数学建模因子分析

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十四讲,因子分析,第一局部 主成分分析,第二局部 因子分析,第一局部 主成分分析,1、 主成分分析的根本原理,2、 主成分分析的数学模型,3、 主成分分析的步骤,主成分分析的根本原理,主成分的概念由Karl Pearson在1901年提出的。他是考察多个变量间相关性一种多元统计方法,研究如何通过少数几个主成分(principal component)来解释多个变量间的内部结构。即从原始变量中导出少数几个主分量，使它们尽可能多地保存原始变量的信息，且彼此间互不相关。,主成分分析的目的：数据的压缩；数据的解释,常被用来寻找判断事物或现象的综合指标，并对综合指标所包含的信息进行适当的解释,什么是主成分分析？,(principal component analysis),对这两个相关变量所携带的信息,(,在统计上信息往往是指数据的变异,),进行浓缩处理,假定只有两个变量,x,1,和,x,2,，从散点图可见两个变量存在相关关系，这意味着两个变量提供的信息有重叠,主成分分析的根本思想 (以两个变量为例),如果把两个变量用一个变量来表示，同时这一个新的变量又尽可能包含原来的两个变量的信息，这就是降维的过程,主成分分析的数学模型,数学上的处理是将原始的,p,个变量作线性组合，作为新的变量,设,p,个原始变量为 ，新的变量,(,即主成分,),为,，主成分和原始变量之间的关系表示为,主成分分析的数学模型,主成分分析的数学模型,aij为第i个主成分yi和原来的第j个变量xj之间的线性相关系数，称为载荷(loading)。比方，a11表示第1主成分和原来的第1个变量之间的相关系数，a21表示第2主成分和原来的第1个变量之间的相关系数,p,x,x,x,，,，,，,2,1,p,y,y,y,，,，,，,.,2,1,选择几个主成分？选择标准是什么？,被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴总程度之和的大局部,在统计上，主成分所代表的原始变量的信息用其方差来表示。因此，所选择的第一个主成分是所有主成分中的方差最大者，即Var(yi)最大,如果第一个主成分缺乏以代表原来的个变量，在考虑选择第二个主成分，依次类推,这些主成分互不相关，且方差递减,主成分的选择,究竟选择几个主成分才适宜呢？,一般要求所选主成分的方差总和占全部方差的80%以上就可以了。当然，这只是一个大体标准，具体选择几个要看实际情况,如果原来的变量之间的相关程度高，降维的效果就会好一些，所选的主成分就会少一些，如果原来的变量之间本身就不怎么相关，降维的效果自然就不好,不相关的变量就只能自己代表自己了,主成分的选择,主成分分析的步骤,对原来的,p,个指标进行标准化，以消除变量在水平和量纲上的影响,根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵,求出协方差矩阵的特征根和特征向量,确定主成分，并对各主成分所包含的信息给予适当的解释,主成分分析的步骤,【例】,根据我国31个省市自治区2006年的6项主要经济指标数据，进行主成分分析，找出主成分并进行适当的解释,主成分分析,(实例分析),用SPSS进行主成分分析,第1步 选择【Analyze】下拉菜单，并选择【Data Reduction-Factor】，进入主对话框,第2步 在主对话框中将所有原始变量选入【Variables】,第3步 点击【Descriptives】，在【correlation Matrix】下选择【Coefficirnts】，点击【Continue】回到主对话框,第4步 点击【Extraction】，在【Display】下选择【Scree Plot】，点击【Continue】回到主对话框,第5步 点击【Rotation】，在【Display】下选择【Loading Plot】，点击【Continue】回到主对话框,点击【OK】,单变量描述统计分析。输出单变量的根本统计量，包括每个变量的均值、标准差及其有效例数,初始解。默认选项。输出因子分析的初始解，显示初始公共因子方差、特征值及其解释变量的百分比。,1、相关系数矩阵；,2、显著性水平；,3、相关系数矩阵的行列值；,4、相关系数矩阵的逆矩阵；,5、再生相关系数矩阵。