核心素养理念下的数学教学变革课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/11/30,#,核心素养理念下的,数学教学变革,人民教育出版社 章建跃,zhangjy,核心素养理念下的数学教学变革 人民教育出版社 章建跃,1,一,、,数学课改的,核心,任务,十八大提出的“教育的根本任务在于立德树人”就是整个教育改革的核心任务。,数学教育的核心任务是“数学育人”。,如何把这个要求在,数学教育,中落实下来，,抓手在哪里？,一、数学课改的核心任务十八大提出的“教育的根本任务在于立德树,2,教育部,的顶层,设计，,数学学科的,“立德树人”,是“以,数学学科核心素养,为,纲,”。,义教课标中,提出,了,八,个,“核心概念”：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型,思想；,高中,课标修订组进一步提炼了六个数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析,。,数学课改的,核心,任务,是提升学生的数学学科核心素养，,要有具体措施,，,要,把数学学科核心素养落实在,数学教育的,各个环节。,教育部的顶层设计，数学学科的“立德树人”是“以数学学科核心素,3,二,、关于落实,核心素养的思考,“学科育人”要依靠学科的内在力量,。,“数学育人”要,用数学的方式，在,数学,内部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的各个环节中发挥作用,。,增强课程意识，把握教改方向，明确数学育人目标，提升数学育人的实效性，提高教育教学质量。,二、关于落实核心素养的思考“学科育人”要依靠学科的内在力量。,4,问题思考,数学课程的育人力量是什么？,什么叫“数学的方式”？,一线教师的课程意识是如何表现的？,问题思考数学课程的育人力量是什么？,5,一线,教师的课程意识,（,1,）我教的是一门怎样的课,课程性质,（,2,）,这门课,能发挥怎样的育人功能，在学生发展中的不可替代作用是什么,课程目标,（,3,）如何教这门课,课程实施,（,4,）这样教在多大程度上实现了它的育人功能,课程评价,一线教师的课程意识（1）我教的是一门怎样的课课程性质,6,数学是一门怎样的课？,数学是研究,数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的,抽象,，基于抽象,结构,，通过符号运算、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中事物的,本质,、,关系,与,规律,。,课标如是说。,数学是一门怎样的课？数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学,7,数学,是思维的,科学，,具有,“追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向,”，,有,一套,具有普适性的思考结构和交流的符号形式，这种结构和符号形式是强大的，富有逻辑，简明而且精确，是人们可以借助于理解和处理周围环境的一种思维,方式,，,包括,：抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大范围内进行概括，建立更为一般的统一理论等一整套严谨的、行之有效的科学方法，这是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程中必须使用的思维方式,。,数学是思维的科学，具有“追求最大限度的一般性模式特别是一般性,8,推理是数学的命根子，,运算是数学的“,童子功,”,。思维训练的载体就是推理和运算。,数学是一门语言，与语文有相似的特性，它有自己的一套独立的符号系统和严谨的表达方式,阅读、表达、交流的工具,。,推理是数学的命根子，运算是数学的“童子功”。思维训练的载体就,9,数学学科的独特育人功能,主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”,、创造性思考,，使,学,生成为善于认识问题、,善于,解决问题的人才。,学会严格的逻辑推理，学会运算的方法和技巧。,学会使用,数学,语言，能用数学的方式阅读、表达和交流。