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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积,1.直角坐标情形,面积元素:,y,o,面积,(1),由连续曲线,y,=,f,(,x,) (,f,(,x,),0), 直线,x,=,a,x,=,b,(,a,b,),及,x,轴所围成的平面图形的面积,第二节 定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1.直角坐,1,若,f,(,x,)有正有负,则曲边梯形面积为,x,y,o,a,b,若f (x)有正有负,则曲边梯形面积为xyoab,2,x,y,o,a,b,面积元素:,(2) 由连续曲线,y,=,f,(,x,),y,=,g,(,x,), 直线,x,=,a,x,=,b,(,a,b,)所围成的平面图形的面积:,xyoab面积元素: (2) 由连续曲线 y=f,3,c,x,y,o,a,b,一般地，,cxyoab一般地，,4,d,c,x,y,o,及,y,轴,围成的平面图形的面积为,x,y,o,d,c,一般地，,dcxyo及y轴围成的平面图形的面积为 xyodc一般地，,5,及,y,轴,围成的平面图形的面积为：,d,c,x,y,o,d,c,x,y,o,一般地，,及y轴围成的平面图形的面积为： dcxyodcxyo一般地，,6,解,先求两曲线的交点,面积元素,选,x,为积分变量,例1,解先求两曲线的交点面积元素选x为积分变量,例1,7,例2,围成的平面图形的面积.,x,o,y,解,由对称性,交点,例2 围成的平面图形的面积. xoy解 由对称性,交点,8,解,两曲线的交点,例3,解两曲线的交点例3,9,此题选,y,为积分变量比较好,选择积分变量的原则：,(1)积分容易；,(2)尽量少分块.,此题选y为积分变量比较好,选择积分变量的原则： (1)积分容,10,y = x,2,t,1,y,x,1,解,例4,y = x2t1yx1解例4,11,有时需要把边界函数,参数化,.,有时需要把边界函数参数化.,12,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍,例5,解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍,13,解,例6,345页,解例6 345页,14,面积元素,曲边扇形的面积,2.极坐标情形,扇形面积公式,面积元素曲边扇形的面积2.极坐标情形扇形面积公式,15,解,例7,解,例8,解例7 解例8,16,解,例9,解例9,17,旋转体,就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做,旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1. 旋转体的体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而,18,a,b,o,x,y,体积元素:,旋转体的体积为,abox y体积元素:旋转体的体积为,19,直线,OP,的方程为,解,例1,直线OP的方程为解例1,20,例2,x,y,O,a,b,解,例2 x yOab解,21,例3,解,x,y,利用圆面积,例3 解 xy利用圆面积,22,x,y,c,d,o,x,y,d,c,x ycdox ydc,23,例4,解,下面再补充介绍一个方法.,例4 解 下面再补充介绍一个方法.,24,上例:,o,x,y,a,b,套筒法:,上例:ox yab套筒法:,25,解,例5,绕,x,轴旋转的旋转体体积,解例5 绕 x 轴旋转的旋转体体积,26,绕,y,轴旋转的旋转体体积:,可看作平面图,OABC,与,OBC,分别绕,y,轴旋转构成旋转体的体积之差,.,绕 y 轴旋转的旋转体体积:可看作平面图OABC与OBC分别,27,绕,y,轴旋转的旋转体体积:,可看作平面图,OABC,与,OBC,分别绕,y,轴旋转构成旋转体的体积之差,.,或用“套筒法”:,绕 y 轴旋转的旋转体体积:可看作平面图OABC与OBC分别,28,2. 平行截面面积为已知的立体的体积,x,x,x+,d,x,A,(,x,),a,b,2. 平行截面面积为已知的立体的体积xxx+dxA(x)ab,29,解,建立坐标系如图,截面面积,所以立体体积,例6,垂直于,x,轴的截面为直角三角形,解建立坐标系如图,截面面积所以立体体积例6 垂直于 x 轴的,30,三、平面曲线弧长,并依次连接相邻分点得一内接折线，,则称此极限为曲线弧,AB,的,弧长,. 此时称弧为,可求长的,.,三、平面曲线弧长并依次连接相邻分点得一内接折线， 则称此极限,31,定理(弧长公式),证,在第三章“导数的应用”中弧微分一节知,即得证.,推论1,定理(弧长公式) 证在第三章“导数的应用”中弧微分一节知,32,推论2,证,推论2 证,33,解,例1,解例1,34,例2,解,例3,解,例2 解 例3 解,35,例4,解,的弧长.,例4 解 的弧长.,36,练习：,P279 习题6-2,1. 2.(1)(3) 3. 5.(1)(2) 6. 7. 8.(1),12. 13. 14. 15.(1)(3) 18. 20.,22. 26. 28. 30.,练习：P279 习题6-2,37,谢谢！,谢谢！,38,
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