数列的综合应用-课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六节数列的综合应用,1,第六节数列的综合应用1,基础梳理,1.,解答数列应用题的基本步骤,(1),审题,仔细阅读材料，认真理解题意；,(2),建模,将已知条件翻译成数学,(,数列,),语言，将实际问,题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；,(3),求解,求出该问题的数学解；,(4),还原,将所求结果还原到原实际问题中,2.,数列应用题常见模型,(1),等差模型：如果增加,(,或减少,),的量是一个固定值，则,该模型是等差模型，增加,(,或减少,),的量就是公差其一般,形式是：,a,n,1,a,n,d,(,常数,),2,基础梳理1. 解答数列应用题的基本步骤2. 数列应用题常见模,这个固定的数就是公比其一般,(2),等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，,形式为,(,常数,),(3),混合模型：在一个问题中同时涉及等比数列和等差数,列的模型,(4),生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分,数增加,(,或减少,),，同时又以一个固定的具体量增加,(,或减,少,),，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生,长与砍伐问题等,(5),递推模型：如果容易推导该数列任意一项,a,n,与它的前,一项,a,n,1,(,或前,n,项,),间的递推关系式，那么我们可以用递,推数列的知识求解问题,3,这个固定的数就是公比其一般(2)等比模型：如果后一个量与前,基础达标,1.,等差数列,a,n,是递增数列，前,n,项和为,S,n,，且,a,1,，,a,3,，,a,9,成等比数列，,S,5,a,5,2,，则数列,a,n,的通项公式为,_,解析：设数列,a,n,的公差为,d,(,d,0),，,a,1,，,a,3,，,a,9,成等比数列，,a,1,a,9,，即,(,a,1,2,d,),2,a,1,(,a,1,8,d,),d,2,a,1,d,，,d,0,，,a,1,d,.,又,S,5,，,5,a,1,d,(,a,1,4,d,),2,.,由,解得：,a,1,d,.,a,n, ,(,n,1),n,.,2.,定义“等积数列”：如果一个数列从第二项起，每一项,与它前一项的积都等于同一个常数，那么这个数列就叫做,等积数列，这个常数叫做等积数列的“公积”已知数列,a,n,是等积数列，且,a,1,2,，公积为,6,，那么,a,2 010,_.,解析：由数列,a,n,是“等积数列”，且,a,1,2,，公积为,6,，得：,a,2,3,，,a,3,2,，,，,a,2,n,1,2,，,a,2,n,3,，所以,a,2 010,3.,4,基础达标1. 等差数列an是递增数列，前n项和为Sn，且,3.,把,49,个数排成,7,行,7,列的数表，若表中每行的,7,个数自左向,右依次都成等差数列，每列的,7,个数自上而下也都成等差数,列，且正中间的数,a,44,1,，则表中所有数的和为,_,解析：设排在第,i,行第,j,列的数为,a,ij,，则由等差数列的性质,得,a,11,a,12,a,17,7,a,14,，,a,21,a,22,a,27,7,a,24,，,，,a,71,a,72,a,77,7,a,74,，所以所有数字和为,7(,a,14,a,24,a,74,),77,a,44,491,49.,4.,某屋顶的一个斜面成等腰梯形，最上面一行铺瓦片,21,片，,下一行总是比上一行多铺,2,片瓦片，已知斜面上共铺了,19,行瓦,片，试问：,(1),最下面一行铺了多少片瓦片？,(2),从上往下数，哪一行铺了,39,片瓦片？,解析：,(1),根据题意，瓦片数组成等差数列,a,n,，且,a,1,21,，,公差,d,2,，则由等差数列的通项公式得,a,19,a,1,(19,1),d,21,182,57.,所以，斜面最下面一行的瓦片数为,57,片,5,3. 