建模案例—飞行管理问题课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,鲁胜强,谢金星,清华大学数学科学系, 2007-2008.,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信息工程大学 韩中庚,*,鲁胜强,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,鲁胜强,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,报告人：鲁胜强,数学建模培训讲座-,数学建模竞赛中的优化问题,-95A:飞行管理问题,报告人：鲁胜强数学建模培训讲座-数学建模竞赛中的优化问,1,一个飞行管理问题,1.1 问题描述,1995年全国大学生数学建模竞赛中的A题（“一个飞行管理问题”）。,在约10000米高空的某边长为160km的正方形区域内，经常有若干架飞机做水平飞行，区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理，当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。,一个飞行管理问题1.1 问题描述,2,现假定条件如下：,不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km；,飞机飞行方向角调整幅度不应超过30；,所有飞机飞行速度均为800kmh；,进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60km以上；,最多需考虑6架飞机；,不必考虑飞机离开此区域后的情况。,现假定条件如下：,3,请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。,该区域四个定点的坐标为（0，0）、（160，0）、（160，160）、（0，160）。记录数据见表21。,请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，,4,表21 飞机位置和方向角记录数据,飞机编号横坐标纵坐标方向角（）飞机编号横坐标x纵坐标y方向角（）,飞机编号,横坐标,纵坐标,方向角（）,飞机编号,横坐标x,纵坐标y,方向角（）,1,150,140,243,4,145,50,159,2,85,85,236,5,130,150,230,3,155,155,2205,新进入,0,0,52,说明：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。,试根据实际应用背景对你的模型进行评价和推广,表21 飞机位置和方向角记录数据飞机编号横坐标纵坐标方向,5,* 对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想.,抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、“立即”、“判断”等等词语.,* 联系解决问题的方案,不加约束继续联想，再将关键词搭配起来.,1. 问题的前期分析,* 对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键词“管理”进行,6,160km,160km,飞行位置示意图,160km160km飞行位置示意图,7,立即 判断,碰撞,条件,实时,算法,避免 碰撞,调整 方向角,实时,幅度尽量小,相对,距离,优化问题,优化算法,优化调整方案,立即 判断 碰撞 条件 实时 算法 避免 碰撞 调,8,问题的初步理解和想法,飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性.,问题的初步理解和想法 飞行管理问题是优化问题,在调整方向角,9,2. 问题探究,（1）优化问题的目标函数为何？,方向角调整的尽量小,方向角如何表示,方向角的概念是什么,方向角的平方和,目标函数,2. 问题探究（1）优化问题的目标函数为何？方向角调整的尽量,10,任意两架飞机的距离大于8 公里；,飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 ；,（2）优化问题的约束条件为何？,两点间距离表示方法,判断避免碰撞的依据,把飞机视为点,总结：目标函数和约束条件中都含有方向角。,任意两架飞机的距离大于8 公里；（2）优化问题的约束条件为何,11,（3）分析6架飞机目前碰撞情况,描点作图；,分析飞机在飞行区域的时间；,判断5架飞机此刻的情况；,判断新进入飞机与其他5架飞机碰撞的情况。,（3）分析6架飞机目前碰撞情况描点作图；,12,（4）求解方法,特殊到一般：先考虑2架，然考虑3架,优化问题为非线性规划问题，编程求解。,总结：初等算法和高等算法都可。,创新之处：算法。,（4）求解方法特殊到一般：先考虑2架，然考虑3架总结：初等,13,模型一及求解,模型建立,这个问题显然是一个优化问题。设第i 架飞机在调整时的方向角为 （题目中已给出），调整后的方向为 ，题目中就是要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，因此有化的目的函数可以是：,（1）,模型一及求解模型建立,14,为了建立这个问题的优化模型，只需要明确约束条件就可以了。一个简单的约束是飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30，即,（2）,为了建立这个问题的优化模型，只需要明确约束条件就可以了。一个,15,题目中要求进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的飞机的距离应在60km以上。这个条件是个初始条件，很容易验证目前所给的数据是满足的，因此本模型中可以不予考虑。剩下的关键是 要满足题目中描述的任意两架位于该区域内的飞机的距离应该大于8km。