,数学学科的独特育人功能主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，,10,以数学知识为载体发展学生的,核心素养,完整的数学学习过程：,*,数学研究对象的获得,*,研究数学对象,*,应用数学知识解决问题,数学对象的获得，要注重,数学,与现实之间,的,联系,，,也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从“事实”出发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程，提升数学抽象、直观想象等素养；,以数学知识为载体发展学生的核心素养完整的数学学习过程：,11,对,数学,对象的,研究,，要注重以“一般观念”为引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升推理、运算等素养；,应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念原理,分析问题,，体现建模的全过程，学会分析数据，从数据中挖掘信息等,。,对数学对象的研究，要注重以“一般观念”为引导发现规律、获得猜,12,“两个过程”的合理性,从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点。,前一个的核心是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题。,“两个过程”的合理性从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维,13,以,发展学生,数学素养为,追求，根据学生的认知规律，螺旋上升地安排,教,学,内容,，特别是要让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概念、思想方法得到反复理解的机会,。,以,“事实,概念,性质（关系）,结构（联系）,应用,”,为明线,；,以,“事实,方法,方法论,数学学科本质观,”,为,暗线。,以发展学生数学素养为追求，根据学生的认知规律，螺旋上升地安排,14,从数学思维、思想或核心素养角度看,“事实概念”,主要是“抽象”,（,对,典型而丰富的具体事例进行观察、比较、分析,，,归纳共性,，,抽象出共同本质特征，并推广到同类事物中去而得出概念,）；,“概念性质”,主要是“推理”，包括通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质,；,“性质结构”,主要也是“推理”，是建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程,；,“,概念、性质、结构应用”主要是“建模”，是,用,数学,知识,解决数学内外的问题。,从数学思维、思想或核心素养角度看“事实概念”主要是“抽象,15,强调获得“事实”的教育价值,“数学事实”是数学学习的“原材料”，也是数学育人的首要,素材,；,真正的学习必须经历“感知,感悟,知识”的,过程,；,以,“事实”为支撑的概念理解才是,真理,解，才能形成对概念本质的深刻体悟,，教学应从,让学生获得数学事实,开始,。,强调获得“事实”的教育价值“数学事实”是数学学习的“原材料”,16,增加概括概念、发现性质所需的素材，提供丰富的、真实的应用问题,；,调动所有感官参与学习，,安排,动眼观察、动手操作、动脑思考的实践活动，使学生通过自主活动获取理解概念所需的“事实”,；,增加“悟”的时间，长时间的“悟”，然后是有所体验、有所心得、有所发现。,增加概括概念、发现性质所需的素材，提供丰富的、真实的应用问题,17,在整个,教,学,过程,中，都要发挥“一般观念”的作用，加强“如何思考”、“如何发现”的启发和引导，特别是在概念的抽象要做,什么,、,“几何性质”“代数性质”“函数性质”指什么等问题,上要及时引导，以使学生明确思考方向,。,在整个教学过程中，都要发挥“一般观念”的作用，加强“如何思考,18,教师的专业发展水平和育人能力,是落实核心素养的关键,理解数学,理解学生,理解教学,当前的主要问题是教师在“理解数学”上不用功，数学水平不高导致数学课教不好数学，甚至数学课不教数学，使数学越来越难学,，使学生越学越糊涂,。,教师的专业发展水平和育人能力是落实核心素养的关键理解数学,19,理解数学知识的三重境界,知其然,知其所以然,何由以知其所以然,启发,学生，示以思维之道耳！,理解数学知识的三重境界 知其然,20,三,、系统观指导下的数学教学,系统观的内涵：,整体性,把,研究对象看成一个整体,，从,整体出发，在组成系统的各要素相互关系中探究研究对象的本质和,规律。,层次性,系统是由,要素组成的整体；每个系统又是它的上位系统的组成要素，由此构成具有层级关系的整体，这就是层次性,。先,把握基本要素，再,看要素,组成的子系统，然后再看子系统组成的上位系统,这样,才能具有思想性、,观念性,。,三、系统观指导下的数学教学系统观的内涵：,21,联系,性,系统,和系统之间,、各,要素之间、系统和要素之间是相互联系、相互作用的。,任何事物都由若干部分、要素构成，,各,部分、要素相互依存、相互联系。