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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/9/14,#,2,一理想气体经历图示的过程，试讨论过程,1-2,与过程,1”-2,的摩尔热容量是正还是负？图中,1-2,为绝热过程。,2,P,V,O,1,1,1”,T,2,T,1,解：根据摩尔热容的定义,可知求,C,x,的正负只需求,dQ,与,dT,的符号就可判断。,过程,1-2,、,1-2,、,1”-2,都在等温线,T,1,和,T,2,之间,它们的温度变化相同且,由图中可以看出,它们的内能变化相同且,2,P,V,O,1,1,1”,T,2,T,1,它们对外界做功都为负，即,A,|A,1-2,|,可知,Q,1-2,|A,1-2,|,，可知,Q,1-2,0,，这样得,3,1,mol,单原子分子的理想气体，经历如图所示的可逆循环，联结,a,、,c,两点的曲线,ca,的方程为,P = P,0,V,2,/V,0,2,，,a,点的温度为,T,0,，,（,1,）试以,T,0,、,R,表示,ab,、,bc,、,ca,过程中气体吸收的热量。,（,2,）求此循环的效率。,b,c,a,P,V,V,0,9P,0,P,0,P,b,= P,c,= 9 P,0,V,b,= V,0,T,b,=,（,P,b,/ P,a,）,T,a,= 9 T,0,（,1,）过程,ab,b,c,a,P,V,V,0,9P,0,P,0,解：设,a,状态的状态参量为,P,0,、,V,0,、,T,0,，则,过程,bc,过程,ca,（,2,）,b,c,a,P,V,V,0,9P,0,P,0,4,、如图所示，一金属圆筒中盛有,1mol,双原子分子的理想气体，用可动活塞封住，圆筒浸在冰水混合物中，迅速推动活塞，使气体从标准状态（位置,1,）压缩到体积为原来一半的状态（位置,2,），然后维持活塞不动，待气体温度下降至,0,，再让活塞缓慢上升到位置,1,，完成一次循环。,（,1,）试在,PV,图上画出相应的理想循环曲线,（,2,）若做,100,次循环放出的总热量全部用来溶解冰，则有多少,kg,冰被熔化？,冰的溶解热,=3.3510,5,Jkg,-1,。,1,2,解：,（,1,）,PV,图上循环曲线，,ab,为绝热线，,bc,为等容线，,ca,为等温线。,（,2,）等容过程放热为,1,2,P,b,c,a,V,V,1,/2,V,1,（,T,2,）,（,T,1,）,（,T,1,）,O,等温过程吸热为,若,100,次循环放出的总热量全部用来溶解冰，则溶解冰的质量为,绝热过程方程,双原子分子,系统一次循环放出的热量为,P,b,c,a,V,V,1,/2,V,1,（,T,2,）,（,T,1,）,（,T,1,）,O,5,、,如图所示，,abcda,为,1mol,单原子分子理想气体的循环过程，求：,（,1,）气体循环一次，在吸收过程中从外界共吸收的热量。,（,2,）气体循环一次对外做的净功。,（,3,）证明：,T,a,T,c,= T,b,T,d,b,c,a,V,（,10,-3,m,3,）,2,O,d,3,（,10,5,Pa,）,P,2,1,解：（,1,）过程,ab,与,bc,为吸热过程,吸热总和为,Q,1,=,C,V,( T,b,T,a,)+ C,P,( T,c, T,b,),=,800J,（,2,）循环过程对外所作总功为图中矩形面积,A = P,b,（,V,c,- V,b,）, P,a,（,V,d,-V,a,）,= 100J,（,3,）,T,a,= P,a,V,a,/R,，,T,c,= P,c,V,c,/R,T,b,= P,b,V,b,/R,，,T,d,= P,d,V,d,/R,3,2,5,2,=,（,P,b,V,b, P,a,V,a,）,+,（,P,c,V,c, P,b,V,b,）,b,c,a,V,2,O,d,3,P,2,1,T,a,T,c,=,（,P,a,V,a,P,c,V,c,）,/R,2,=,（,1210,4,）,/R,2,T,b,T,d,=,（,P,b,V,b,P,d,V,d,）,/R,2,=,（,1210,4,）,/R,2,T,a,T,c,= T,b,T,d,例,6:,某理想气体在,P-V,图上等温线与绝热线相交于,A,点，如图，已知,A,点的压强,P,1,= 