把49个数排成7行7列的数表，若表中每行的7个数自左向,(2),因为,a,n,a,1,(,n,1),d,21,2(,n,1),2,n,19,，所,以,39,2,n,19,，得,n,10.,因此，第,10,行铺了,39,片瓦片,5. (,教材改编题,),某小区现有住房的面积为,a,平方米，在改造过程中政府决定每年拆除,b,平方米旧住房，同时按当年住房面积的,10%,建设新住房，则,n,年后该小区的住房面积为,_.,解析：方法一,(,直接求解法，不完全归纳法,),：,由,a,n,1,a,n,1.1,b,，,a,0,a,，,a,1,a,1.1,b,，,则,a,2,a,1.1,2,1.1,b,b,，,a,3,a,1.1,3,1.1,2,b,1.1,b,b,a,1.1,3,b,(1,1.1,1.1,2,),，,，,a,n,1.1,n,a,b,(1,1.1,1.1,2,1.1,n,1,),1.1,n,a,b,1.1,n,a,10(1.1,n,1),b,.,方法二,(,迭代法,),：,a,n,1.1,a,n,1,b,1.1,(1.1,a,n,2,b,),b,1.1,2,a,n,2,b,(1,1.1),1.1,3,a,n,3,b,(1,1.1,1.1,2,),1.1,n,a,b,(1,1.1,1.1,2,1.1,n,1,),1.1,n,a,10(1.1,n,1),b,.,6,(2)因为ana1(n1)d212(n1)2n,经典例题,题型一建立等差或等比数列模型解应用题,【例,1,】假设某市,2008,年新建住房,400,万平方米，其中,有,250,万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，,该市每年新建住房面积平均比上一年增长,8%,，另外，每,年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加,50,万平,方米，那么到哪一年底，,(1),该市历年所建中低价房的累计面积,(,以,2008,年为累计,的第一年,),将首次不少于,4 750,万平方米？,(2),当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的,比例首次大于,85%,？,(,参考数据：,1.08,4,1.36,1.08,5,1.47,1.08,6,1.59),分析,(1),转化为数列的有关问题；,(2),注意求和,7,经典例题题型一建立等差或等比数列模型解应用题【例1】假设,解：,(1),设中低价房面积形成数列,a,n,，由题意可知,a,n,是等,差数列，其中,a,1,250,，,d,50,，则,S,n,250,n,50,25,n,2,225,n,，令,25,n,2,225,n,4750,，即,n,2,9,n,1900,，而,n,是正整数，,n,10,，,到,2017,年底，该市历年所建中低价房,的累计面积将首次不少于,4 750,万平方米,(2),设新建住房面积形成数列,b,n,，由题意可知,b,n,是等比数,列，其中,b,1,400,，,q,1.08,，则,b,n,400,(1.08),n,1,.,由题意可,知,a,n,0.85,b,n,，有,250,(,n,1),50,400,(1.08),n,1,0.85,当,n,5,时，,a,5,0.85,b,5,，当,n,6,时，,a,6,0.85,b,6,，,满足上述不等式的最小正整数,n,为,6.,到,2013,年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房,面积的比例首次大于,85%.,8,解：(1)设中低价房面积形成数列an，由题意可知an,题型二数列与函数的综合应用,【例,2,】已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,，且,(,a,1),S,n,a,(,a,n,1)(,a,0)(,n,N,*,),(1),求证数列,a,n,是等比数列，并求,a,n,；,(2),已知集合,A,x,|,x,2,a,(,a,1),x,，问是否存在实数,a,，使得对于任意的,n,N,*,，都有,S,n,A,？