只有这样，事物才能成为有机整体。,任何事物都与周围的其他事物相互联系着,，,包括横向联系和纵向联系,。,联系性系统和系统之间、各要素之间、系统和要素之间是相互联系、,22,目的性,数学,育人,目标,有,一个从宏观到微观的层级,系统。,教学设计,应该把,教学过程,看成,具有一定发展规律和趋势的系统，在宏观目标指导下分析具体目标和内容，要注意把宏观目标落实在具体课堂中，使每一堂课都为达到宏观目标服务,。,问题,：数学育人目标的层级系统是怎样的？,目的性数学育人目标有一个从宏观到微观的层级系统。,23,宏观到微观的目标体系,教育方针,课程,目标,单元,目标,课时目标,课堂教学中,，,三维,目标融为一体，,内容为载体，过程中体现思想方法、思维能力，挖掘内容所蕴含,的,育人,资源，实现数学素养的逐步提升。,宏观到微观的目标体系教育方针,24,当前数学教学中存在的主要问题仍然是：碎片化教学，做题目成为一切，充其量只是培养了做题目的机器。,从数学育人的出发点和归宿看，思维的教学，培养学生的理性思维，发展学生的理性精神，这是根本。,问题是：依靠什么来实现？,教学内容的整体性,载体；,系统思维,目标；,单元教学,途径,。,当前数学教学中存在的主要问题仍然是：碎片化教学，做题目成为一,25,单元教学的组织要义,整体,局部,整体,前一,个“整体”是先行组织者，认识的结构、普适性的思想方法、解决问题的策略，等等。,“局部”是对数学对象的内涵、要素、概念的定义和表示、分类、性质、特例,的,研究,，在这个过程中加强“如何归纳、抽象概念”、“如何发现值得研究的问题”、“如何研究性质”、“如何找到证明的方法”,的引导。,单元教学的组织要义整体局部整体,26,后一个“整体”，在分课时学习基础上的归纳、总结，不仅完善本单元的知识结构，而且建立与相关知识的联系，形成结构功能良好、迁移能力强的认知结构。,后一个“整体”，在分课时学习基础上的归纳、总结，不仅完善本单,27,系统观指导下的单元教学设计,平面向量起始课,课标要求,：,构建,研究平面向量的基本线索，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素。,教学设计要求,：,体现,先行组织者思想，要在数学的整体观指导下，构建研究一个数学对象（平面向量）的基本线索，在此基础上构建平面向量的概念。提升学生的数学抽象、直观想象素养,。,系统观指导下的单元教学设计平面向量起始课,28,先行组织者：构建研究路径,“平面向量”是高中数学中典型的“新对象”：既是几何研究对象，也是代数研究对象，,是,沟通几何与代数的,桥梁,；,向量,理论是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本,工具,。,问题,思考,：“几何对象,”,指什么？“代数对象”指什么？向量是怎样的基本工具，如何使它好用？,方向很重要，方向如何“运算”是关键。,先行组织者：构建研究路径“平面向量”是高中数学中典型的“新对,29,研究路径是什么？如何构建？,背景引入,概念定义、表示、性质（要素之间的特殊关系）,运算和运算律（引进一种量就要定义运算，定义一种运算就要研究运算律）,向量基本定理及坐标表示,应用,问题思考,：章引言怎么用？“研究路径”非出不可，什么时候出？开头、中间或结尾？,研究路径是什么？如何构建？背景引入,30,“获得向量概念”要做哪些事？,获得研究对象：定义向量概念，认识“平面向量集合”中的元素。,现实背景（,力、速度、,位移,等,）,定义,表示（图形、符号、方向、大小）,特例（零向量、单位向量）,性质（向量与向量,的关系，相等是最重要的关系；重点考虑“方向”，所以先有平行、共线、相反向量；等等,）。,“获得向量概念”要做哪些事？获得研究对象：定义向量概念，认识,31,延伸问题：如何定义向量加法？,既有大小，又有方向,“方向”如何相加？,“位移”是最好的模型，得到“三角形法则”；,接下来研究什么问题？,定义,a,+0=0+,a,=,a,（完备性）；,向量加法的性质：特例（共线）、三角形不等式；运算律。,延伸问题：如何定义向量加法？既有大小，又有方向“方向”如,32,四,、,构建,研究,几何,对象,的,整体思路,立体几何研究,现实世界中物体的形状、大小与位置,关系,。,位置关系：,用,数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证,；,研究方法：,直观,感知、操作确认、推理论证、度量计算,等,。,四、构建研究几何对象的整体思路立体几何研究现实世界中物体的形,33,总体目标：,认识和探索空间图形,的,概念、判定和,性质,，建立空间观念；提升直观想象、逻辑推理和数学抽象,素养,。,位置关系的具体内容：点、直线、平面作为“基本图形”，四个基本事实（平面三公理，平行公理）、一个等角定理；直线、平面的平行和垂直的判定、性质。