210,5,Pa,，,体积,V,1,=0.510,-3,m,3,，,而且,A,点处等温线斜率与绝热线斜率之比为,0.714,，现使气体从,A,点绝热膨胀至,B,点，其体积,V,2,=110,-3,m,3,，求,A,P,1,V,V,1,V,2,O,P,B,（,1,）,B,点处的压强,（,2,）在此过程中气体对外所作的功。,解,:,(1),等温线,P V=C,得,绝热线,P V,=C,得,A,P,1,V,V,1,V,2,O,P,B,故,= 1/ 0.714 = 1.4,由题意知,(2),A,P,1,V,V,1,V,2,O,P,B,由绝热方程,7,、一定量的某种理想气体，开始时处于压强、温度、体积分别为,P,0,=1.210,6,Pa,T,0,= 300k,，,V,0,= 8.3110,-3,m,3,的初态，后经过一等容过程，温度升高到,T,1,=450k,，再经过一等温过程，压强降到,P = P,0,的末态。已知该理想气体的等压摩尔热容和等容摩尔热容之比,C,P,/C,V,=5/3,，求：（,1,）该理想气体的等压摩尔热容,C,P,和等容摩尔热容,C,V,（,2,）气体从始态变到末态的全过程中从外界吸收的热量。,已知：,P,0,，,T,0,，,V,0,T,1,P,1,V,0,T,1,P,0,V,1,等容,等温,解： （,1,）由,C,P,/C,V,=5/3,和,C,P,C,V,= R,可解得,C,P,= 5R/2,和,C,V,= 3R/2,（,2,）该理想气体的摩尔数,= P,0,V,0,/RT,0,= 4mol,在全过程中气体内能的改变量为,E =,C,V,( T,1,T,0,) =,7.4810,3,J,全过程中气体对外作的功为,A,=,RT,1,ln ( P,1,/P,0,),全过程中气体从外界吸收的热量为,Q,=,E+A =,1.35,10,4,J,全过程中气体对外作的功为,A,=,RT,1,ln ( P,1,/P,0,),式中,P,1,/P,0,=,T,1,/ T,0,则,A,=,RT,1,ln (T,1,/ T,0,)=,6.06,10,3,J,已知：,P,0,，,T,0,，,V,0,T,1,P,1,V,0,T,1,P,0,V,1,等容,等温,8,、,1mol,某种气体服从状态方程,P,（,V-b,）,=RT,，内能为,E=C,V,T+E,0,（,C,V,为定容摩尔热容，视为常数；,E,0,为常数）试证明：,（,1,）该气体的定压摩尔热容,C,P,= C,V,+R,（,2,）在准静态绝热过程中，气体满足方程,P,（,V-b,）,v,=,恒量 （,=,C,P,/ C,V,）,证明：热力学第一定律,dQ = dE + Pdv,由,E =,C,V,T +,E,0,，有,dE = C,V,dT ,由状态方程，在,1mol,该气体的微小变化中 有,PdV +,（,V-b,）,dP = RdT ,（,1,）在等压过程中，,dP =0,由,PdV = RdT,故,（,dQ,）,P,= C,V,dT + RdT,定压摩尔热容,C,P,=,（,dQ,）,P,/dT = C,V,+R,（,2,）绝热过程中,dQ = 0,有,dE,=,C,V,dT = -PdV ,PdV +,（,V-b,）,dP = RdT ,由两式消去,dT,得,(V-b) dP + P( 1+R/,C,V,) dV=0,其中,1+ R/,C,V,= C,P,/,C,V,=,此式改写成,dP/P + dV(V-b) = 0,积分得,lnP + ln ( V-b ) =,恒量,P ( V - b ),v,=,恒量,9,、如图所示，用绝热材料包围的圆筒内盛有刚性双原子分子的理想气体，并用可活动的、绝热的轻活塞将其封住。