输出因子分析的估计量相关系数矩阵，并显示参差值，即原始相关系数矩阵与再生相关系数矩阵之间的差值；,6、反映射相关系数矩阵。包括负片相关系数矩阵。反映射相关系数矩阵的对角线可以显示变量的抽样适度测试值,KMO和球形Bartlett检验。,分析矩阵选项：,1、相关系数矩阵。用于指定利用分析变量相关矩阵为提取因子的依据，当参与分析的变量测度单位不同时，选择该选项,分析矩阵选项：,2、协方差矩阵。指定利用分析变量的协方差矩阵为提取因子的依据。,选择和因子提取方法有关的输出选项：,1、非旋转因子解。要求显示未经旋转的因子载荷、公共因子方差和特征值；,选择和因子提取方法有关的输出选项：,2、碎石图。每个因子的方差图，该图利用特征值为两个坐标轴。碎石图可以决定保存因子的数量,提取因子的准那么：,1、特征值：该选项指定因子的特征值；,2、指定提取公因子的数目。,收敛的最大迭代次数,因子旋转方式：,1、不进行旋转；,2、方差最大正交旋转法；,3、直接斜交旋转方法；,4、四分位最大正交旋转法；,5、等量正交旋转法；,6、斜交旋转法,输出与因子旋转相关的信息：,1、旋转解；,2、因子载荷散点图。,SPSS的输出结果,各变量之间的相关系数矩阵,变量之间的存在较强的相关关系，适合作主成分分析,SPSS的输出结果,(选择主成分),表,3,各主成分所解释的原始变量的方差,该表是选那么主成分的主要依据,“Initial Eigenvalues(初始特征根),实际上就是本例中的6个主轴的长度,特征根反映了主成分对原始变量的影响程度，表示引入该主成分后可以解释原始变量的信息,特征根又叫方差，某个特征根占总特征根的比例称为主成分方差奉献率,设特征根为，那么第i个主成分的方差奉献率为,比方，第一个主成分的特征根为3.963，占总特征根的的比例(方差奉献率)为66.052%，这表示第一个主成分解释了原始6个变量66.052%的信息，可见第一个主成分对原来的6个变量解释的已经很充分了,根据什么选择主成分？,=,p,i,i,i,1,l,l,根据主成分奉献率,一般来说，主成分的累计方差奉献率到达80%以上的前几个主成分，都可以选作最后的主成分,比方表3中前两个主成分的累计方差奉献率为95.57%,根据特特征根的大小,一般情况下，当特征根小于1时，就不再选作主成分了，因为该主成分的解释力度还不如直接用原始变量解的释力度大,比方表3中除前两个外，其他主成分的特征根都小于1。所以SPSS只选择了两个主成分,就本例而言，两个主成分就足以说明各地区的经济开展状况了,根据什么选择主成分？,SPSS,还提供了一个更为直观的图形工具来帮助选择主成分，即碎石图,(,Scree,Plot),从碎石图可以看到,6,个主轴长度变化的趋势,实践中，通常结合具体情况，选择碎石图中变化趋势出现拐点的前几个主成分作为原先变量的代表，该例中选择前两个主成分即可,根据什么选择主成分？,(,Scree Plot,),拐点,怎样解释主成分？,主成分的因子载荷矩阵,表1中的每一列表示一个主成分作为原来变量线性组合的系数，也就是主成分分析模型中的系数aij,比方，第一主成分所在列的系数0.670表示第1个主成分和原来的第一个变量(人均GDP)之间的线性相关系数。这个系数越大，说明主成分对该变量的代表性就越大,根据主成分分析模型和因子载荷，可以得到两个主成分与原来,6,个变量之间的线性组合表达式如下,怎样解释主成分？,(主成分与原始变量的关系),注意：表达式中的不是原始变量，而是标准化变量,载荷图(Loading Plot)直观显示主成分对原始6变量的解释情况,图中横轴表示第一个主成分与原始变量间的相关系数；纵轴表示第二个主成分与原始变量之间的相关系数,每一个变量对应的主成分载荷就对应坐标系中的一个点，比方，人均GDP变量对应的点是(0.670，0.725),第一个主成分很充分地解释了原始的6个变量(与每个原始变量都有较强的正相关关系)，第二个主成分那么较好地解释了居民消费水平、人均GDP和年末总人口这3个变量(与它们的相关关系较高)，而与其他变量的关系那么较弱(相关系数的点靠近坐标轴),怎样解释主成分？,(,Loading Plot,),相关系数的点越远离坐标轴，主成分对原始变量的代表性就越大。这3个点远离主成分2的坐标,第二局部 因子分析,因子分析的意义和数学模型,因子分析的步骤,因子分析的应用,因子分析的意义和数学模型,由Charles Spearman于1904年首次提出的,与主成分分析类似，它们都是要找出少数几个新的变量来代替原始变量,不同之处：主成分分析中的主成分个数与原始变量个数是一样的，即有几个变量就有几个主成分，只不过最后我们确定了少数几个主成分而已。