,总体目标：认识和探索空间图形的概念、判定和性质，建立空间观念,34,1.,平面三公理,课标要求：,借助,长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面位置关系的定义，了解三个公理。,教学设计要求：,要,引导学生体会刻画空间中点、直线、平面的基本特征（如平面的“平”）的方法，要注意“三种语言”的训练，建立空间观念，提升直观想象、数学抽象素养。,1.平面三公理课标要求：借助长方体，在直观认识空间点、直线、,35,问题,1,“平面三公理”的内容是什么？它的数学功能是什么？,问题,2,从中能体会刻画平面的“平”的数学思想方法吗？,问题,3,在理解点、直线、平面位置关系的过程中，作图的作用是什么？,问题1 “平面三公理”的内容是什么？它的数学功能是什么？,36,2,.,关于位置关系的性质,什么叫“性质”？,只有明白了这个问题，才能使学生在独立面对一个数学对象时知道从哪里下手研究性质，才能使学生自主探究，才能使发现问题、提出问题的能力的培养落在实处。这样，核心素养的落实也就自然而然、水到渠成,。,2.关于位置关系的性质什么叫“性质”？只有明白了这个问题,37,“性质就是一类事物共有的特性,”,，正确但,过于,宏观，在具体思考中没有可操作性，需要针对具体内容进行归纳。例如：,运算中的不变性（规律性）就是性质研究代数性质，“算算看”是基本方法；,变化中的不变性（规律性）就是性质研究函数的性质，在运动变化中进行观察是基本方法；,要素和要素之间确定的关系就是性质观察几何图形的构成要素之间的相互关系（位置关系、大小关系等）是研究几何性质的基本方法,；,“性质就是一类事物共有的特性”，正确但过于宏观，在具体思考中,38,几何性质的分类,几何问题可以,分为两大,类：,几何图形的结构特征,几何图形的位置,关系,几何图形的性质,：一个几何图形的组成要素、相关要素之间的相互关系（定性、定量）；,位置关系的性质,：点、直线、平面的位置关系，核心是平行、垂直，距离、角度、对称等是刻画位置关系的基本方法。,几何性质的分类几何问题可以分为两大类：,39,什么叫,“几何体的结构特征”？,结构特征就是这类几何对象（如棱柱）组成要素之间确定的关系。,结构特征有多种表现形式，选刻画这类对象的充要条件作为定义（包含的要素关系尽量少），作为研究的出发点，其他的特征作为性质。,定义,充要条件；性质,必要条件；判定,充分条件（研究直线垂直于平面的判断，就是探究什么条件能确保垂直）。,什么叫“几何体的结构特征”？结构特征就是这类几何对象（如棱柱,40,思考：位置关系的,性质如何表现？,例如：两,条直线平行，从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”,是与“,第三条直线”,构成某种关系,平行、相交，相交时又形成一些,角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。,从方法论的高度，研究,两个,几何元素（两条直线）的,某种位置,关系（平行）的性质，就是探索在这种,位置关系下的两个,几何元素与同类几何元素之间,是否形成确定的,关系。,具体方法是让“同类元素”动起来，看“变化中的不变性”。,思考：位置关系的性质如何表现？例如：两条直线平行，从“同位角,41,空间中直线、平面的垂直关系,课标要求：,探索,空间直线与平面、平面与平面垂直的性质，如：垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直；等等,。,空间中直线、平面的垂直关系课标要求：探索空间直线与平面、平面,42,教学设计要求,：,在明确“什么是图形的位置关系的性质”的基础上，通过类比直线、平面“平行关系”的性质，从整体上提出“垂直关系的性质”的猜想。选择“垂直于同一个平面的两条直线平行”等典型猜想给出证明。要体现研究几何问题的“基本套路”，提升直观想象、逻辑推理、数学抽象,素养,教学设计要求：在明确“什么是图形的位置关系的性质”的基础上，,43,这样处理有什么好处？,完整的、统一的解决方案，立意,高，思想性强，,“数学味”浓；,反映数学知识的发生发展过程，是自然,而,水到渠成的；,探索性更强，能,更好地落实“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力的培养,”，创造性也更强；,这样处理有什么好处？完整的、统一的解决方案，立意高，思想性强,44,符合数学思维规律，体现数学的整体观，使性质的发现具有必然性，能给学生更多智慧的启迪，思维的教学更加到位；,更能体现学习的自主性，更能激发学生的学习主动性,。