Radon变换课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Robotics Institute of Harbin Institute of Technology,Radon,变换,崔小强,目录,1、Radon变换定义,2、Radon变换根本性质,3、Radon反变换,1,、,Radon,变换定义,图像变换：,为了有效和快速地对图像进行处理，,常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转,换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性,质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空,间以得到所需的效果。,正变换：,图像空间到其他空间,反变换：,其他空间到图像空间,1,、,Radon,变换定义,对,f(x,y),的,Radon,变换,R,f,(p, ),定义为沿由,p,和,定义的直线,l,的线积分。,1,、,Radon,变换定义,上述线积分可写为：,如果借助,Delta,函数，上述线积分还可写为：,1,、,Radon,变换定义,由于直线,l,的方程,p=xcos+ysin,给出，所以,借助,Delta,函数的性质，可知上式就是,l,的线积,分。,注意：Rfp，并不是定义在极坐标系统中,的，而是定义在一个半圆柱的外表。,1,、,Radon,变换定义,改变积分次序，并令,s=qp,，,q,0,，得到：,在傅里叶空间，令,u=qcos,，,v=qsin,。,利用,Delta,函数的性质,1,、,Radon,变换定义,可将,q,从,Delta,函数中提出来得到：,投影层定理,对,f,(,x,y,),沿固定角度,q,=,Q,的投影的,1-D,傅里叶变换就是对,f,(,x,y,),的,2-D,傅里叶变换中的一层,1,、,Radon,变换定义,2、Radon变换根本性质,线性,(2),相似性,如果,，那么：,2、Radon变换根本性质,(3),对称性,考虑如下等式,(,其中,t=(cos,sin,),为与,l,垂直方,向上的单位矢量。,2、Radon变换根本性质,常熟因子,a,可以从,Delta,函数中提出来，得到：,如果a=-1，那么说明Radon变换是阶为-1的偶,函数：,2、Radon变换根本性质,(4),平移性,给定,，那么对任意的,常数,a,和,b,，,f(x-a,y-b),的,Radon,变换可如下计,算：,2、Radon变换根本性质,(5),微分,这里仅考虑,，其他结果可用相同方法得到。,现在对上式两边取,Radon,变换，利用平移性质,得到：,2、Radon变换根本性质,根据偏微分的定义得到：,(6),卷积,这里用,表示,1-D,卷积，而用,表示,2-D,卷积以示区别。对,Radon,变换的卷积定理可,如下表示：如果,，那么对,2、Radon变换根本性质,f(x,y),的,Radon,变换等于,g(x,y),和,h(x,y),在,Radon,空间变换的,1-D,卷积：,3,、,Radon,反变换,Radon,反变换给出从投影重建的解。对,Radon,反变换的推导可借助傅里叶变换进行。,3,、,Radon,反变换,3,、,Radon,反变换,3,、,Radon,反变换,3,、,Radon,反变换,The End,