而因子分析那么需要事先确定要找几个成分，也称为因子(factor)，然后将原始变量综合为少数的几个因子，以再现原始变量与因子之间的关系，一般来说，因子的个数会远远少于原始变量的个数,什么是因子分析？,(factor analysis),因子分析可以看作是主成分分析的推广和扩展，但它对问题的研究更深入、更细致一些。实际上，主成分分析可以看作是因子分析的一个特例,简言之，因子分析是通过对变量之间关系的研究，找出能综合原始变量的少数几个因子，使得少数因子能够反映原始变量的绝大局部信息，然后根据相关性的大小将原始变量分组，使得组内的变量之间相关性较高，而不同组的变量之间相关性较低。因此，因子分析属于多元统计中处理降维的一种统计方法，其目的就是要减少变量的个数，用少数因子代表多个原始变量,什么是因子分析？,(factor analysis),因变量和因子个数的不一致，使得不仅在数学模型上，而且在实际求解过程中，因子分析和主成分分析都有着一定的区别，计算上因子分析更为复杂,因子分析可能存在的一个优点是：在对主成分和原始变量之间的关系进行描述时，如果主成分的直观意义比较模糊不易解释，主成分分析没有更好的改进方法；因子分析那么额外提供了“因子旋转(factor rotation)这样一个步骤，可以使分析结果尽可能到达易于解释且更为合理的目的,因子分析的数学模型,原始的,p,个变量表达为,k,个因子的线性组合变量,设,p,个原始变量为 ，要寻找的,k,个因子,(,k,p,),为 ，主成分和原始变量之间的关系表示为,因子分析的数学模型,因子分析的数学模型,系数a,ij,为第个i变量与第k个因子之间的线性相关系数，反映变量与因子之间的相关程度，也称为载荷(loading)。由于因子出现在每个原始变量与因子的线性组合中，因此也称为,公因子,。,为特殊因子，代表公因子以外的因素影响,k,f,f,f,，,，,，,2,1,p,x,x,x,，,，,，,2,1,共同度量(Communality),因子的方差奉献率,因子分析的数学模型(共同度量Communality和公因子的方差奉献率 ),变量xi的信息能够被k个公因子解释的程度，用 k个公因子对第i个变量xi的方差奉献率表示,第j个公因子对变量x,i,的提供的方差总和，反映第j个公因子的相对重要程度,因子分析的步骤,因子分析要求样本的个数要足够多,一般要求样本的个数至少是变量的5倍以上。同时，样本总数据量理论要求应该在100以上,用于因子分析的变量必须是相关的,如果原始变量都是独立的，意味着每个变量的作用都是不可替代的，那么无法降维,检验方法,计算各变量之间的相关矩阵，观察各相关系数。假设相关矩阵中的大局部相关系数小于0.3，那么不适合作因子分析,使用Kaiser-Meyer-Olkin检验(简称KMO检验)和 Bartlett球度检验(Bartletts test of sphericity)来判断(SPSS将两种检验统称为“KMO and Bartletts test of sphericity),因子分析的步骤,(数据检验),Bartlett球度检验,以变量的相关系数矩阵为根底，假设相关系数矩阵是单位阵(对角线元素不为0，非对角线元素均为0)。如果相关矩阵是单位阵，那么各变量是独立的，无法进行因子分析,KMO检验,用于检验变量间的偏相关性，KMO统计量的取值在01之间,如果统计量取值越接近1，变量间的偏相关性越强，因子分析的效果就越好,KMO统计量在0.7以上时，因子分析效果较好；KMO统计量在0.5以下时，因子分析效果很差,因子分析的步骤,(数据检验),Principal components(主成分法)：多数情况下可以使用该方法(这也是SPSS的默认选项)。