,符合数学思维规律，体现数学的整体观，使性质的发现具有必然性，,45,学生已经完整地学过,直线、 平面平行的判定及其性质,，已经了解了研究一种几何位置关系的“基本套路”：从判定到性质，性质的内容、过程和方法，因此与学生的认知准备相适应。,当前的问题是对“什么叫判定”、“什么叫性质”的归纳不够，导致学生的盲目探究，无逻辑的猜想，使发现和提出猜想成为偶然。,为什么可以这么做？,学生已经完整地学过直线、 平面平行的判定及其性质，已经了解了,46,直线与平面垂直的性质的问题串,一、复习回顾,前面我们学习了直线与平面垂直的定义及判定定理，请大家回顾一下内容和研究,思路,。,二、引入新课,研究了,直线,与平面垂直的,判定，,你觉得接下来,我们研究,什么,？,性质,追问：具体地，就是要研究,什么？,以,“,直线与平面垂直”为,条件能,推出什么,结论,。,直线与平面垂直的性质的问题串一、复习回顾,47,定义既可以作为判定，又可以作为性质,。此外,，还有其它性质吗？如何发现,性质,？,（学生没有思路时）回顾直线,与,平面,平行性质,的研究过程,，它,是从什么角度入手发现,的,？,类比,一下，你觉得如何入手？,教师引导：,平行,性质的研究，是以直线,a,与平面,平行为条件，借助经过,直线,a,的,平面,，,发现,a,与,、,的交线,b,平行，而且这个平行,关系不会随,的改变而改变，,从而得到,了一条线面平行的性质,。,仿照,上面的,归纳,，你能,说说,平,面,与平,面,平行的性质是如何发现的吗？,定义既可以作为判定，又可以作为性质。此外，还有其它性质吗？如,48,你能总结一下如何研究一种位置关系的性质了吗？,平行,关系的性质，就是以线面、面面平行为条件，通过考察它们与另一条直线、另一个平面形成的关系中，有哪些不变的特性,。,接下来,，类比,直线与平面平行性质的,研究思路,和方法,，,先独立思考、探究，得出结果后再相互交流、讨论。要求：把,你,发现,的,线面,垂直性质,总结提炼出来，并用图形语言和符号语言,表达。,你能总结一下如何研究一种位置关系的性质了吗？,49,五,、认知观指导下的概念教学,理解概念是数学学习的首要任务。,理解概念主要靠归纳思维，概念教学要用归纳式,。,概念教学要遵循一定之规，这是由数学概念的发生发展过程和学生认知概念的思维过程所决定的,。,概念课的教学设计，主要任务是：选择典型丰富的具体实例，设计归纳具体实例的共同特征、抽象出本质特征，并概括到同类事物中去的过程。,五、认知观指导下的概念教学理解概念是数学学习的首要任务。,50,概念教学的基本环节,背景,引入,借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；,共性归纳,提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特征；,下定义,明确本质属性，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；,概念教学的基本环节背景引入借助具体事例，从数学概念体系的,51,概念的辨析,以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；,概念的巩固应用,用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；,概念的“精致”,纳入概念系统，建立与相关概念的联系。,概念的辨析以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；,52,函数,概念的教学,课标要求,：,在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合与对应关系的语言刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,。,教学设计要求,：,要体现以概念形成的方式学习数学概念的基本环节，通过适当的问题情境引导学生体会进一步学习函数概念的必要性，体会用集合对应语言刻画函数概念的思想方法。提升学生的数学抽象素养。,函数概念的教学课标要求：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的,53,“理解数学”,（课标说）,函数,是现代,数学,的,最,基本概念，是描述客观世界中变量关系和规律的,最基本,的数学模型和工具，有广泛的实际应用,。,从“,刻画,变量之间依赖关系的数学模型和,工具,”到“,实数,集合之间的对应,关系,”；,高中函数概念强调了定义域和对应,关系,；,对应,关系指的是对应的结果，而不是对应,过程,；,“,y,=,f,(,x,),，,x,A,”是一个整体。,“理解数学”（课标说）函数是现代数学的最基本概念，是描述客观,54,如何设计归纳过程,以概念形成方式，要完成“实例,共性归纳,定义,辨析,简单应用”的过程。