资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4.1 信号分解为正交函数,在线性空间中，任何矢量可用,相互垂直,的单位矢量表示。这组矢量称为,正交,矢量集。,一. 正交函数集,正交函数,：函数,1,(t)和,2,(t)在区间(t,1,，t,2,)内正交，则,正交函数集,：n个函数,1,(t)，,n,(t)在区间(t,1,，t,2,)内构成的正交函数集,i,(t)满足,1,4.1 信号分解为正交函数在线性空间中，任何矢量可用相互垂直,K,i,为常数，如果K,i,1，则称该函数集为,归一化正交函数集,。,完备正交函数集,：在正交函数集之外，不存在函数与之正交。,一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。,正交复函数的定义：,正交函数集例：（在区间t,0,，t,0,+T，且T,=2,）,三角函数集：1，cos(n,t)，sin(n,t)；n1，2，3，,复指数函数集：e,jn,t,；n0，,1，,2，,2,Ki为常数，如果Ki1，则称该函数集为归一化正交函数集。,二. 信号分解为正交函数,对任一函数f(t)用n个正交函数的线性组合来近似,选择C,j,时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取均方误差,要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极值得,3,二. 信号分解为正交函数 选择Cj时使实际函数与近似函数之间,于是可得误差,均方误差总是大于等于0，增大n可使误差减小。,4,于是可得误差 均方误差总是大于等于0，增大n可使误差减小。,当n,，误差为0，则有,帕斯瓦尔(Parseval)方程,帕斯瓦尔方程物理意义：如果f(t)是电压或电流信号，则单位电阻上信号的总能量等于信号的各正交分量的能量之和。,因此f(t)在区间(t,1,t,2,)可分解为无穷多项正交函数之和,5,当n，误差为0，则有帕斯瓦尔(Parseval)方程帕斯,4.2 傅里叶级数,周期信号在区间(t,0，,t,0,T)上可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。,三角函数集或复指数函数集是完备的正交函数集，由其展开的级数统称为,傅里叶级数,。,一. 周期信号的分解,设有周期信号f(t)，可分解为,a,n、,b,n,称为,傅里叶系数,。可由下式求得,6,4.2 傅里叶级数周期信号在区间(t0，t0T)上可以展开,a,n,是n的偶函数，即 a,n,a,n,；,b,n,是n的奇函数，即 b,n,b,n,。,f(t)分解式的另一种形式,式中 A,0,=a,0,7,an是n的偶函数，即 anan ；式中 A0=,例：将方波信号展开为傅里叶级数。,1,f(t),t,-T,-1,T,解：傅里叶系数为,8,例：将方波信号展开为傅里叶级数。 1f(t)t-T-1T解：,傅里叶级数的展开式为,9,傅里叶级数的展开式为 9,图示方波信号分解,吉布斯(Gibbs)现象,：当n,时，在间断点处有9%的偏差。,如果方波信号如图所示,1,f(t),t,-T,-1,T,则傅里叶级数的展开式为,10,图示方波信号分解1f(t)t-T-1T则傅里叶级数的展开式,二. 奇、偶函数的傅里叶系数,根据傅里叶系数计算式，f(t)为偶函数，则系数为,f(t)为奇函数，则系数为,11,二. 奇、偶函数的傅里叶系数 根据傅里叶系数计算式，f(t),任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分,f(t)f,od,(t)f,ev,(t),由于f(,t)f,od,(,t)f,ev,(,t),f,od,(t)f,ev,(t),所以,例f(t)=e,t,(t)，则,0,t,f(t),0.5,0.5,0,t,f(t),0.5,12,任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分 例f(t)=et,F,f(t),t,-T,T,F,f(-t),t,-T,T,F,f,od,(t),t,-T,T,F,f,ev,(t),t,-T,T,半波整流波形,13,Ff(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TT,全波整流信号,f,1,(t)=E|sin,0,t|,E,f,1,(t),t,-T,T,14,全波整流信号Ef1(t)t-TT14,求半波整流信号f,2,(t)Esin(,0,t),(sin,0,t)的傅立叶级数。