通过主成分分析的思想提取公因子，它假设变量是因子的线性组合,Unweight Least Square(不加权最小平方法)：该方法使实际的相关矩阵和再生的相关矩阵之差的平方和到达最小,Generalized Least Square(加权最小平方法)：用变量值进行加权，该方法也是使实际的相关矩阵和再生的相关矩阵之差的平方和到达最小,Maximum Likelihood(最大似然法)：该方法不要求数据服从正态分布，在样本量较大时使用较好,Principal Axis Factoring(主轴因子法)：该方法从原始变量的相关性出发，使得变量间的相关程度尽可能地被公因子解释,因子分析的步骤,(因子提取),因子数量确实定,用公因子方差奉献率提取：与主成分分析类似，一般累计方差奉献率到达80%以上的前几个因子可以作为最后的公因子,用特征根提取：一般要求因子对应的特征根要大于1，因为特征根小于1说明该共因子的解释力度太弱，还不如使用原始变量的解释力度大,实际应用中，因子的提取要结合具体问题而定，在某种程度上，取决于研究者自身的知识和经验,因子分析的步骤,(因子提取),因子命名是因子分析重要一步,一个因子包含了多个原始变量的信息，它究竟反映了原始变量的哪些共同信息？,因子分析得到的因子的含义是模糊的，需要重新命名，以便对研究的问题作出合理解释,可通过考察观察因子载荷矩阵并结合实际问题完成,命名已经不是统计问题。它需要研究者自身的专业素质和对实际问题背景的了解程度，这需要更多的实践经验,因子分析的步骤,(因子命名),观察因子载荷矩阵,如果因子载荷aij的绝对值在第i行的多个列上都有较大的取值(通常大于0.5)，说明原始变量与多个因子都有较大的相关关系，意味着原始变量xi需要由多个因子来共同解释,如果因子载荷aij的绝对值在第j列的多个行上都有较大的取值，那么表因子fi能共同解释许多变量的信息，而对每个原始变量只能解释其中的少局部信息，说明因子不能有效代表任何一个原始变量，因子的含义模糊不清，难以对因子给出一个合理的解释,需要进行因子旋转，以便得到更加合理的解释,因子分析的步骤,(因子命名),因子旋转,(factor rotation),的目的是使因子的含义更加清楚，以便于对因子的命名和解释,旋转的方法有正交旋转和斜交旋转两种,正交旋转是指坐标轴始终保持垂直,90,度旋转，这样新生成的因子仍可保持不相关,斜交旋转坐标轴的夹角可以是任意的，因此新生成的因子不能保证不相关。因此实际应用中更多地使用正交旋转,SPSS,提供,5,种旋转方法，其中最常用的是,Varimax,(,方差最大正交旋转,),法,因子分析的步骤,(因子命名旋转),Varimax(方差最大正交旋转)：最常用的旋转方法。使各因子保持正交状态，但尽量使各因子的方差到达最大，即相对的载荷平方和到达最大，从而方便对因子的解释,Quartimax(四次方最大正交旋转)：该方法倾向于减少和每个变量有关的因子数，从而简化对原变量的解释,Equamax(平方最大正交旋转)：该方法介于方差最大正交旋转和四次方最大正交旋转之间,Direct Oblimin(斜交旋转)：该方法需要事先指定一个因子映像的自相关范围,Promax：该方法在方差最大正交旋转的根底上进行斜交旋转,因子分析的步骤,(因子命名旋转),因子得分(factor score)是每个因子在每个样本上的具体取值，它由以下因子得分函数给出,因子分析的步骤,(计算因子得分),因子得分函数,因子得分是各变量的线性组合,因子分析的应用,【例】,根据我国31个省市自治区2006年的6项主要经济指标数据，进行因子分析，对因子进行命名和解释，并计算因子得分和排序,因子分析,(实例分析),31个地区6项经济指标的因子分析,用SPSS进行因子分析,第1步,选择【Analyze】,【Data Reduction-,Factor,】,主对话框。将所,有原始变量选入【Variables】,第2步,点击【,Descriptives,】,【correlation Matrix】,【KMO and,Bartletts test of sphericity】(其他选项根据需要),【Continue】,第3步,点击【,Extraction,】，在【Method】框中选择因子的提取方法(本例,使用隐含的Principal components)；在【Extract】中输入选择因子,的最小特征根(隐含的是特征根大于1)；在【Display】下选择,【Scree Plot】,【Continue】,第4步,点击【,Rotation,】，在【Method】框中选择因子旋转方法(隐含的不,旋转，本例选择【Varimax】)；在【Display】下选择【Loading,Plot】,【Continue】,第5步,点击【,Scores,】，并选中【Display factor Score coefficient,matrix】(SPSS隐含的估计因子得分系数的方法是Regression),【Continue】,【OK】,数据的相关性检验,因子分析,(实例分析),KMO检验和Bartlett球度检验,Bartlett球度检验统计量为277.025。