,其中，对“事实”的分析、共性归纳是关键之一，“辨析”又是一个关键。,如何设计归纳过程以概念形成方式，要完成“实例共性归纳,55,认真讲好三个实例,有解析式的，要引导学生关注,x,在哪个范围取值，例如“炮弹,距离地面的,高度,h,随,时间,t,的变化而变化的规律是,h,=130,t,-5,t,2,，经过,26s,落地”，应该问：,时间,t,的变化范围是什么？,问题“,100s,时对应的高度是多少”有没有意义？,没有意义了，因为炮弹发射的过程在,26s,时已经结束。,你认为如何描述才能真实反映炮弹发射过程？,认真讲好三个实例有解析式的，要引导学生关注x在哪个范围取值，,56,臭氧空洞面积变化图,臭氧空洞面积变化图,57,（,1,）时间的变化范围是什么？空洞面积,s,的变化范围是什么？,（,2,）,s,是,t,的函数吗？为什么？,不能仅仅以“因为任意一个时间,t,都有唯一一个面积,s,与之对应”了事，应该让学生在图上找出来，再借助信息技术，把对于过程表达出来！,（,3,）从所给的图中能回答“,2002,年对应的臭氧空洞面积是多少”吗？,（,4,）这是一个函数，有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？把这个图搬出来吗？,符号意识，,s,=,f,(,t,),呼之欲出。,（1）时间的变化范围是什么？空洞面积s的变化范围是什么？,58,恩格尔系数变化表,时间（年）,91,92,93,94,95,96,97,98,99,00,01,恩,格尔系数,(%),53.8,52.9,50.1,49.9,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9,恩格尔系数变化表时间（年）91929394959697989,59,（,1,）这个表格中，时间的变化范围是什么？能不能用,1991,2001,表示？恩格尔系数的变化范围是什么？（可以是,0.37,0.54,，其实是（,0,1,）,（,2,）由这个表格，能判断恩格尔系数是不是年份的函数？你能说清楚到底是怎么对应的吗？,（,3,）由这个表格，能得到,2002,年的恩格尔系数吗？,（,4,）这是一个函数，有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？把,这个表搬出,来吗？,符号意识,，设恩格尔系数为,w,，年份为,t,，,w,=,f,(,t,),呼之欲出。,（1）这个表格中，时间的变化范围是什么？能不能用1991,60,归纳共同特征,它们都是函数，有什么共同特征？,数集,A,，,B,，一个对应关系；对应关系的表示形式不同（解析式、图、表），但本质一样：对于集合,A,中任意一个数，在集合,B,中都有唯一一个数与之对应。,怎样简捷地表示出来？,用符号化表达是数学的智慧，数学家是这么做的：,f,：,A,B,x,y,=,f,(,x,),归纳共同特征它们都是函数，有什么共同特征？数集A，B，一,61,如何辨析概念,如何辨析概念,62,还可以让学生根据解析式构建实际问题或数学问题，如：,（,1,）,y,=,x,2,，,x,R,任意一个实数对应于它的平方；,（,2,）,y,=,x,2,，,x,(0,10,正方形的边长,x,对应于它的面积；,（,3,）,y,=,x,(10,x,),，,x,(0,10,长方形的边长之和为,20,，一边长,x,对应于它的面积；,还可以让学生根据解析式构建实际问题或数学问题，如：,63,从函数到三角函数,课标要求,：,借助,单位圆理解任意角三角函数的定义。,教学设计要求,：,在,“函数是描述客观世界中变量关系和变化规律的最重要数学模型”的观念下，体现用函数描述周期运动现象、建立三角函数模型的完整过程，使学生理解三角函数对应关系的特征。提升学生的数学抽象、数学建模等素养。,从函数到三角函数课标要求：借助单位圆理解任意角三角函数的定义,64,（一）三角函数发展史,概述,三,角术在希腊定量几何学中,应运而生,，,到托勒密出版,数学汇编，希腊三角术及在天文学上的应用达到顶峰。这部著作中有大量三角恒等变形问题，包括和（差）角公式、和差化积公式等，证明采用了初等几何方法,。,三角学,的发展与天文学相互交织，且服务于天文学。到十六世纪，三角学开始从天文学里分离出来，并成为数学的一个分支,。,（一）三角函数发展史概述三角术在希腊定量几何学中应运而生，到,65,为了应付航海、天文、测量等实践之需，制作三角函数表成为三角学研究的核心工作。因为在制作过程中需要大量的三角恒等变形，所以三角恒等变形问题占据了重要地位,。,随着,对数的发明，特别是微积分的创立，三角函数表的制作变得轻而易举，繁杂的三角恒等变形不再需要，曾经重要的三角公式也风光不再,。