,E,f,2,(t),t,-T,T,半波整流信号是由奇函数和偶函数两部分组成的：,15,求半波整流信号f2(t)Esin(0t)(sin0t,f(t)为奇谐函数：将f(t)移动,T/2后，与原波形反相，即对称于横轴,f(t),f(t,T/2),1,f(t),t,-T,T,奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含偶次谐波。,16,f(t)为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相，,三. 傅里叶级数的指数形式,因为cosx(e,jx,e,jx,)/2，所以,A,n,A,n,n,n,17,三. 傅里叶级数的指数形式 因为cosx(ejxejx,F,n,称为复傅里叶系数，计算式为,18,Fn称为复傅里叶系数，计算式为 18,傅里叶级数小结：,19,傅里叶级数小结： 19,4.3 周期信号的频谱,一. 周期信号的频谱,周期信号的傅里叶级数,A,n,、F,n,、,n,与n,有关，也即与频率,有关。,A,n,或|F,n,|与,之间的关系称为幅频特性，相应地可画出频谱图，称为,幅度频谱,。,n,与,之间的关系称为,相位频谱,。,周期信号的频谱只在,n,处取值，是离散频谱。,20,4.3 周期信号的频谱一. 周期信号的频谱 An、Fn、 ,Sa(x),二. 周期矩形脉冲的频谱,0,1,T,/2,-T,-,/2,f(t),t,定义,取样函数,为,Sa(x)为偶函数,21,Sa(x)二. 周期矩形脉冲的频谱01T/2-T-/2f,所以,在频谱图上,n,处，存在谱线，谱线间隔为,。,T不变：减小，幅度减小，一周内谱线增加，间隔不变。,不变：T增加，幅度减小，谱线间隔变密。,图示频谱图,。,信号能量集中在第一个零点内，,2/2f,0,。,定义周期矩形脉冲信号的频带宽度为：,F=f,0,=1/,。,22,所以在频谱图上n处，存在谱线，谱线间隔为 。T不变：,三. 周期信号的功率,周期信号的归一化平均功率,这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。,例：幅度为1，脉冲宽度为0.2，周期为1的矩形脉冲信号，信号功率为,23,三. 周期信号的功率 这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。23,其傅里叶系数为,第一个零点为0.2n,=，即n=5。,在频谱第一个零点内各分量的功率和为,第一个零点内分量所占总功率的比例为,24,其傅里叶系数为第一个零点为0.2n=，即n=5。第一个零,4.4 非周期信号的频谱,一. 傅里叶变换,由傅里叶级数的指数形式及其系数可得,当T,时，,d,，1/T,d,/2,，n,，离散频率变成连续频率，F,n,为无穷小。,上式成为,25,4.4 非周期信号的频谱一. 傅里叶变换 当T时，d,常用下面符号简记：,F(j,),F,f(t),F,f(t)表示对函数f(t)取傅里叶变换，F(j,)称为f(t)的,频谱密度函数,或,频谱函数,；,f(t),F,1,F(j,),F,1,F(j,)表示对函数F(j,)取逆变换,，f(t)称为F(j,)的,原函数,。,对应关系简记为：f(t),F(j,),频谱函数是,的,复函数,F(j,)|F(j,)|e,j,(,),R(,)jX(,),其中|F(j,)|为幅度频谱，,(,)为相位频谱。,26,常用下面符号简记：26,比较：实函数f(t)，复函数F(j,)，复变函数F(s)。,傅里叶变换的三角函数形式,物理意义：非周期信号含有所有连续频率分量，但其幅值为无穷小，用密度代替幅度来表示。,傅里叶积分由傅里叶级数推导而得，所以f(t)在无限区间上满足狄氏条件是傅里叶积分存在的条件。