但这个问题的难点在于飞机是动态的，这个约束不好直接描述，为此我们首先需要描述每架飞机的飞行轨迹。,题目中要求进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的飞机,16,记飞机飞行速率为（800kmh），以当前时刻为0时刻。设第 架飞机在调整时的位置坐标为 （已知条件），时刻的位置坐标为 ，则,（3）,记飞机飞行速率为（800kmh），以当前时刻为0时刻。设第,17,如果要严格表示两架位于该区域内的飞机的距离应大于8km，则需要考虑每架飞机在区域内的飞行时间的长度。记Ti 为第 架飞机飞出区域的时间，即,（4）,如果要严格表示两架位于该区域内的飞机的距离应大于8km，则需,18,记 时刻第 架飞机与第 架飞机的距离为 ，并记 ，这时在区域内飞机不相撞的约束条件就变成了,（5）,其中,（6）,此外，经过计算可以得到,记 时刻第 架飞机与第 架飞机的距离为 ，并,19,（7）,（8）,（9）,（10）,建模案例飞行管理问题课件,20,所以 是一个关于 t 的二次函数，表示的是一条开口向上的抛物线。当 即,（记为 ）时， 函数取最小值 。注意到 （初始时刻不相撞），如果 （即 ）则此时约束条件（5）一定成立，所以,如果 且 ，只要在右端点的函数值非负即可，即,所以 是一个关于 t 的二次函数，表示的是一条开口向,21,（11）,如果 且 ，只需要 求最小值,即可，即,（12）,实际上，约束（11）表示的是 在右端点的函数值非负，这个约束在（12）的条件下也是自然成立的，所以可以是对约束（11）不再附加且的条件。,22,于是我们的模型就是,（13）,（14）,（15）,（16）,于是我们的模型就是,23,模型求解,上面这是一个非线性规划模型，虽然是严格满足题目要求的模型，但得到的模型逻辑关系比较复杂，约束（16）是在一定条件下才成立的约束，而且其中的计算式（4）也含有相当复杂的关系式，使用LINGO软件不太容易将模型很方便的输入，因为逻辑处理不是LINGO的优势所在。即使想办法把这个模型输入到LINGO，也不一定能求出好的解（笔者尝试过，但是LINGO运行时有时会出现系统内部错误，可能是系统有问题，无法继续求解）。而且，在实时飞行调度中显然需要快速求解，所以下面我们想办法简化模型。,模型求解上面这是一个非线性规划模型，虽然是严格满足题目要求的,24,这个模型麻烦之处就在于，要求严格表示两架飞机的飞行距离应大于8km，所以需要考虑每架飞机在区域内的飞行时间的长度，比较繁琐。注意到区域对角线的长度只有 ，任何一架飞机在所考虑的区域内停留的时间不会超过 。因此这里我们简化一下问题；,这个模型麻烦之处就在于，要求严格表示两架飞机的飞行距离应大于,25,不再单独考虑每架飞机在区域内停留的时间，而是以最大时间 （这是已经是一个常数）代替之，此时所有 ，这实际上强化了问题的要求，即考虑了有些飞机可能已经飞出区域，但仍不允许两架飞机的距离小于8km。,不再单独考虑每架飞机在区域内停留的时间，而是以最大时间,26,程序：,MODEL:,TITLE 飞行管理问题的非线性规划模型;,SETS:,Plane/1.6/: x0, y0, cita0, cita1, d_cita;,! cita0表示初始角度，cita1为调整后的角度,d_cita为调整的角度;,link(plane, plane)|,ENDSETS,DATA:,程序：MODEL:,27,150,140,243,85,85,236,150,155,220.5,145,50,159,130,150,230,0,0,52,x0 y0 cita0 =,1501402438585236150155220.5145,28,max_cita = 30;,T_max = 0.283;,V=800;,ENDDATA,INIT:,d_cita = 0 0 0 0 0 0;,ENDINIT,for(plane: cita1 - cita0 = d_cita);,for(link(i,j):,b(i,j) = -2*(x0(i) -x0(j)*sin (cita1(i)+cita1(j)*3.14159265/360),+2*(y0(i) -y0(j)*cos (cita1(i)+cita1(j)*3.14159265/360);,c(i,j) = (x0(i) -x0(j) 2 + (y0(i) -y0(j) 2 - 64;,);,! 避免碰撞的条件;,! 右端点非负;,for(link(i,j): Right,max_cita = 30;,29,(2*V*T_max*sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360)2,+ b(i,j)*(2*V*T_max*sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360),+ c(i,j) 0);,! 最小点非负;,for(link(i,j): Minimum if(b(i,j)#lt#0 #and#,-b(i,j)/4/V/sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) #gt#0 #and#,-b(i,j)/4/V/sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) #lt#T_max ,b(i,j)2-4*c(i,j),-1) 