检验的P值接近0。说明6个变量之间有较强的相关关系。而KMO统计量为0.695，接近0.7。适合作因子分析,共同度量,因子分析,(实例分析),变量共同度量,所有变量的共同度量都在80%以上，因此，提取出的公因子对原始变量的解释能力应该是很强的, 因子方差奉献率,因子分析,(实例分析),各因子所解释的原始变量的方差,除最后3列外，其余局部与主成分分析中的表相同。 “Rotation Sums of Squared Loadings局部是因子旋转后对原始变量方差的解释情况。旋转后的累计方差没有改变，只是两个因子所解释的原始变量的方差发生了一些变化。,Varimax法得到的旋转后的因子载荷矩阵,因子分析,(实例分析),旋转后的因子载荷矩阵,第一个因子与年末总人口、固定资产投资、社会消费品零售总额、财政收入这几个载荷系数较大，主要解释了这几个变量。从实际意义上看，可以把因子1姑且命名为“经济水平因子。而第二个因子与人均GDP、居民消水平这两个变量的载荷系数较大，主要解释了这两个变量，从实际意义看，可以将因子2姑且命名为“消费水平因子 (是否合理读者自己评判),原始的,6,个变量与两个因子的关系,(,模型表达,),因子分析,(实例分析),因子分析的数学模型,表达式中的x,i,已经不是原始变量，而是标准化变量,旋转后的因子载荷图,因子分析,(实例分析),旋转后的因子载荷系数更加接近于1(如果旋转后的因子载荷系数向01分化越明显，说明旋转的效果越好)，从而使因子的意义更加清楚了,按回归法(Regression)估计的因子得分系数矩阵,因子分析,(实例分析),因子得分系数矩阵,根据因子得分系数矩阵可将因子表示为变量的线性组合,由因子得分系数矩阵，可以将公因子表示为各变量的线性组合。得到的因子得分函数为,因子分析,(实例分析),上面表达式中的xi标准化变量。根据这一表达式便可以计算每个地区对应的第一个因子和第二个因子的取值，也称为因子得分(factor score)。有了因子得分，就可以对每个地区分别按照前面命名的“经济水平因子和“消费水平因子进行评价和排序,因子得分函数, 综合评价,计算每个地区的因子得分,每个地区的因子得分计算方法是：用每个共因子的方差奉献率做权数，对每个因子进行加权，然后加总得到每个地区的总因子得分,按总得分的多少进行排序，以反映各地区经济开展的差异,因子分析,(实例分析),要由SPSS得出各样本的不同因子得分，点击【Scores】,【Save as variables】即可。SPSS会计算出每个因子的得分，并保存在工作表的FAC1_1和FAC2_1中,因子综合得分,各地区的因子得分及排名,因子分析,(实例分析),地区两个因子得分的散点图,因子分析,(实例分析),因子1得分最高的是广东，最低的西藏，这说明广东是经济开展水平较高的地区，西藏是经济开展水平较低的地区；因子2得分最高的是上海，最低的是贵州，说明上海是消费水平较高的地区，而贵州那么是消费水平较低的地区,利用因子分析过程分析各个城市的市政设施建设情况,执行【Analyze】/【Dimension Reduction】/【Factor】命令，弹出如下图对话框。,结果解读,1、相关系数表,变量间相关性很高,2、 KMO检验和Bartlett球形检验结果表,大于0.9，适合因子分析,拒绝原假设，认为各变量之间不独立,3、变量共同度表,该变量95.4的信息已经被提取,4、主成分表,5、碎石图,提取一个主成分即可,6、因子负荷矩阵,7、因子得分系数矩阵,主成分分析和因子分析都是多元分析中处理降维的两种统计方法。只有当原始数据中的变量之间具有较强的相关关系时，降维的效果才会明显，否那么不适合进行主成分分析和因子分析,主成分和因子的选择标准应结合具体问题而定。在某种程度上取决于研究者的知识和经验，而不是方法本身,即使得到了满意的主成分或因子，在运用它们对实际问题进行评价、排序等分析时，仍然要保持谨慎，因为主成分和因子毕竟是高度抽象的量，无论如何，它们的含义都不如原始变量清晰,因子分析可以看作是主成分分析的推广和扩展，而主成分分析那么可以看作是因子分析的一个特例。目前因子分析在实际中被广泛应用，而主成分分析通常只作为大型统计分析的中间步骤，几乎不再单独使用,几点说明,