,|F(j,)|是偶函数,该项积分为0,27,比较：实函数f(t)，复函数F(j)，复变函数F(s)。物,一些特殊函数的傅里叶变换,(1) 门函数的频谱函数,门函数,g,(t),(t,/2),(t,/2),频谱图,傅里叶积分存在的充分条件是f(t)在无限区间上绝对可积,f(t),t,/2,1,0,28,一些特殊函数的傅里叶变换频谱图傅里叶积分存在的充分条件是f,(2) 单边指数函数的频谱函数,单边指数函数f(t)e,t,(t),0,幅度谱和相位谱,分别为,0,t,f(t),29,(2) 单边指数函数的频谱函数幅度谱和相位谱分别为 0tf,(3) 双边指数函数的频谱函数,双边指数函数,f,1,(t)e,|t|,0,(4) 另一形式的双边指数函数的频谱函数,双边指数函数(,0),30,(3) 双边指数函数的频谱函数(4) 另一形式的双边指数函数,二. 奇异函数的傅里叶变换,(1) 冲激函数的频谱,频谱密度恒为1，称为均匀谱或白色频谱。,冲激函数的频谱也可由门函数推得,(t)1,31,二. 奇异函数的傅里叶变换 (1) 冲激函数的频谱 频谱密度,(2) 冲激函数导数的频谱,即,(t)j,幅度谱|F(j,)|,，相位谱,(,),/2 。,根据广义函数导数的定义可得,F,(n),(t)(j,),n,。,(3) 单位直流信号的频谱,单位直流信号可看作双边指数函数f,1,(t) 当,0时的极限,直流分量为有限值，频谱密度为无穷。,32,(2) 冲激函数导数的频谱即,频谱函数是冲激函数，其强度为,所以,(4) 符号函数的频谱,符号函数,定义为,1,sgn(t),t,0,-1,33,频谱函数是冲激函数，其强度为所以(4) 符号函数的频谱1,sgn(t)可看作是双边指数函数f,2,(t)当,0时的极限，其频谱函数为,通常表示为,sgn(t)2/j,(5) 阶跃函数的频谱,34,sgn(t)可看作是双边指数函数f2(t)当0时的极限，,常用函数的傅里叶变换：,35,常用函数的傅里叶变换：35,4.5 傅里叶变换的性质,(1) 线性,若 f,i,(t),F,i,(j,) (i=1,2,n),则对任意常数a,i,(i=1,2,n)，有,傅里叶变换对,傅立叶变换后线性性质不变。,36,4.5 傅里叶变换的性质(1) 线性 傅里叶变换对傅立叶变换,(2) 奇偶性,分析频谱函数的奇偶性，及其与时间函数之间的关系。,频谱函数的实部和虚部分别为,频谱函数的模和相角分别为,37,(2) 奇偶性分析频谱函数的奇偶性，及其与时间函数之间的关系,f(t)是时间t的实函数：,R(,)=R(,), X(,)=,X(,),|F(j,)|=|F(,j,)|,(,)=,(,),若f(t)是偶函数，则X(,)0，F(j,)R(,)；,若f(t)是奇函数，则R(,)0，F(j,)jX(,)。,f(,t)的傅里叶变换为,F(,j,)R(,)jX (,),R(,),jX(,)F,*,(j,),即,F,f(,t)F(,j,)F,*,(j,),38,f(t)是时间t的实函数：,f(t)是时间t的虚函数，即f(t)=jg(t)，则有,R(,)=,R(,), X(,)=X(,),|F(j,)|=|F(,j,)|,(,)=,(,),F,f(,t)F(,j,)=,F,*,(j,),类似可得f(t)为复函数的性质。,无论f(t)为实函数或复函数，都有,F,f(,t)=F(,j,),F,f,*,(t)=F,*,(,j),F,f,*,(,t)=F,*,(j),39,f(t)是时间t的虚函数，即f(t)=jg(t)，则有 39,(3) 对称性,若f(t),F(j,),则 F(jt),2,f(,),傅里叶逆变换式,将式中的自变量t换为,t得,将上式中的t换为,，,换为t，即得,40,(3) 对称性若f(t) F(j) 将式中的,例：求取样函数Sa(t)=sint/t的频谱函数。,门函数傅氏变换,g,(t),Sa(,/2),根据对称性,Sa(t,/2),2,g,(,),令,2，则得,Sa(t),g,2,(,),例：求函数f(t)=t的频谱函数。,(t),j,jt,2,(,)=,2,(,),t,j2,(,),41,例：求取样函数Sa(t)=sint/t的频谱函数。