0);,!for(link(i,j): if(b(i,j)#lt#0, b(i,j)2-4*c(i,j), -1) ij,模型的建立（1）圆状模型ABDnimilijijiji,36,(2)由圆状模型导出的方程,讨论ij的改变量与第i第j两架飞机飞行方向角改变量i, j的关系,由题目条件知|vi|=A=800，可用复数表示速度,设第i，j飞机飞行方向改变前的速度分别为,改变后的速度分别为,改变前后相对速度分别为,两者之商的幅角就是ij,(2)由圆状模型导出的方程讨论ij的改变量与第i第j两架飞,37,定理：对第i，第j两架飞机，其相对速度方向ij的改变量ij等于两飞机飞行方向角改变量之和的一半，即,定理：对第i，第j两架飞机，其相对速度方向ij的改变量,38,模型,目标函数：,Min其中为各飞机方向角调整量的最大值,或为,约束条件：,调整方向角时不能超过300：,调整飞行方向后飞机不能碰撞：,模型为,模型目标函数：Min其中为各飞机方向角调整量的最大值或为,39,化为线性规划模型,由于i可正可负，为使各变量均非负，引入新变量：,模型化为,化为线性规划模型由于i可正可负，为使各变量均非负，引入新,40,模型求解,ij的计算,model:,sets:,plane/1.6/:x0,y0;,link(plane,plane):alpha,sin2;,endsets,for(link(i,j)|i#ne#j:,sin2(i,j)=64/(x0(i)-x0(j)2+(y0(i)-y0(j)2);,);,for(link(i,j)|i#ne#j:,(sin(alpha*3.14159265/180.0)2=sin2;,);,data:,x0=150,85,150,145,130,0;,y0=140,85,155,50,150,0;,enddata,end,模型求解ij的计算model:,41,ALPHA( 1, 1) 1.234568 ALPHA( 1, 2) 5.391190 ALPHA( 1, 3) 752.2310 ALPHA( 1, 4) 5.091816 ALPHA( 1, 5) 2000.963 ALPHA( 1, 6) 2.234507 ALPHA( 2, 1) 5.391190 ALPHA( 2, 2) 1.234568 ALPHA( 2, 3) 4.804024 ALPHA( 2, 4) 6.613460 ALPHA( 2, 5) 5.807866 ALPHA( 2, 6) 3.815925 ALPHA( 3, 1) 752.2310 ALPHA( 3, 2) 4.804024 ALPHA( 3, 3) 1.234568 ALPHA( 3, 4) 4.364672 ALPHA( 3, 5) 1102.834 ALPHA( 3, 6) 2.125539 ALPHA( 4, 1) 5.091816,ALPHA( 4, 2) 6.613460 ALPHA( 4, 3) 4.364672 ALPHA( 4, 4) 1.234568 ALPHA( 4, 5) 4.537692 ALPHA( 4, 6) 2.989819 ALPHA( 5, 1) 2000.963 ALPHA( 5, 2) 5.807866 ALPHA( 5, 3) 1102.834 ALPHA( 5, 4) 4.537692 ALPHA( 5, 5) 1.234568 ALPHA( 5, 6) 2.309841 ALPHA( 6, 1) 2.234507 ALPHA( 6, 2) 3.815925 ALPHA( 6, 3) 2.125539 ALPHA( 6, 4) 2.989819 ALPHA( 6, 5) 2.309841 ALPHA( 6, 6) 1.234568,ALPHA( 1, 1) 1.234568,42,ij,J=1,2,3,4,5,6,i=1,0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,2,5.391190,0.000000,4.804024,6.613460,5.807866,3.815925,3,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539,4,5.091816,6.613460,4.364672,0.000000,4.537692,2.989819,5,20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,6,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000,整理可得ij的值（单位角度）,也可以用MATLAB计算ij的值,ijJ=123456i=10.0000005.391190,43,x=150,85,150,145,130,0;y=140,85,155,50,150,0;,k=length(x);,alpha=zeros(k);,for i=1:k,for j=1:k,if i=j,alpha(i,j)=0;,else alpha(i,j)=(180/3.14159265)*asin(8/sqrt(x(i)-x(j)2+(y(i)-y(j)2);,end,end,end,alpha,计算ij的值程序为,计算结果为,x=150,85,150,145,130,0;y=14,44,0 5.391190237223,5.391190237223 0,32.230952672331 4.804023933797,5.091816448550 6.613460489872,20.963360893128 5.807866243421,2.234506736995 3.815924775399,32.230952672331 5.091816448550,4.804023933798 6.613460489872,0 4.364671899111,4.364671899111 0,22.833654204009 4.537692462402,2.125538857551 2.989819139045,20.963360893128 2.234506736995,5.807866243421 3.815924775399,22.833654204009 2.125538857551,4.537692462403 2.989819139045,0 2.309841365405,2.309841365405 0,ij的计算:,a=150,85,150,145,130,0;b=140,85,155,50,150,0;,x=a+b*i;,c=243,236,220.5,159,230,52*pi/180;,v=exp(i*c);,k=length(a);,for