2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和ppt课件理新人教A版

第,2,节等差数列及其前,n,项和,考试要求,1.,理解等差数列的概念；,2.,掌握等差数列的通项公式与前,n,项和公式；,3.,能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；,4.,体会等差数列与一次函数的关系,.,第2节等差数列及其前n项和考试要求1.理解等差数列的概念,知,识,梳,理,1.,等差数列的概念,(1),如果一个数列从第,2,项起，每一项与它的前一项的差等,于,_,_,，,那么这个数列就叫做等差数列,.,数学语言表达式：,a,n,1,a,n,d,(,n,N,*,，,d,为常数,).,同一个常数,2.,等差数列的通项公式与前,n,项和公式,(1),若等差数列,a,n,的首项是,a,1,，公差是,d,，则其通项公式为,a,n,_,.,(2),前,n,项和公式：,S,n,_,_,.,a,1,(,n,1),d,知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,3.,等差数列的性质,(1),通项公式的推广：,a,n,a,m,_,(,n,，,m,N,*,).,(2),若,a,n,为等差数列，且,k,l,m,n,(,k,，,l,，,m,，,n,N,*,),，,则,_,_,_,.,(3),若,a,n,是等差数列，公差为,d,，则,a,k,，,a,k,m,，,a,k,2,m,，,(,k,，,m,N,*,),是公差,为,_,的,等差数列,.,(4),若,S,n,为等差数列,a,n,的前,n,项和，则数列,S,m,，,S,2,m,S,m,，,S,3,m,S,2,m,，,也是等差数列,.,(,n,m,),d,a,k,a,l,a,m,a,n,md,3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：anam_,微点提醒,1.,已知数列,a,n,的通项公式是,a,n,pn,q,(,其中,p,，,q,为常数,),，则数列,a,n,一定是等差数列，且公差为,p,.,2.,在等差数列,a,n,中，,a,1,0,，,d,0,，则,S,n,存在最大值；若,a,1,0,，,d,0,，则,S,n,存在最小值,.,3.,等差数列,a,n,的单调性：当,d,0,时，,a,n,是递增数列；当,d,0,时，,a,n,是递减数列；当,d,0,时，,a,n,是常数列,.,4.,数列,a,n,是等差数列,S,n,An,2,Bn,(,A,，,B,为常数,).,微点提醒1.已知数列an的通项公式是anpnq(,基,础,自,测,1.,判断下列结论正误,(,在括号内打,“”,或,“”,),(1),数列,a,n,为等差数列的充要条件是对任意,n,N,*,，都有,2,a,n,1,a,n,a,n,2,.(,),(2),等差数列,a,n,的单调性是由公差,d,决定的,.(,),(3),数列,a,n,为等差数列的充要条件是其通项公式为,n,的一次函数,.(,),(4),等差数列的前,n,项和公式是常数项为,0,的二次函数,.(,),解析,(3),若公差,d,0,，则通项公式不是,n,的一次函数,.,(4),若公差,d,0,，则前,n,项和不是二次函数,.,答案,(1),(2),(3),(4),基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”,2.,(,必修,5P46A2,改编,),设数列,a,n,是等差数列，其前,n,项和为,S,n,，若,a,6,2,且,S,5,30,，则,S,8,等于,(,),A.31,B.32,C.33,D.34,答案,B,2.(必修5P46A2改编)设数列an是等差数列，其前n,3.,(,必修,5P68A8,改编,),在等差数列,a,n,中，若,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,450,，则,a,2,a,8,_.,解析,由等差数列的性质，得,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,5,a,5,450,，,a,5,90,，,a,2,a,8,2,a,5,180.,答案,180,3.(必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a,4.,(2018,全国,卷,),记,S,n,为等差数列,a,n,的前,n,项和,.,若,3,S,3,S,2,S,4,，,a,1,2,，则,a,5,(,),A,.,12,B.,10,C.10,D.12,又,a,1,2,，,d,3,，,a,5,a,1,4,d,2,4,(,3),10.,答案,B,4.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,5.,(2019,上海黄浦区模拟,),已知等差数列,a,n,中，,a,2,1,，前,5,项和,S,5,15,，则数列,a,n,的公差为,(,),解析,设等差数列,a,n,的首项为,a,1,，公差为,d,，,答案,D,5.(2019上海黄浦区模拟)已知等差数列an中，a2,6.,(2019,苏北四市联考,),在等差数列,a,n,中，已知,a,3,a,8,0,，且,S,9,0,，,S,9,0,，,a,5,0,，,S,1,，,S,2,，,，,S,9,中最小的是,S,5,.,答案,S,5,6.