,m,求摆动周期,t,的表达式,设物理量,t, m, l, g,之间有关系式,1,2,3,为待定系数，,为无量纲量,(1),的量纲表达式,对比,2.3.2,量纲分析,对,x,y,z,的两组测量值,x,1,y,1,z,1,和,x,2,y,2,z,2,，,p,1,=,f,(,x,1,y,1,z,1,),p,2,=,f,(,x,2, y,2,z,2,),为什么假设这种形式,设,p,=,f,(,x,y,z,),x,y,z,的量纲单位缩小,a,b,c,倍,p,=,f,(,x,y,z,),的形式为,2.3.2,量纲分析,单摆运动中,t, m, l, g,的一般表达式,y,1,y,4,为待定常数,为无量纲量,2.3.2,量纲分析,为了导出量纲分析中的一般方法，设,设,f,(,q,1,q,2,q,m,) = 0,y,s,= (,y,s,1, y,s,2, ,y,sm,),T,s,= 1,2,m-r,F,(,1,2,m-r,) = 0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,) =0,等价,F,未定。,Pi,定理,(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是根本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为,量纲矩阵记作,线性齐次方程组,有,m-r,个基本解，记作,为,m-r,个相互独立的无量纲量,且,则,2.3.2,量纲分析,f, =,LMT,-2,l,=,h,=,L,v, =,LT,-1, =,L,-3,M,=,L,-1,MT,-1,g, =,LT,-2,量纲分析例如：波浪对航船的阻力,航船阻力,f,船体长,l,，吃水深度,h,，航船速度,v,海水密度,粘度系数,，,重力加速度,g,m,=7,n,=3,2.3.2,量纲分析,Ay=0 有m-r=4个根本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r个根本解,y,s,= (,y,s,1,y,s,2, ,y,sm,),T,s,= 1,2,m-r,m-r,个无量纲量,波浪对航船的阻力,为得到阻力,f,的显式表达式,F,=0,未定,F,(,1,2,m-r,) = 0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,) =0,等价,F,(,1,2,3,4,) = 0,与,(,f,l,h,v,g,) = 0,等价,波浪对航船的阻力,量纲分析法的评注,物理量的选取,根本量纲的选取,根本解的构造,结果的局限性,() = 0,中包括哪些物理量是至关重要的,根本量纲个数n; 选哪些根本量纲,有目的地构造 Ay=0 的根本解,方法的普适性,函数,F,和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,2.3.3,物理模拟中的比例模型,单摆运动,及原型中各物理量为,因为,量纲为,1,，在原型和模型中不变,又因为,g,=,g,所以有,如果按比例尺为,4,：,1,设计模型的摆长，那么测定了模型的周期以后，原型周期取为模型周期的,2,倍。,例,:,航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数,(,均已知,),可得原型船所受阻力,模型船所受阻力,f ,l ,h ,v , , ,g 原型船的参数,(f 未知，其他),注意：二者的,相同,2.3.3,物理模拟中的比例模型,当,=,，,=,时,考虑改变模拟所用液体粘度,l,=,l,h,=,h,无法进行模拟,当无量纲量满足,按一定尺寸比例造模型船，量测,f,，可算出,f,物理模拟,即设 ，仍设=，那么,当,l,=,l,/20,时，,=,0.01,，而技术上很难得到如此小的粘度的液体,考虑在一定的条件下,Re,数（ ）的影响较小，忽略它，得,例：火箭发射,m,1,m,2,x,r,v,0,g,星球外表竖直发射。初速v, 星球半径r, 外表重力加速度g,研究火箭高度,x,随时间,t,的变化规律,t,=0,时,x,=0,火箭质量,m,1,星球质量,m,2,牛顿第二定律，万有引力定律,3,个独立参数,2.3.4,无量纲化,用无量纲化方法减少独立参数个数,x,=,L, ,t,=,T, ,r,=,L, ,v,=,LT,-1, ,g,=,LT,-2,变量,x,t,和独立参数,r,v,g,的,量纲,用参数r, v, g的组合,分别构造与x, t具有相同量纲的xc, tc 特征尺度,无量纲变量,如,利用新变量,将被简化,令,x,c, t,c,的不同构造,1,）令,的不同简化结果,为无量纲量,3,）令,为无量纲量,2,）令,为无量纲量,123的共同点,只含,1,个参数,无量纲量,解,重要差异,考察无量纲量,在123中能否忽略以为因子的项？,1),忽略,项,无解,不能忽略,项,2),3),忽略,项,不能忽略,项,忽略,项,火箭发射过程中引力,m,1,g,不变,即,x+r, r,原问题,可以忽略,项,是原问题的近似解,为什么,3),能忽略,项，得到原问题近似解，而,1) 2),不能,?,1,）令,2,）令,3,）令,火箭到达最高点时间为,v,/,g,高度为,v,2,/2,g,大体上具有单位尺度,项可以忽略,项不能忽略,2.4,简单的优化法,存贮问题,森林救火,现实世界中普遍存在着优化问题,静态优化问题指最优解是数,(,不是函数,),建立静态优化模型的关键之一是根据建模目确实定恰当的目标函数,求解静态优化模型一般用微分法,静 态 优 化 模 型,问 题,配件厂为装配线生产假设干种产品，轮换产品时因更换设,备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂,生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。,某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费,每日每件1元。试安排该产品的生产方案，即多少天生产,一次生产周期，每次产量多少，使总费用最小。