41,(4) 尺度变换,若 f(t),F(j,),则,如a1，则表示在时域中信号对时间的压缩，对应其在频域中信号占有频带的扩展。,证明：,令x=at，则当a0时,42,(4) 尺度变换 若 f(t) ,令x=t,t,0,(5) 时移特性,当a0时,若 f(t),F(j,),则 f(t, t,0,) e,jt,0,F(j),，(t,0,为常数),证明：,同理可得f(t+t,0,)的变换。,43,令x=tt0(5) 时移特性 当a0时若,例：求图示五脉冲信号的频谱。,解：单脉冲信号的变换为,g,(t),Sa(/2),因为 f(t)g,(t)+g,(t+T)+g,(t,T)+g,(t+2T)+g,(t,2T),所以 F(j,),Sa(/2)(1+e,jT,+e,jT,+e,j2T,+e,j2T,),Sa(/2)1+2cos(T)+ 2cos(2T),当T4,时波形见图4.5-4。,f(t),t,/2,T,1,0,-T,2T,-2T,脉冲数n,？,44,例：求图示五脉冲信号的频谱。解：单脉冲信号的变换为f(t)t,综合尺度变换和时移特性有,若 f(t),F(j,),则,由尺度变换可得反转特性:,F,f(,t)F(,j,),例：求图示f,2,(t)、f,3,(t)函数的傅里叶变换。,f,1,(t),t,-1,1,1,0,f,2,(t),t,-2,2,1,0,-1,f,3,(t),t,-1,1,1,0,-1,45,综合尺度变换和时移特性有由尺度变换可得反转特性: F,解：f,1,(t)为门函数，其傅里叶变换为,g,2,(t),2Sa(,),函数f,2,(t)可表示为,f,2,(t)=f,1,(t+1)f,1,(t,1),其傅里叶变换,又f,3,(t)=f,2,(2t)，所以,46,解：f1(t)为门函数，其傅里叶变换为又f3(t)=f2(2,f,3,(t)也可直接由综合变换式求得,f,3,(t)=g,2,(2t+1),g,2,(2t,1),g,2,(t),2Sa(,),47,f3(t)也可直接由综合变换式求得47,(6) 频移特性,若f(t),F(j,)，且,0,为常数,则,应用频移特性实现频谱搬移，将信号f(t)乘以载频信号cos,0,t或sin,0,t得到。,因为,同理可得,48,(6) 频移特性 若f(t) F(j)，且0,例：,矩形调幅信号,49,例：矩形调幅信号49,(7) 卷积定理,时域卷积定理,若 f,1,(t),F,1,(j,),f,2,(t),F,2,(j,),则f,1,(t)*f,2,(t),F,1,(j,)F,2,(j,),证明：,50,(7) 卷积定理 时域卷积定理 50,频域卷积定理,若f,1,(t),F,1,(j,),f,2,(t),F,2,(j,),则,证明：,51,频域卷积定理 证明：51,例：求斜升函数r(t)=t,(t)的频谱。,解：根据函数t和,(t)的频谱，应用频域卷积定理,由此可得：,F,|t|=,F,t,(t)+(,t),(,t),52,例：求斜升函数r(t)=t(t)的频谱。由此可得：,(8) 时域微分和积分,时域微分定理,若 f(t),F(j,),则 f,(n),(t),(j,),n,F(j,),根据卷积的微分运算和时域卷积定理，则有,F,f(t)=,F,f(t)*,(t),=,F,f(t),F,(t)=j,F(j,),重复应用以上结果得时域微分定理。,在交流电路分析时：,时域积分定理,若 f(t),F(j,),则 f,(,1),(t),F(0),(,)+(j,),1,F(j,),53,(8) 时域微分和积分 时域微分定理 =F f(t)F,根据时域卷积定理，可得,F,f,(,1),(t)=,F,f,(1),(t)*,(t)=,F,f(t)*,(1),(t),=,F,f(t),F,(t)=F(j,),(,)+1/j,=,F(0),(,)+F(j,)/j,F(0)可以在频域中求，也可在时域中求：,54,根据时域卷积定理，可得54,例：求三角形脉冲的频谱函数。,f,(t),t,-,/2,/2,1,0,f,(t),t,-,/2,/2,2/,0,-2/,f,(t),t,-,/2,/2,0,(2/,),(2/,),(-4/,),对其求二次导数得冲激函数,55,例：求三角形脉冲的频谱函数。