若存在，求出,a,的取值范围；若不存在，说明理由,分析,(1),求证,a,n,为等比数列，故条件中应消去,S,n,，也就,是利用,a,n,S,n,S,n,1,(,n,1),；,(2),解不等式,x,2,(,a,1),x,a,0,得,(,x,1),(,x,a,)0,，故分类,讨论,解：,(1),当,n,1,时，,(,a,1),S,1,a,(,a,1,1),，,a,1,a,(,a,0),当,n,2,时，由,(,a,1),S,n,a,(,a,n,1)(,a,0),，,得,(,a,1),S,n,1,a,(,a,n,1,1),，,(,a,1),a,n,a,(,a,n,a,n,1,),，,变形得,(,n,2),，,a,n,是以,a,1,a,为首项，,9,题型二数列与函数的综合应用【例2】已知数列an的前n,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,10,大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点10,a,为公比的等比数列，,a,n,a,n,.,(2),当,a,1,时，,A,x,|1,x,a,，,S,2,a,a,2,a,，,S,2,A,，,即当,a,1,时，不存在满足条件的实数,a,.,当,0,a,1,时，,A,x,|,a,x,1,，,S,n,a,a,2,a,n,(1,a,n,),由指数函数的性质得，,当,0,a,1,，,n,N,*,时，,a,n,(0,，,a,，,S,n,因此对任意的,n,N,*,，要使,S,n,A,，只需,解得,0,a,，,综上所述，实数,a,的范围是,11,a为公比的等比数列，anan.(2)当a1时，A,变式,2,1,已知函数,f,(,x,),x,2,ax,b,(,a,，,b,R,),的图象经过坐标原,点，且,f,(1),1,，数列,a,n,的前,n,项和,S,n,f,(,n,)(,n,N,*,),(1),求数列,a,n,的通项公式；,(2),若数列,b,n,满足,a,n,log,3,n,log,3,b,n,，求数列,b,n,的前,n,项和,解析：,(1),f,(,x,),的图象过原点，,b,0.,f,(1),1,，,21,a,1,，即,a,1,，,f,(,x,),x,2,x,，,S,n,n,2,n,，,当,n,1,时，,a,n,S,n,S,n,1,n,2,n,(,n,1),2,(,n,1),2,n,2,，,当,n,1,时，,a,1,0,满足上式，,a,n,2,n,2.,(2),a,n,log,3,n,log,3,b,n,，, ,b,n,n,3,2,n,2,，,设,b,n,的前,n,项和为,T,n,，则,T,n,13,0,23,2,33,4,n,3,2,n,2,，,12,变式21 已知函数f(x)x2axb(a，bR)的,变式,2,1,已知函数,f,(,x,),x,2,ax,b,(,a,，,b,R,),的图象经过坐标原,点，且,f,(1),1,，数列,a,n,的前,n,项和,S,n,f,(,n,)(,n,N,*,),(1),求数列,a,n,的通项公式；,(2),若数列,b,n,满足,a,n,log,3,n,log,3,b,n,，求数列,b,n,的,前,n,项和,解析：,(1),f,(,x,),的图象过原点，,b,0.,f,(1),1,，,21,a,1,，即,a,1,，,f,(,x,),x,2,x,，,S,n,n,2,n,，,当,n,1,时，,a,n,S,n,S,n,1,n,2,n,(,n,1),2,(,n,1),2,n,2,，,当,n,1,时，,a,1,0,满足上式，,a,n,2,n,2.,(2),a,n,log,3,n,log,3,b,n,，,b,n,n,3,2,n,2,，,设,b,n,的前,n,项和为,T,n,，则,13,变式21 已知函数f(x)x2axb(a，bR)的,设,b,n,的前,n,项和为,T,n,，则,T,n,13,0,23,2,33,4,n,3,2,n,2,，,9,T,n,13,2,23,4,33,6,n,3,2,n,，,得,8,T,n,1,3,2,3,4,3,2,n,2,n,3,2,n,T,n,题型三等差数列和等比数列的综合应用,【例,3,】设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，且,(3,m,),S,n,2,ma,n,m,3(,n,N,*,),其中,m,为常数，,m,3,，且,m,0.,(1),求证：,a,n,是等比数列；,(2),若数列,a,n,的公比满足,q,f,(,m,),且,b,1,a,1,，,b,n,(,n,N,*,，,n,2),，求证：,f,(,b,n,1,),为等差数列，并求,b,n,.,分析由已知条件运用,S,n,与,a,n,之间的关系式：,a,n,14,设bn的前n项和为Tn，则8Tn13234,求出,a,n,与,a,n,1,之间的关系，以及 