i=1:k,for j=1:k,beita(i,j)=(angle(v(i)-v(j)-angle(x(j)-x(i)*180/pi;,end,end,beita,用matlab程序编写,0 5.391,45,beita =,0 109.2636 -128.2500 24.1798 -186.9349 14.4749,109.2636 0 -88.8711 -42.2436 -92.3048 9.0000,231.7500 271.1289 0 12.4763 301.2138 0.3108,24.1798 -42.2436 12.4763 0 5.9692 -3.5256,173.0651 267.6952 -58.7862 5.9692 0 1.9144,14.4749 9.0000 0.3108 -3.5256 1.9144 0,运算结果,最优解的计算,用LINGO求解,程序如下,beita =运算结果最优解的计算用LINGO求解程序如下,46,model:,sets:,plane/1.6/:cita;,link(plane,plane):alpha,beta;,endsets,min=sum(plane:abs(cita);,for(plane(i):,bnd(-30,cita(i),30);,);,for(link(i,j)|i#ne#j:,abs(beta(i,j)+0.5*cita(i)+0.5*cita(j),alpha(i,j);,);,model:,47,data:,alpha=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,5.391190,0.000000,4.8040024,6.813460,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539,5.091816,6.613460,4.363673,0.000000,4.537692,2.989819, 20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000;,beta=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934,109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.000000,-128.250000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.310809,24.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606,174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.914383,14.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000,;,enddata,end,用MATLAB计算编程如下,data:用MATLAB计算编程如下,48,function f,g=plane(x),alph=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,5.391190,0.000000,4.8040024,6.813460,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539,5.091816,6.613460,4.363673,0.000000,4.537692,2.989819,20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000;,bet=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934,109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.000000,-128.250000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.310809,24.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606,174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.914383,14.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;,f=abs(x(1)+abs(x(2)+abs(x(3)+abs(x(4)+abs(x(5)+abs(x(6);,g(1)= alpha(1,2) -abs(beta(1,2)+0.5*x(1)+0.5*x(2);,g(2)= alpha(1,3) -abs(beta(1,3)+0.5*x(1)+0.5*x(3);,g(3)= alpha(1,4) -abs(beta(1,4)+0.5*x(1)+0.5*x(4);,g(4)= alpha(1,5) -abs(beta(1,5)+0.5*x(1)+0.5*x(5);,function