,M,、,N,是固定在圆筒上的环，用来限制活塞向上运动。,1,、,2,、,3,是圆筒体积等分刻度线，每等分刻度为,110,-3,m,3,。,开始,时活塞在位置,1,，系统与大气同温、同压、同为标准状态。现将小砝码逐个加到活塞上，缓慢地,压缩,气体，当活塞到达位置,3,时停止加砝码；然后接通电源缓慢,加热,至,2,；断开电源，再逐步移去所有,砝码，气体继续,膨胀至,1,，当上升,的活塞被环,M,、,N,挡住后，,拿去,周,围,绝热材料,，系统逐步恢复到原来,状态。完成一个循环。,2,3,1,M,N,（,1,）在,P-V,图上画出相应的循环曲线。,（,2,）求出各分过程的始、末状态的温度。,（,3,）求该循环过程中吸收的热量和放出的,热量。,（,1,）系统开始处于标准状态,a,，活塞从,1-3,为绝热压,缩过程,，终态为,b,；活塞从,3-2,为等压膨胀过程,，终,态为,c,；活塞从,2-1,为绝热膨胀过程,，终态为,d,；除,去绝热材料恢复至原态,a,，该过程为,等容过程,。该循,环在,P-V,图上对应的曲线如图所示。,（,2,）由题意可知,P,a,=,1.01310,5,Pa,T,a,=,273k,V,a,=,310,-3,m,3,V,b,=,110,-3,m,3,V,c,=,210,-3,m,3,b,c,a,V,V,b,V,a,O,d,V,c,P,2,3,1,M,N,ab,为绝热过程，据绝热过程方程,得,bc,为 等压过程，据等压过程方程,b,c,a,V,V,b,V,a,O,d,V,c,P,cd,为绝热过程，,据绝热过程方程,（,3,）循环中,ab,和,cd,为绝热过程，不与外界交换热量，,bc,为等压膨胀过程，吸收热量为,又据理想气体状态方程有,式中,b,c,a,V,V,b,V,a,O,d,V,c,P,bc,为等压膨胀过程,故得,da,为等容降温过程，放出热量为,b,c,a,V,V,b,V,a,O,d,V,c,P,例,10,：,4g,氢气被活塞封闭在一容器的下半部（容器的一半）且与外界平衡，若活塞质量不计，现把,2,10,4,J,的热量缓慢地传给气体，使其逐渐膨胀，若活塞外大气压为标准状态。试求氢气最后的压强、温度，容积各为多少？,解：,先等压加热到,则此时温度,在此过程吸收热量：,故余下的热量必在等容条件下吸入,令最后温度为,T,3,11,1mol,氢，在压强为,1.0,10,5,Pa,，温,度为,20,0,C,时，其体积为,V,0,，今使它经以下两,种过程达同一状态：,(1),先保持体积不变，加热使其温度升高到,80,0,C,，然后令它作等温膨胀，体积变为原体,积的,2,倍；,(2),先使它作等温膨胀至原体积的,2,倍，然,后保持体积不变，加热到,80,0,C,。,试分别计算以上两种过程中吸收的热量，,气体对外作的功和内能的增量；并作,p,V,图。,A,=,A,2,=,R,T,V,ln,V,0,8.31,353,ln2,=,=,2033,J,2,=,=,+,+,Q,Q,1,Q,A,2,E,1,=1246+2033=3279J,E,T,1,=,=,=,C,V,5,60,8.31,2,1246,J,解：,(1),E,T,2,=,C,V,=,5,60,8.31,2,=,1246,J,8.31,293,ln2,=,=,1678,J,A,=,A,1,=,R,T,V,ln,V,0,0,(2),2,=,+,Q,Q,1,Q,=,+,A,1,E,2,=1246+2033,p,(2),(1),V,0,V,0,2,353K,293K,V,(3),=3279J,12,在一个密闭的抽空汽缸中,有个劲,度系数为,k,的弹簧,下面吊着一个质量不计,且没有摩擦的滑动活塞，如图所示 。弹簧下,活塞的平衡位置位于汽缸的底部 。