与 之间的关系，,再进行判定,解：,(1),证明：由,(3,m,),S,n,2,ma,n,m,3,，得,(3,m,),S,n,1,2,ma,n,1,m,3,，,两式相减，得,(3,m,),a,n,1,2,ma,n,(,m,3),，,m,是常数，且,m,3,，,m,0,，故,是不为,0,的常数，,a,n,是等比数列,(2),由,(3,m,),S,n,2,ma,n,m,3,，,得,(3,m,),a,1,2,ma,1,m,3,，即,a,1,1,，,b,1,a,1,1,，,q,f,(,m,),b,n,f,(,b,n,1,),n,N,*,且,n,2,，得,15,求出an与an1之间的关系，以及 与 之间的关系，,b,n,b,n,1,3,b,n,3,b,n,1,是以,1,为首项，,为公差的等差数列，,当,n,1,时，,也符合此式，,b,n,变式,3,1,(2011,通州模拟,),已知数列,a,n,中，,a,1,在直线,y,x,上，,点,(,n,2,a,n,1,a,n,),其中,n,1,2,3,，,.,(1),令,b,n,a,n,1,a,n,1,，求证：数列,b,n,是等比数列；,(2),求数列,a,n,的通项公式,解析：,(1),由已知得,a,1,2,a,n,1,a,n,n,.,a,2,b,1,a,2,a,1,1,又,b,n,a,n,1,a,n,1,，,16,bnbn13bn3bn1 是以1为首项， 为公差的,b,n,1,a,n,2,a,n,1,1,，,b,n,是以 为首项， 为公比的等比数列,(2),由,(1),知，,b,n,a,n,1,a,n,1,a,2,a,1,1,a,3,a,2,1,a,n,a,n,1,1,将以上各式相加，得,a,n,a,1,(,n,1),a,n,a,1,n,1,17,bn1an2an11，bn是以 为首项,链接高考,a,n,(2010,四川,),已知数列,a,n,满足,a,1,0,，,a,2,2,，且对任意,m,、,n,N,*,，都有,a,2,m,1,a,2,n,1,2,a,m,n,1,2(,m,n,),2,.,(1),求,a,3,，,a,5,；,(2),设,b,n,a,2,n,1,a,2,n,1,(,n,N,*,),，证明：,b,n,是等差数列；,(3),设,c,n,(,a,n,1,a,n,),q,n,1,(,q,0,，,n,N,*,),，求数列,c,n,的前,n,项和,S,n,.,知识准备：,1.,会用等差数列的定义证明一个数列为等差数,列，并能根据通项公式写出该等差数列的通项公式；,2.,能用推导等比数列求和公式的思想方法,(,错位相减法,),求,数列,c,n,的前,n,项和；,3.,注意对,q,分类讨论,18,链接高考an (2010四川)已知数列an满足a,(1),由题意，,m,2,，,n,1,，可得,a,3,2,a,2,a,1,2,6,，,再令,m,3,，,n,1,，可得,a,5,2,a,3,a,1,8,20,；,(2),当,n,N,*,时，令,m,n,2,由已知可得,a,2,n,3,a,2,n,1,2,a,2,n,1,8,，于是,a,2(,n,1),1,a,2(,n,1),1,(,a,2,n,1,a,2,n,1,),8,，即,b,n,1,b,n,8,，又,b,1,a,3,a,1,6.,所以,b,n,是首项为,6,，公差为,8,的等差数列,(3),由,(1)(2),解答可知,b,n,是首项为,6,，公差为,8,的等,差数列则,b,n,8,n,2,，即,a,2,n,1,a,2,n,1,8,n,2,，,另由已知,(,令,m,1),可得,a,n,所以,a,n,1,a,n,于是,c,n,2,nq,n,1,.,当,q,1,时，,S,n,2,4,6,2,n,n,(,n,1),；,当,q,1,时，,S,n,2,q,0,4,q,1,6,q,2,2,n,q,n,1,，,两边同乘以,q,，可得,qS,n,2,q,1,4,q,2,6,q,3,2,n,q,n,，,上述两式相减得,(1,q,),S,n,2(1,q,q,2,q,n,1,),2,nq,n,19,(1)由题意，m2，n1，可得a32a2a126,所以,S,n,综上所述，,S,n,20,所以Sn 综上所述，Sn 20,