f,g=plane(x),49,g(5)= alpha(1,6) -abs(beta(1,6)+0.5*x(1)+0.5*x(6);,g(6)= alpha(2,3) -abs(beta(2,3)+0.5*x(2)+0.5*x(3);,g(7)= alpha(2,4) -abs(beta(2,4)+0.5*x(2)+0.5*x(4);,g(8)= alpha(2,5) -abs(beta(2,5)+0.5*x(2)+0.5*x(5);,g(9)= alpha(2,6) -abs(beta(2,6)+0.5*x(2)+0.5*x(6);,g(10)= alpha(3,4) -abs(beta(3,4)+0.5*x(3)+0.5*x(4);,g(11)= alpha(3,5) -abs(beta(3,5)+0.5*x(3)+0.5*x(5);,g(12)= alpha(3,6) -abs(beta(3,6)+0.5*x(3)+0.5*x(6);,g(13)= alpha(4,5) -abs(beta(4,5)+0.5*x(4)+0.5*x(5);,g(14)= alpha(4,6) -abs(beta(4,6)+0.5*x(4)+0.5*x(6);,g(15)= alpha(5,6) -abs(beta(5,6)+0.5*x(5)+0.5*x(6);,执行程序,x0=0,0,0,0,0,0; v1=-30*ones(1,6); v2=30*ones(1,6);opt=;,x= constr(plane,x0,opt,v1,v2),g(5)= alpha(1,6) -abs(beta(1,6,50,结果：,x = -0.00000576637983,-0.00000576637983,2.58794980234726,-0.00001243487985,0.00003620473095,1.04151019765274,最优解：,结果：x = -0.00000576637983 最优解,51,模型检验,各飞行方向按此方案调整后，系统各架飞机均满足|ij+( I+ j)/2|ij ,结果是正确的。,模型的评价与推广,（1）此模型采用圆状模型分析碰撞问题是合理的，同时采用相对速度作为判别标准，既体现了碰撞的本质（相对运动），又简化了模型的计算；,（2）建模中用了适当的简化，将一个复杂的非线性规划问题简化为线性规划问题，既求到合理的解，又提高了运算速度，这对解决高速飞行的飞机碰撞问题是十分重要的。此模型对题目所提供的例子计算得出的结果是令人满意的。,（,3,）由对称性知模型中的约束个数是 （,n,是飞机数），所有约束条件数是 ，计算量增加不大。,模型检验各飞行方向按此方案调整后，系统各架飞机均满足|ij,52,建模方案二：,1.问题分析,目的：不碰撞,手段：调整飞行方向角,要求：调整的幅度尽量小,求解思路：,(1) 找出不碰撞的条件,可用matlab画出各架飞机在t=0时刻的位置和飞行方向,(2)求调整幅度的极小值,建模方案二：1.问题分析,53,题目的条件,(1) 飞机在正方形区域内水平飞行。,根据 (1)可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域,顶点为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。,根据 (1)可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域,顶点为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。,可用matlab画出各架飞机在t=0时刻的位置和飞行方向,画图程序为：plan1,在用matlab进行飞机动态模拟：plan2,题目的条件,54,从模拟的结果以及计算可知，如果不调整飞机方向，飞机6和5发生碰撞，然后6和3发生碰撞。,2.符号含义如下:,Pi代表第i架飞机，新进入为第6架；,Xi(t),yi(t) 第i架飞机的位置坐标，他们都是时间的函数，xi0,yi0是他们的初始值；,v飞行速度，为常数800km/h;,i 第i架飞机飞行方向角， i 0为初始值；,i 第i架飞机飞行方向角i 的调整值；,dij(t)- 第i架飞机与第j架飞机之间的距离，他是时间的函数,从模拟的结果以及计算可知，如果不调整飞机方向，飞机6和5,55,4.模型的建立,记: 第i架飞机的飞行方向角: i,调整量: i, (调整后),i= i0,+ i,t时刻，飞机的位置为：,两架飞机的距离的平方：d2ij (t)= (xi0+vtcos i - xj0-vtcos j)2,+(yi0+vtsin i - yj0-vtsin j)2,题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小,因此目标取为,3.模型假设,(1) 飞机进入区域边缘时,立即作出计算,每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变;,(2) 每架飞机在整个过程中至多改变一次方向;,(3) 忽略飞机转向的影响(转弯半径和转弯时间的影响);,4.模型的建立 3.模型假设,56,(2)约束条件,条件 1 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度. 得到,|i |30,i=16,条件 2 飞机不碰撞的标准为二者距离大于8公里 。,总结以上结果得如下优化模型,这是一个非线性规划模型.,(2)约束条件,57,为了简化计算，令vt=l,将l离散化，经预先计算可知，碰撞可能发生在94l112范围之内，把l放宽到90l112，经初步估算1和2不发生碰撞，可不考虑1和2，可编写程序如下plan3,用多点迭代的方法可得最优解： 3 =0.04954弧度,： 6 = 0.138弧度，其他的不用调整，目标函数值为0.06334弧度,为了简化计算，令vt=l,将l离散化，经预先计算可知，碰撞可,58,为了参加数学建模竞赛，需要掌握多少数学（工具）？,数学建模与数学工具的关系,“,问题”,“,工具”,优化模型与软件,锤子与钉子,哪些数学工具可以用于解决实际问题？,多多益善；运用自如,为了参加数学建模竞赛，需要掌握多少数学（工具）？数学建模与数,59,课后练习,对三种方法中的求解过程进行实际操作.,2. 查找优秀论文另类解法中的一种,利用所给数据， 求解最优解.,3. 请同学们每一小组同学讨论后形成报告.,课后练习对三种方法中的求解过程进行实际操作.,60,谢谢大家,温州医学院信息工程学院,鲁胜强,E_mail:lusq2005,2024/8/29,61,谢谢大家 温州医学院信息工程学院2023/9/561,