(2019苏北四市联考)在等差数列an中，已知a3,考点一等差数列基本量的运算,【例,1,】,(1),(,一题多解,)(2017,全国,卷,),记,S,n,为等差数列,a,n,的前,n,项和,.,若,a,4,a,5,24,，,S,6,48,，则,a,n,的公差为,(,),A.1,B.2,C.4,D.8,(,2),(2019,潍坊检测,),设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，,S,11,22,，,a,4,12,，若,a,m,30,，则,m,(,),A.9,B.10,C.11,D.15,考点一等差数列基本量的运算,解析,(1),法一,设等差数列,a,n,的公差为,d,，,又,a,4,a,5,24,，所以,a,4,a,2,2,d,24,16,8,，则,d,4.,解析(1)法一设等差数列an的公差为d，又a4a5,(2),设等差数列,a,n,的公差为,d,，依题意得,a,m,a,1,(,m,1),d,7,m,40,30,，,m,10.,答案,(1)C,(2)B,(2)设等差数列an的公差为d，依题意得ama1(,规律方法,1.,等差数列的通项公式及前,n,项和公式共涉及五个量,a,1,，,a,n,，,d,，,n,，,S,n,，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题,.,2.,数列的通项公式和前,n,项和公式在解题中起到变量代换作用，而,a,1,和,d,是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法,.,规律方法1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a,【训练,1,】,(1),等差数列,log,3,(2,x,),，,log,3,(3,x,),，,log,3,(4,x,2),，,的第四项等于,(,),A.3 B.4,C.log,3,18,D.log,3,24,(,2),(,一题多解,),设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，,S,3,6,，,S,4,12,，则,S,6,_.,解析,(1),log,3,(2,x,),，,log,3,(3,x,),，,log,3,(4,x,2),成等差数列，,log,3,(2,x,),log,3,(4,x,2),2log,3,(3,x,),，,log,3,2,x,(4,x,2),log,3,(3,x,),2,，则,2,x,(4,x,2),9,x,2,，,解之得,x,4,，,x,0(,舍去,).,等差数列的前三项为,log,3,8,，,log,3,12,，,log,3,18,，,【训练1】 (1)等差数列log3(2x)，log3(3x),(2),法一,设数列,a,n,的首项为,a,1,，公差为,d,，,所以,S,6,6,a,1,15,d,30.,法二,由,a,n,为等差数列，故可设前,n,项和,S,n,An,2,Bn,，,即,S,n,n,2,n,，则,S,6,36,6,30.,答案,(1)A,(2)30,(2)法一设数列an的首项为a1，公差为d，所以S6,考点二等差数列的判定与证明,典例迁移,(1),证明,当,n,2,时，由,a,n,2,S,n,S,n,1,0,，,考点二等差数列的判定与证明典例迁移(1)证明当n,2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和ppt课件理新人教A版,【迁移探究,1,】,本例条件不变，判断数列,a,n,是否为等差数列，并说明理由,.,解,因为,a,n,S,n,S,n,1,(,n,2),，,a,n,2,S,n,S,n,1,0,，,所以当,n,2,时，,a,n,1,a,n,的值不是一个与,n,无关的常数，故数列,a,n,不是一个等差数列,.,【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列an是否为等差数列,2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和ppt课件理新人教A版,规律方法,1.,证明数列是等差数列的主要方法：,(1),定义法：对于,n,2,的任意自然数，验证,a,n,a,n,1,为同一常数,.,(2),等差中项法：验证,2,a,n,1,a,n,a,n,2,(,n,3,，,n,N,*,),都成立,.,2.,判定一个数列是等差数列还常用到结论：,(1),通项公式：,a,n,pn,q,(,p,，,q,为常数,),a,n,是等差数列,.,(2),前,n,项和公式：,S,n,An,2,Bn,(,A,，,B,为常数,),a,n,是等差数列,.,问题的最终判定还是利用定义,.,规律方法1.