f(t)t-/2/210f,f(t)的频谱函数为,因为F(0)=0，F(j,)/j,|,=0,=0，所以f,(t)的频谱函数为,则三角形脉冲可表示为,56,f(t)的频谱函数为因为F(0)=0，F(j)/j|=,则频谱函数应为,在时域积分定理中认为,实际上,例：,(t)与sgn(t)/2的导数都是(t)，但,时值不同,57,则频谱函数应为在时域积分定理中认为实际上例：(t)与sgn,(9),频域微分和积分,频域微分,若f(t),F(j,),则 (,jt),n,f(t),F,(n),(j,),或 t,n,f(t),j,n,F,(n),(j,),证：,F,1,F(j,)=,F,1,F(j,)*,(),=2,F,1,F(j,),F,1,(),即 (,jt),1,f(t),F,(1),(j,),类推可得n次微分。,时域函数有t,n,因子时，变换可考虑用频域微分性质。,58,(9) 频域微分和积分 频域微分即,频域积分,若f(t),F(j,),则,式中f(0)可以在时域中求，也可在频域中求,证明：,F,1,F,(,1),(j,)=,F,1,F(j,)*,(1),(),=2,F,1,F(j,),F,1,(),= 2,f(t),F,1,(),59,频域积分式中f(0)可以在时域中求，也可在频域中求证明：59,时域函数有t,1,因子时，且f(0)=0，可考虑用如下频域积分性质,因为,根据对称性,取反转,60,时域函数有t1因子时，且f(0)=0，可考虑用如下频域积分,例：求r(t)=t,(t)的频谱函数。,例：求Sa(t)=,sint/t的频谱函数。,应用频域微分,应用频域积分,61,例：求r(t)=t(t)的频谱函数。例：求Sa(t)=si,若,f,1,(t),F,1,()，,f,2,(t),F,2,(),则有相关定理,F,R,12,()=F,1,(j)F,2,*,(j),F,R,21,()=F,1,*,(j)F,2,(j),这是因为,F,R,12,()=,F,f,1,()*f,2,(),=F,1,(j)F,2,(j)=F,1,(j)F,2,*(j),相关定理中f,1,(t)、f,2,(t)应该是实函数。,对于自相关函数则有,F,R()=F(j)F*(j)=|F(j)|,2,(10) 相关定理,62,若 f1(t)F1()，,傅里叶变换性质小结,线性 a,1,f,1,(t)+a,2,f,2,(t),a,1,F,1,(j,)+ a,2,F,2,(j,),奇偶性 f(t)为实函数：R(,)、|F(j)|偶函数；X,(,)、 ,(,)奇函数。,F,f(,t)=F(,j,)=F,*,(j),对称性 F(jt),2,f(,),时移特性,尺度变换,63,傅里叶变换性质小结 线性 a1f1(t)+a2f2(,时域卷积定理 f,1,(t)*f,2,(t),F,1,(j,)F,2,(j,),频域卷积定理,时域微分f,(n),(t),(j,),n,F(j,),时域积分,频域微分 (,jt),n,f(t),F,(n),(j,),频域积分,频移特性,64,时域卷积定理 f1(t)*f2(t) F1(j),若E、P有界，则f(t)称为,能量信号,或,功率信号,。,能量谱,若f(t)为实函数，信号能量与频谱函数的关系,4.6 能量谱和功率谱,65,若E、P有界，则f(t)称为能量信号或功率信号。4.6 能,即,上式也是能量形式的帕斯瓦尔方程。,可将上式改写为,物理意义：在df频带范围内，信号具有的能量为无穷小量|F(j,)|,2,df,。,定义,能量密度谱,E,(,)=,|F(j,)|,2,信号的能量谱是其自相关函数的,频谱函数,E,(,)=,F,R()=,|F(j,)|,2,E,(,)反映了信号的能量在频域中的分布。,66,即 上式也是能量形式的帕斯瓦尔方程。物理意义：在df频带,功率谱,定义函数 f,T,(t)=f(t),(t+T/2)(tT/2),F,T,(j)=,F,f,T,(t),如果f(t)是实函数，则信号平均功率为,当T,时，f,T,(t),f(t)。定义,功率密度谱,为,功率谱,P,(,)反映信号功率在频域中分布。,67,功率谱 当T时，fT(t)f(t)。