,为了应付航海、天文、测量等实践之需，制作三角函数表成为三角学,66,（二）三角函数课程的与时俱进,从,应用的角度看，应强调三角函数作为描述周期现象的重要数学模型的地位，因为“三角函数与其它学科的联系与结合非常重要，最重要的是它与振动和波动的联系，可以说，它几乎是全部高科技的基础之一”。在建立三角函数的基本概念、认识它的基本性质的基础上,，对,y,=,A,sin(,x,+,),的,研究,很重要,，,实用且,有利于,提升学生的数学建模能力,。,（二）三角函数课程的与时俱进从应用的角度看，应强调三角函数作,67,“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映。”所以，要充分发挥单位圆的作用,，借助,单位圆的性质研究三角函数的所有内容，这有利于提高学生的数形转化、直观想象能力。,“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它,68,在思想、方法上，要强调函数的变换（映射）与坐标系的变换及其关系、对称性与不变性等数学的主流思想和,方法,有些放正文，有些可以作为拓展,。,这样认识和处理内容，体现了三角函数性质的整体性，可以更充分地发挥三角函数在培养学生,的,直观想象、,数学,抽象、,逻辑推理,、数学运算和数学建模,等,核心素养的作用,。,在思想、方法上，要强调函数的变换（映射）与坐标系的变换及其关,69,要强调三角函数与向量、复数、解析几何等的联系与综合，这可以通过加强三角函数在后续相关内容中的应用来体现，也可以通过用向量、复数的方法重新推导三角变换公式等来实现。,总之，定义三角函数的最好方式是利用直角坐标系中的单位圆。抓住三角函数作为刻画匀速圆周运动的数学模型，这就真正抓住了要领，就能以简驭繁,。,要强调三角函数与向量、复数、解析几何等的联系与综合，这可以通,70,（三）,课,标对三角函数的定位,三角函数,是一类最典型的,周期函数,。,整体要求：,借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；能够用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、对称性、单调性和最值等性质；能够探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；能够利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。提升数学抽象能力、直观想象和运算能力以及数学建模能力,。,（三）课标对三角函数的定位三角函数是一类最典型的周期函数。,71,加强单位圆的作用，进一步突出主线和核心概念；,体现研究一个数学对象的内容、过程和方法：概念,图像、基本性质（直接由定义推出，要素的关系）,其他性质（联系层面）,应用（把,y = A,sin (,x+,),作为应用、建模的结果）。,加强单位圆的作用，进一步突出主线和核心概念；,72,（,四,）,学生,认知,分析,认知基础：,学习了函数的一般概念、表示与性质等，掌握了研究函数的一般方法，通过幂、指、对函数的学习，已经掌握了研究一类函数的结构、内容、过程与方法。这些函数的一个共同特点是它们的表达式都是代数式，是代数运算规律的反映。学生在平面几何中学习了圆的知识，对圆的几何性质有一定的掌握，但对“圆的旋转对称性”强调不够。,（四）学生认知分析认知基础：学习了函数的一般概念、表示与性质,73,学习困难分析,三角函数,不,以“代数运算”为,媒介,，,是,几何量（角与有向线段）之间,的,直接,对应,，不是通过对,计算得到函数值，这是一个复杂、不良结构,情境,，,是主要的学习难点。,在“对应关系”的认识上必须采取措施破除定势，帮助学生搞清三角函数的“三要素”，特别是要在落实“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程的基础上再给,定义,。,学习困难分析三角函数不以“代数运算”为媒介，是几何量（角与有,74,三角函数的,性质与以往不同,，主要表现在丰富的对称性上,；,以单位圆为媒介而建立起性质之间的丰富关联，例如，由定义直接推出同角三角函数之间的关系；结合单位圆上点的运动及其坐标的变化规律（非常直观），由定义可直接推出单调性、周期性,。,三角函数的性质与以往不同，主要表现在丰富的对称性上；以单位圆,75,76,（五）三角函数的定义,研究,对象的获得，从事实到概念。注重数学化的过程，通过数学抽象，从匀速圆周运动到单位圆上点以单位速率运动时运动规律的刻画。,概念及其表示，注重认知过程的完整性,，,认真解决四个问题：,（,1,）函数的现实背景是什么？刻画了哪类运动变化现象？,（,2,）决定这类运动变化现象的要素是什么？,（,3,）要素之间的依赖关系是什么？,（,4,）可以用什么数学模型来刻画,？