,要,求,不只是答复以下问题，而且要建立生产周期、产量与,需求量、准备费、贮存费之间的关系。,2.4.1,存贮问题,问题分析与思考,每天生产一次,，每次,100,件，无贮存费，准备费,5000,元。,日需求,100,件，准备费,5000,元，贮存费每日每件,1,元。,10,天生产一次,，每次,1000,件，贮存费,900+800+100 =4500,元，准备费,5000,元，总计,9500,元。,50,天生产一次,，每次,5000,件，贮存费,4900+4800+100 =122500,元，准备费,5000,元，总计,127500,元。,平均每天费用,950,元,平均每天费用,2550,元,10,天生产一次平均每天费用最小吗,?,每天费用,5000,元,这是一个优化问题，关键在建立目标函数。,显然不能用一个周期的总费用作为目标函数,目标函数,每天总费用的平均值,周期短，产量小,周期长，产量大,问题分析与思考,贮存费少，准备费多,准备费少，贮存费多,存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小,模 型 假 设,1.,产品每天的需求量为常数,r,；,2.,每次生产准备费为,c,1,每天每件产品贮存费为,c,2,；,3. T天生产一次周期, 每次生产Q件，当贮存量,为零时，Q件产品立即到来生产时间不计；,建 模 目 的,设 r, c1, c2 ，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。,4.,为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。,模 型 建 立,0,t,q,贮存量表示为时间的函数,q,(,t,),T,Q,r,t,=0,生产,Q,件，,q,(0)=,Q,q,(,t,),以,需求速率,r,递减，,q,(,T,)=0.,一周期,总费用,每天总费用平均,值目标函数,离散问题连续化,一周期贮存费为,A=QT,/2,模型求解,求,T,使,模型分析,模型应用,c,1,=5000,c,2,=1,，,r,=100,T,=10(,天,),Q,=1000(,件,),C,=1000(,元,),答复以下问题,经济批量订货公式EOQ公式,每天需求量,r,，每次订货费,c,1,每天每件贮存费,c,2,，,用于订货、供给、存贮情形,不允许缺货的存贮模型,问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？,T,天订货一次,(,周期,),每次订货,Q,件，当贮存量降到,零时，,Q,件立即到货。,允许缺货的存贮模型,A,B,0,q,Q,r,T,1,t,当贮存量降到零时仍有需求,r,出现缺货，造成损失,原模型假设：贮存量降到零时,Q,件立即生产出来,(,或立即到货,),现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费,c,3,缺货需补足,T,一周期贮存费,一周期缺货费,周期,T, t=T,1,贮存量降到零,一周期总费用,每天总费用,平均值,目标函数,一周期总费用,求,T ,Q,使,为与,不允许缺货的存贮模型相比，,T,记作,T,Q,记作,Q,不允许缺货模型,记,允许缺货模型,不允许缺货,允许缺货模型,0,q,Q,r,T,1,t,T,注意：缺货需补足,Q,每周期初的存贮量,R,每周期的生产量R 或订货量,Q,不允许缺货时的产量,(,或订货量,),森林失火后，要确定派出消防队员的数量。,队员多，森林损失小，救援费用大；,队员少，森林损失大，救援费用小。,综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。,问题分析,问题,记队员人数,x,失火时刻,t,=0,开始救火时刻,t,1,灭火时刻,t,2,时刻,t,森林烧毁面积,B,(,t,).,损失费,f,1,(,x,),是,x,的减函数,由烧毁面积,B,(,t,2,),决定,.,救援费,f,2,(,x,),是,x,的增函数,由队员人数和救火时间决定,.,存在恰当的,x,，使,f,1,(,x,),f,2,(,x,),之和最小,2.4.2,森林救火,关键是对,B,(,t,),作出合理的简化假设,.,问题分析,失火时刻,t,=0,开始救火时刻,t,1,灭火时刻,t,2,画出时刻,t,森林烧毁面积,B,(,t,),的大致图形,t,1,t,2,0,t,B,B,(,t,2,),分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.,模型假设,3f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费,10tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度,2t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度,4每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3,假设1的解释,r,B,火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径,r,与,t,成正比,面积,B,与,t,2,成正比，,dB/dt,与,t,成正比,.,模型建立,b,0,t,1,t,t,2,假设,1,）,目标函数,总费用,假设,3,）,4,）,假设,2,）,模型建立,目标函数,总费用,模型求解,求,x,使,C,(,x,),最小,结果解释,/,是火势不继续蔓延的最少队员数,b,0,t,1,t,2,t,其中 c1,c2,c3, t1, ,为参数,模型应用,c1,c2,c3, t1可估计,c,2,x,c,1,t,1,x,c,3, ,x,结果解释,c,1,烧毁单位面积损失费,c,2,每个,队员单位时间灭火费,c,3,每个,队员一次性费用,t,1,开始救火时刻,火,势蔓延速度,每个,队员平均灭火,速度,.,为什么,?, ,可,设置一系列数值,由模型决定队员数量,x,