定义功率密度谱为功,若f,1,(t)和f,2,(t)是功率信号，定义互相关函数为,若f(t)是功率信号，定义自相关函数为,其傅立叶变换为,68,若f1(t)和f2(t)是功率信号，定义互相关函数为若f(t,即,R(,),P,(),此即,维纳-欣钦关系,，据此可用功率谱描述随机信号的频率特性。,例：求信号f(t)=Sa(t)的能量。,解：已知变换对,根据信号的能量与频谱函数关系式，Sa(t)的能量为,69,即,4.7 周期信号的傅里叶变换,一. 正、余弦函数的傅里叶变换,二. 一般周期函数的傅里叶变换,周期函数展开成傅里叶级数,式中,=2,/T。,70,4.7 周期信号的傅里叶变换一. 正、余弦函数的傅里叶变换二,周期函数的傅里叶变换,上式表明周期函数的F(j,)和F,n,之间关系。,傅里叶变换得到的是频谱密度F(j,)，傅里叶级数得到的是傅里叶系数F,n,。,周期性单位冲激函数系列称为梳状函数,71,周期函数的傅里叶变换 上式表明周期函数的F(j)和Fn之,所以,T,(t)的傅里叶变换为,梳状函数的傅里叶系数为,0,-2T,-T,T,2T,T,(t),t,0,-2,-,2,(,),72,所以T(t)的傅里叶变换为 梳状函数的傅里叶系数为0-2,周期信号f,T,(t)在一个周期内(,T/2T/2)函数令为f,0,(t)，,则 f,T,(t)=f,0,(t)*,T,(t) (见P,71,),其傅里叶变换为,比较,可得,傅里叶变换中的一些性质、定理也可用于傅里叶级数。,主周期信号f,0,(t)包含了周期信号f,T,(t)的全部信息。,73,周期信号fT(t)在一个周期内(T/2T/2)函数令为f,则其傅里叶变换为,例：周期矩形脉冲信号,其傅里叶系数为,74,则其傅里叶变换为 例：周期矩形脉冲信号其傅里叶系数为74,75,75,例：将图示周期信号展开成指数型傅里叶级数。,f,T,(t),0,t,1,T,-T,解：f,1,(t)的傅里叶变换为,f,0,(t)的傅里叶变换为,f,0,(t),0,t,1,T,f,1,(t),0,t,1,T/2,76,例：将图示周期信号展开成指数型傅里叶级数。fT(t)0t1T,f,T,(t)的傅里叶系数为,f,T,(t)的傅里叶级数为,实际上,77,fT(t)的傅里叶系数为 fT(t)的傅里叶级数为 实际上7,4.8 LTI系统的频域分析,一. 频率响应,系统的时域分析法用,(t)或,(t)作为基本信号，系统的频域分析法可用虚指数函数e,j,t,作为基本信号。,在时域分析中，系统的零状态响应为,y,zs,(t)=h(t)*f(t),应用傅里叶变换的时域卷积性质 ，上式成为,y,zs,(t)=,F,1,H(j,)F(j,),频域分析法就是应用频域函数分析系统的响应，将时域中的卷积运算变换为频域中的相乘运算。,由于在频域分析时，只能求系统的零状态响应，因此以下y,zs,(t)简写为y(t)。,78,4.8 LTI系统的频域分析一. 频率响应 78,LTI系统的冲激响应为h(t)，设激励为虚指数函数f(t)=e,j,t,(,t,)，则系统的零状态响应,y(t)=h(t)*f(t),式中H(j,)是h(t)的傅里叶变换，称为,系统频率响应函数,或,系统函数,。,H(j,)反映了响应y(t)的幅度和相位变化。,任意信号f(t)可以看作无穷多个虚指数信号e,j,t,之和，即,79,LTI系统的冲激响应为h(t)，设激励为虚指数函数f(t)=,任意信号激励下的零状态响应的推导：,H(j,) 也可定义为,|H(j,)|称为,幅频特性,，,(,)称为,相频特性,。,80,任意信号激励下的零状态响应的推导：H(j) 也可定义为|H,例：求系统y(t)+2y(t)=f(t)的零状态响应，f(t)=e,t,(t)。,解：对微分方程取傅里叶变换得,j,Y(j,)+2Y(j,)=F(j,),由此得,激励的傅里叶变换,响应的傅里叶变换,取傅里叶逆变换得系统响应 y(t)=(e,t,e,2t,),(t),81,例：求系统y(t)+2y(t)=f(t)的零状态响应，f(,例：电路如图所示，激励为u,s,(t)=,(t)，求零状态响应u,C,(t)。,+,C,R,_,+,u,s,(t),_,u,C,(t),解：电路频率响应函数为,激励的傅里叶变换,82,例：电路如图所示，激励为us(t)=(t)，求零状态响应u,电路零状态响应u,C,(t)的频谱函数为,取傅里叶逆变换得,u,C,(t)=,F,1,U,C,(j,)=(1,e,t,),(t),根据交流电路建立电路方程的方式，得到频率响应函数，由H(j,)可求得系统的零状态响应。