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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,CH4,级数,4.1,收敛序列和收敛级数,4.1.1,收敛序列,CH4 级数,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,4.1.2,收敛数项,级数,4.1.2 收敛数项级数,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,4.1.3,函数项级数,4.1.3函数项级数,4.2,幂级数,4.2.1,幂函数的概念,4.2 幂级数4.2.1 幂函数的概念,4.2.2,收敛半径,4.2.2 收敛半径,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,4.2.3,幂级数和函数的性质,4.2.3 幂级数和函数的性质,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,4.3,泰勒级数,4.3 泰勒级数,麦克劳林级数,麦克劳林级数,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,求导，找规律，总结出通项。,求导，找规律，总结出通项。,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,4.4,罗朗级数,4.4.1,罗朗级数的概念,4.4 罗朗级数4.4.1 罗朗级数的概念,4.4.2,解析函数的罗朗展开,利用“幂级数展式”展开的罗朗展开方法,4.4.2 解析函数的罗朗展开利用“幂级数展式”展开的罗朗展,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,作业：,4.1.1,4.1.8,（,a,）（,b,）,4.2.2,（,a,）（,b,）,(d),4.3.1 (b),4.4.5 (b),4.4.6,作业：,CH5,留数,5.1,解析函数的孤立奇点,5.1.1,孤立奇点的定义及分类,CH5 留数,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,5.1.2,零点与极点的关系,5.1.2 零点与极点的关系,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,定理,5.3.,定理5.3.,2024/8/29,36,例,（通过零点阶数判断极点阶数）,解：,2023/9/436例（通过零点阶数判断极点阶数） 解：,2024/8/29,37,5.1.3,、函数在无穷远点的性态,分析：,2023/9/4375.1.3、函数在无穷远点的性态 分析：,5.2,留数的一般理论,38,5.2.1,、留数的定义,1留数概念,5.2留数的一般理论385.2.1、留数的定义1留数概念,因此将函数在,0|z-z,0,|R,内展成洛朗级数为,因此将函数在0|z-z0|R内展成洛朗级数为,留数定义：,说明：,留数定义： 说明：,留数计算方法：,a:,对于本性奇点：利用罗朗展式找出,a,-1,。,b:,对于可去奇点,：,a,-1,=0,（,主要部分）,c:,对于极点： （分为一阶（简单）极点，与,m,阶极点）,留数计算方法：,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,定理,5.5,留数定理：设,f(z),在回路,l,上处处解析并且在,l,内部除有限个孤立奇点,z,1,z,2,z,3,外处处解析，则,定理5.5,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,2024/8/29,46,5.2.3,、函数在无穷远点的留数,2023/9/4465.2.3、函数在无穷远点的留数,2024/8/29,47,定理,5.6,证明：,2023/9/447定理5.6证明：,2024/8/29,48,例,解：,2023/9/448例解：,2024/8/29,49,例,2023/9/449例,留数定理,是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用,解析延拓,的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将,定积分变为回路积分中的一部分,。,5.3,留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分 ，变量,x,定义在闭区间,a,b, (,线段,),，此区间应是回路,的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须,解析延拓,到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：,留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分,1.,形如 的积分,其中,R,(cos,q,sin,q,),为,cos,q,与,sin,q,的有理函数,.,令,z,= e,i,q,则,d,z,=,i,e,i,q,d,q,而,1. 形如,其中,f,(,z,),是,z,的有理函数,且在单位圆周,|,z,|=1,上分母不为零,根据留数定理有,其中,z,k,(,k,=1,2,.,n,),为单位圆,|z|=1,内的,f,(,z,),的孤立奇点,.,其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,取积分路线如图所示,其中,C,R,是以原点为中心,R,为半径的在上半平面的半圆周,.,取,R,适当大,使,R,(,z,),所有的在上半平面内的极点,z,k,都包在这积分路线内,.,z,1,z,2,z,3,y,C,R,-,R,R,O,x,不失一般性,设,为一已约分式,.,取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在,此等式不因,C,R,的半径,R,不断增大而有所改变,.,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,3.,形如 的积分,当,R,(,x,),是,x,的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且,R,(,z,),在实数轴上没有奇点时,积分是存在的,.,象,2,中处理,的一样,z,1,z,2,z,3,y,C,R,-,R,R,O,x,此等式不因,C,R,的半径,R,不断增大而有所改变,.,3. 形如,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,也可写为,例,计算 的值,.,解,这里,m,=2,n,=1,m,-,n,=1.,R,(,z,),在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的,.,在上半平面内有一级极点,ai,也可写为例 计算,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,复变函数与积分变换第四五章PPT课件,作业：,5.1.1,a,c,d,j,l,5.2.1,a,b,c,g,j,5.2.5,a,b,d,5.2.6,a,c,5.3.1,a,c,f,作业：,第五章重点：,1.,奇点的分类和判定方法。,2.,留数的定义和留数定理（重点为有限平面的孤立奇点，,不包含无穷远点）,3.,留数在定积分计算上的应用。,四种形式的实数积分利用留数定理求解。,第五章重点：,
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