证明数列是等差数列的主要方法：,【训练,2,】,(2017,全国,卷,),记,S,n,为等比数列,a,n,的前,n,项和,.,已知,S,2,2,，,S,3,6.,(,1),求,a,n,的通项公式；,(,2),求,S,n,，并判断,S,n,1,，,S,n,，,S,n,2,是否成等差数列,.,解,(1),设,a,n,的公比为,q,，由题设可得,故,a,n,的通项公式为,a,n,(,2),n,.,【训练2】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的,(2),由,(1),可得,故,S,n,1,，,S,n,，,S,n,2,成等差数列,.,(2)由(1)可得故Sn1，Sn，Sn2成等差数列.,考点三等差数列的性质及应用,多维探究,角度,1,等差数列项的性质,【例,3,1,】,(2019,临沂一模,),在等差数列,a,n,中，,a,1,3,a,8,a,15,120,，则,a,2,a,14,的值为,(,),A.6,B.12,C.24,D.48,解析,在等差数列,a,n,中，,a,1,3,a,8,a,15,120,，,由等差数列的性质，,a,1,3,a,8,a,15,5,a,8,120,，,a,8,24,，,a,2,a,14,2,a,8,48.,答案,D,考点三等差数列的性质及应用多维探究解析在等差数列,角度,2,等差数列和的性质,【例,3,2,】,设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,S,3,9,，,S,6,36,，则,a,7,a,8,a,9,等于,(,),A.63,B.45,C.36,D.27,解析,由,a,n,是等差数列，得,S,3,，,S,6,S,3,，,S,9,S,6,为等差数列，,即,2(,S,6,S,3,),S,3,(,S,9,S,6,),，,得到,S,9,S,6,2,S,6,3,S,3,45,，,所以,a,7,a,8,a,9,45.,答案,B,角度2等差数列和的性质解析由an是等差数列，得S3，,规律方法,1.,项的性质：在等差数列,a,n,中，若,m,n,p,q,(,m,，,n,，,p,，,q,N,*,),，则,a,m,a,n,a,p,a,q,.,2.,和的性质：在等差数列,a,n,中，,S,n,为其前,n,项和，则,(1),S,2,n,n,(,a,1,a,2,n,),n,(,a,n,a,n,1,),；,(2),S,2,n,1,(2,n,1),a,n,.,规律方法1.项的性质：在等差数列an中，若mnp,2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和ppt课件理新人教A版,(2),由,a,3,a,4,a,5,3,及等差数列的性质,，,3,a,4,3,，则,a,4,1.,又,a,4,a,12,2,a,8,，得,1,a,12,2,8,.,a,12,16,1,15.,答案,(1)6 057,(,2)A,(3)A,(2)由a3a4a53及等差数列的性质，3a43，,考点四等差数列的前,n,项和及其最值,【例,4,】,(2019,衡水中学质检,),已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，,a,1,0,，常数,0,，且,a,1,a,n,S,1,S,n,对一切正整数,n,都成立,.,(,1),求数列,a,n,的通项公式；,考点四等差数列的前n项和及其最值,两式相减得,2,a,n,2,a,n,1,a,n,(,n,2).,所以,a,n,2,a,n,1,(,n,2),，,两式相减得2an2an1an(n2).,所以数列,b,n,是单调递减的等差数列，公差为,lg 2,，,所以数列bn是单调递减的等差数列，公差为lg 2，,规律方法,求等差数列前,n,项和,S,n,的最值的常用方法：,(1),函数法：利用等差数列前,n,项和的函数表达式,S,n,an,2,bn,(,a,0),，通过配方或借助图象求二次函数的最值,.,(2),利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求,S,n,的最值,.,规律方法求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法：,2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和ppt课件理新人教A版,由,d,0,，解得,a,1,3,，,d,2,，,则,n,4,0,，得,n,4,，,由d0，解得a13，d2，则n40，得n4，,(2),因为等差数列,a,n,的首项,a,1,20,，公差,d,2,，,又因为,n,N,*,，所以,n,10,或,n,11,时，,S,n,取得最大值，最大值为,110.,答案,(1)B,(2)110,(2)因为等差数列an的首项a120，公差d2，又,思维升华,1,.,证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前,n,项和,S,n,An,2,Bn,及通项,a,n,pn,q,来判断一个数列是否为等差数列,.,2.,等差数列基本量思想,(,1),在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于,a,1,，,d,的方程组进行求解,.,(,2),若奇数个数成等差数列，可设中间三项为,a,d,，,a,，,a,d,.,若,偶数个数成等差数列，可设中间两项为,a,d,，,a,d,，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元,.,(,3),灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量,.,思维升华,易错防范,1,.,用定义法证明等差数列应注意,“,从第,2,项起,”,，如证明了,a,n,1,a,n,d,(,n,2),时，应注意验证,a,2,a,1,是否等于,d,，若,a,2,a,1,d,，则数列,a,n,不为等差数列,.,2.,利用二次函数性质求等差数列前,n,项和最值时，一定要注意自变量,n,是正整数,.,易错防范,