,83,电路零状态响应uC(t)的频谱函数为 取傅里叶逆变换得83,例：求图示系统的输出y(t)。已知,f(t),s(t),x(t),y(t),H(j,),解：门函数的频谱函数为,取,4，根据对称性可得,4Sa(2t),2g,4,()=2g,4,(),即,F,sin(2t)/t=g,4,(),s(t)的频谱函数为,F,cos(3t)=(+3)+(3),84,例：求图示系统的输出y(t)。已知f(t)s(t)x(t)y,根据系统图得,y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*f(t)s(t),取傅里叶变换得,85,根据系统图得85,取逆变换可得,-1,1,X(j,),5,-5,g,4,(,+3,)+ g,4,(,3,),H(j,),3,-3,g,6,(,),Y(j,),-1,1,3,-3,g,2,(,+2,)+ g,2,(,2,),86,取逆变换可得-11X(j)5-5g4(+3)+ g4(,二. 无失真传输,无失真传输的输出信号定义为：y(t)=Kf(t,t,d,),对上式取傅里叶变换得：Y(j,)=Ke,j,t,d,F(j,),系统的频率响应函数为：H(j,)=Ke,j,t,d,所以无失真传输的条件为,|H(j,)|=K,(,)=,t,d,|H(j,)|,0,K,(,),0,87,二. 无失真传输无失真传输的输出信号定义为：y(t)=Kf(,无失真传输系统的冲激响应为,h(t)=K,(t,t,d,),无失真传输系统的冲激响应还是冲激函数，但有强度变化和延时。,三. 理想低通滤波器的响应,理想低通滤波器可看作频域中宽度为2,c,的门函数,根据对称性，由,得,|H(j,)|,0,1,c,-,c,(),88,无失真传输系统的冲激响应为 根据对称性，由得 |H(j),令,=2,c,，得,所以,理想低通滤波器的冲激响应,冲激响应在输入冲激之前就已出现，因而是非因果系统，这是由于理想化的结果，实际不可实现。,89,令=2c，得 所以 理想低通滤波器的冲激响应 冲激响应,理想低通滤波器的阶跃响应为,式中Sa(x)为偶函数，其积分,定义,正弦积分,所以,令,c,(t,d,)=x,x,c,=,c,(tt,d,),90,理想低通滤波器的阶跃响应为式中Sa(x)为偶函数，其积分定义,物理可实现系统应满足的条件：,时域（因果条件）,h(t)0, t0,g(t)0， t2,m,时，不发生混叠现象，可以从取样信号中恢复原信号。否则就不能恢复原信号。,例：对信号f(t)=2sin,0,t+sin3,0,t进行冲激取样，取样频率应为多少？,因为,m,=3,0,，所以,s,6,0,。,矩形脉冲取样,取样脉冲序列是幅度为1，脉宽为,(,2m时，不发生混叠现象，可以从取样信号中恢复原信号,则取样信号的频谱函数,f(t),0,t,F(j,),0,m,-,m,P,(j,),0,s,p,Ts,(t),0,t,T,s,1,f,s,(t),0,t,T,s,F,s,(,),0,s,m,96,则取样信号的频谱函数f(t)0tF(j)0m-mP(,二. 时域取样定理,f(t),s(t),f,s,(t),h(t),f(t),为了从F,s,(j,)中无失真地恢复F(j,)，选择一个理想低通滤波器(时延为0，幅度为T,s,),输出信号频谱F(j,)= F,s,(j,)H(j,),F(j,),0,s,m,c,97,二. 时域取样定理f(t)s(t)fs(t)h(t)f(t),低通滤波器是幅值为T,s,的门函数，其冲激响应为,由此得,令,c,=,s,/2,98,低通滤波器是幅值为Ts的门函数，其冲激响应为由此得 令 c,99,99,f(t),0,t,f,s,(t),0,t,T,s,-T,s,h(t),0,t,T,s,-T,s,F,s,(j,),0,s,m,-,s,0,c,H(j,),-,c,0,F(j,),m,-,m,F(j,),S(j,),F,s,(j,),H(j,),F(j,),100,f(t)0tfs(t)0tTs-Tsh(t)0tTs-TsF,时域取样定理,：一个频谱在区间(,m,，,m,)以外为零的带限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔T,s,(T,s,2,m,)上的样点值f(nT,s,)确定。