,（五）三角函数的定义研究对象的获得，从事实到概念。注重数学化,77,通过对运动过程涉及的量及其关系的分析，析出点的坐标随任意角的变化而变化的规律；数与形的表示；与锐角三角函数的联系（在锐角范围内的一致性）,。,通过对运动过程涉及的量及其关系的分析，析出点的坐标随任意角的,78,六,、理解教学,教之道在于“度”,道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。,为了培养学生的创造性思维，必须让学生有实质性的数学思考。,数学是思维的科学，概念是思维的细胞，数学思维更是用概念思维，因此数学是培养思维能力的最佳载体,从数学知识发生发展,、,自然拓展过程，数学性质的合理猜想与,论证,过程出发，通过适当的问题引领，就能实现这样的目标。,六、理解教学教之道在于“度”道而弗牵，强而弗抑，开而弗达,79,具体怎么做？,加强一般观念（,big idea,）的指导作用，提升思想性。,通过,具体事例的归纳概括，特别是让,学生,自主、探究、交流,，,给学生表达的机会，,从,表达,中,把握学生的,思维过程，,捕捉生成性教学资源，,并用,“你是怎么想的？”“你是怎么想到的？,”,“,能把你的想法说得更清楚一些吗？”,等,促进,思考,，逐步培养学生用概念解释数学对象,、通过,归纳发现数学规律的能力与习惯，是促使学生深层次参与课堂教学的有力,举措,要,把实质性,的,归纳,机会,留给学生，例如具体实例共同特征,的,归纳,就,应该让学生完成,具体怎么做？加强一般观念（big idea）的指导作用，提升,80,二项式定理,课标要求,：,能用多项式运算法则和计数原理证明。,教学设计要求,：,从,特殊到一般，探索二项式定理及其证明，体会运算规则的作用：运算是严格的逻辑推理，通过运算可以发现和提出命题、掌握推理的基本形式和规则、探索和表述论证的过程。提升数学运算、逻辑推理、数学抽象素养。,二项式定理课标要求：能用多项式运算法则和计数原理证明。,81,代数研究中的“数学方式”,“代数学所研讨的是数系的结构和各种公式，它们在本质上是逐步归纳、复合所构造而得者代数学中的公式和定理绝大部分都是用归纳法由低次到高次，由一元、二元到多元逐步归纳而发现，然后再用归纳论证去确立其正确性。因此，归纳乃是整个代数学的基本大法和基本功。这里，归纳的含义是归纳地去探索、发现，然后归纳地定义，再归纳地论证。,”,代数研究中的“数学方式”“代数学所研讨的是数系的结构和各种公,82,两个角度的归纳,两个角度的归纳,83,84,结束语：心中有学生就是教师有素养,能为学生着想的老师就是高素质的老师,什么叫“为学生着想”？,慢下来，给学生“悟”的时间和空间，“慢”,就是快！,应加强动手、思考和感悟的实践，培养学生渴求知识的感觉,。,结束语：心中有学生就是教师有素养能为学生着想的老师就是高素质,85,先,让学生思考、感悟，经历“猜想,验证”、“发现,论证”的过程，然后上升为理性认识。,越是看上去简单的知识，越要让学生亲身感悟，从中获得“如何思考”的体验，这样得到的知识才能转化为认识世界的智慧，创造力的培养也蕴含其中,。,先让学生思考、感悟，经历“猜想验证”、“发现论证”的,86,真正的学习必须经历“感知,感悟,知识”的过程。,学生,冥思苦想而不得其解，一经提示就恍然大悟，问题到底出在哪里？,“不是做不到，而是想不到”的现象，正是数学素养低、数学能力差的表现。改变这种状态，要让学生不仅能做而且会想，唯一的办法是放手让学生自己先想、先,做，老师在如何想、如何做上加强引导。,这就需要限制课堂容量，放慢教学节奏，给学生“悟”的时间，给学生说出自己想法的机会。,真正的学习必须经历“感知感悟知识”的过程。,87,教之道在于“度”，学之道在于“悟”,为了发展,学生创新智慧,，需要思考一些基本问题，例如：,如何用有趣的问题引发学生兴趣，用恰时恰点、直击要害反映本质、简明易懂的问题引发学生思考、讨论？,如何不急不躁，给学生充分的时间思考、讨论，自然而然地为学生构建数学研究路径,？,教之道在于“度”，学之道在于“悟” 为了发展学生创新智慧，需,88,如何提高解题的层次，使学生通过解题认识一般的数学原理，并且让学生体会“如何做研究”，使思维的训练、创造力的培养蕴涵其中？,教学,中应多问“你是怎么想的？”“你是怎么想到的？”“还有别的想法吗？”少问“是不是？”“对不对？”更不要“我已经给大家准备好了，下面开始算吧！,”,通过技巧训练迅速提高分数,，,与通过思维训练全面,提升能力，是两个完全不同的追求！,如何提高解题的层次，使学生通过解题认识一般的数学原理，并且让,89,结束语,数学育人,使学生在数学学习中,树立自信，坚定正念，,增强定力，激励精进，,启迪智慧，净化心灵。,结束语 数学育人使学生在数学学习中,90,谢谢,倾听,请提宝贵意见,谢谢倾听,91,