,奈奎斯特(Nyquist)频率,：取样频率的下限f,s,2f,m,；,奈奎斯特间隔,：取样间隔的上限T,s,T,m,/2。,例1：求信号f(t)2+4cos(5t)+cos(10t)的取样频率。,解：因为,m,2,f,m,10 rad/s,f(t)最高频率,f,m,5/, Hz,奈奎斯特频率 f,s,2f,m,10/, Hz,奈奎斯特间隔,T,s, 1/f,s,/10 s,101,时域取样定理 ：一个频谱在区间(m，m)以外为零的带限,例2：求信号f(t)Sa(100t)的取样频率。,解：因为 Sa(t/2) 2g,(),取,200,，其,m,100 rad/s，f,m,50/,Hz,所以 f,s,100/, Hz，,T,s,/100 s,频域取样定理,：一个在时域区间(,t,m,，t,m,)以外为零的有限时间信号f(t)的频谱函数为F(j,)，可唯一地由其在均匀频率间隔f,s,(f,s,600 Hz,(2) f,2,(t)的频谱函数为F(j)*F(j),0,m,-2,m,|F(,)|,|F(,)|, 2,m,114,题4.48(1) 时域压缩为1/3，频域展宽3倍，fn=30,卷积的频率范围为(,2,m,400 Hz,(3) 时域卷积对应频域相乘，两频谱函数的最高频率分别为100Hz和200Hz，取小f,m,=100Hz，所以,f,s,200Hz,(4) f(t)+f,2,(t)，两频谱函数相加，取大f,m,=200Hz，所以,f,s,400Hz,115,卷积的频率范围为(2m2m)，所以f2(t)的最,题4.49,解：(1) F(j,)=10()+2(+,1,)+(,1,),+(+2,1,)+(2,1,) (,1,=2f,1,),0,f (10,3,Hz,),2,F(j,),-2,-1,1,s,2f,s,25f,1,5,1,116,题4.49解：(1) F(j)=10()+2(,f,(10,3,Hz),0,2,F,s,(j,),-2,-1,1,5,-5,10,-10,(2) 低通滤波器的截止角频率为,2kHz f,c,3kHz,117,f02Fs(j)-2-115-510-10(2) 低通滤波,题4.50,f (10,3,Hz),0,2,F,s,(j,),-2,-1,1,解：(1) 因为,s,= 20.8f,1,=0.8,1,，,取样信号频谱函数,(2) 滤波(,0.5f,1,f0.5f,1,)后频谱函数,Y(j,)=10()+2(+0.2,1,)+(0.2,1,)+2(+0.4,1,)+(0.4,1,),y(t)=5+2cos(0.2,1,t)+2cos(0.4,1,t),118,题4.50f (103Hz)02Fs(j)-2-11解：(,题4.52,解：先分别求出X,1,(t)和X,2,(t)的频谱函数,f(t),cos(,0,t),H(j,),x,2,(t),y(t),x,1,(t),sin(,0,t),+,+,119,题4.52解：先分别求出X1(t)和X2(t)的频谱函数f(,输出信号的频谱函数,120,输出信号的频谱函数120,Y(j)的频谱图,0,Y(j,),0,-,0,m,0,F(j,),m,-,m,121,Y(j)的频谱图0Y(j)0-0m0F(j),习 题,4.6 (4); 4.9; 4.10; 4.12,4.13 (a), (b); 4.15; 4.17,(1), (2);,4.18,(1), (2);,4.18 (5); 4.19(a); 4.20,(3), (7), (9);,4.21,(3), (5); 4.22 (a); 4.25;,4.27;,4.28;,4.30 (2); 4.31;,4.34;,4.37;,4.38;,4.42; 4.45;,4.51,122,习 题122,更多精品资请访问,更多精品资请访问,更多品资源请访问,更多品资源请访问,
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