当活塞下,面的空间引进一定量的摩尔定体热容为,C,V,的,理想气体时，活塞上升到高度,h,，如图所示。,弹簧作用在活塞上的力正比于,活塞的位移。如果该气体从原,来的温度,T,升高到,T,1,，并吸热,Q,。问活塞所在的高度,h,等,于多少？,h,A,E,Q,=,+,f,k,=,=,h,x,=,+,h,h,(,),C,V,M,mol,M,T,1,T,d,x,=,+,h,h,2,2,(,),k,1,2,(,),C,V,M,mol,M,T,1,T,=,+,Q,2,2,(,),C,V,M,mol,M,T,1,T,h,h,2,2,k,k,化简后得：,V,p,=,M,mol,M,R,T,解：,h,S,p,=,M,mol,M,R,T,h,S,p,=,M,mol,M,R,T,2,k,=,M,mol,M,h,R,T,=,+,Q,2,2,(,),C,V,M,mol,M,T,1,T,h,h,2,2,k,k,=,+,Q,2,2,(,),C,V,T,1,T,h,h,2,2,k,RT,h,2,=,+,Q,2,2,(,),C,V,T,1,T,h,h,2,k,RT,h,2,=,+,Q,2,2,(,),C,V,M,mol,M,T,1,T,h,h,2,2,k,k,2,k,=,M,mol,M,h,R,T,将,代入上式，得：,为空气的密度。试证明声音在空气中的传,播速度仅是温度的函数。,13,声音在空气中的传播可以看作是一,绝热过程。它的速度可按公式,v,p,=,计算，式中,=,C,p,C,V,p,为空气的压力，,v,p,=,=,mol,M,R,T,=,mol,M,R,T,mol,M,R,T,=,V,=,p,M,mol,M,R,T,解：,14,两部可逆机串联起,来，如图所示，可逆机,1,工,作于温度为,T,1,的热源,1,与温,度为,T,2,=400K,的热源,2,之间。,可逆机,2,吸入可逆机,1,放给,热源,2,的热量,Q,2,，转而放热,给,T,3,= 300K,的热源,3,。在,(1),两部热机效率相等，,(2),两部热机作功相等的情况,下求,T,1,。,T,1,Q,1,Q,3,T,3,T,2,T,1,T,3,T,2,Q,2,Q,2,热源,1,热源,2,热源,3,= 2,400,300,=500K,T,1,= 2,T,2,T,3,解：,(1),1,h,=,T,2,T,1,=,1,T,3,T,2,(,533K,=,=,400,),300,2,=,T,1,T,2,T,3,2,A,=,Q,1,Q,2,=,Q,2,Q,3,(2),T,1,T,2,=,T,2,T,3,T,1,Q,1,Q,3,T,3,T,2,T,1,T,3,T,2,Q,2,Q,2,热源,1,热源,2,热源,3,15,在室温,27,0,C,下一定量理想气体,氧的体积为,2.3,10,-3,m,3,压强为,1.0,10,5,Pa，,经过一多方过程后，体积变为,4.1,10,-3,m,3,压强变为,0.5,10,5,Pa,。求：,(1),多方指数,n,;,(2),内能的改变,；(3),吸收的热量,；(4),氧膨胀,时对外所作的功。已知氧的,C,V,=5,R,/2。,解,：,(1),对于多方过程：,=,V,1,n,p,1,V,2,n,p,2,(,),=,V,1,n,p,1,V,2,p,2,1,1.78,0.5,=,=,n,4.1,2.3,(,),n,ln,2 =,n ln,1.78,n,=1.2,(2),= -62.5J,),(,V,2,V,1,=,p,2,p,1,5,2,U,=,5,2,1,U,2,R,(,),T,2,T,1,(3),=,A,V,1,V,2,p,1,p,2,n,1,= 125J,U,=,A,Q,+,(4),=125,62.5 = 62.5J,例,16 1,mol,理想气体经历如图所示的,a-b,过程，讨论从,a,变为的过程中吸、放热的情况,解：,a-b,的直线方程为,因,PV= vRT,，可知,a-b,过程中有,由,V=V,h,时温度取极值条件可得,V,h,=,210,-3,m,3,，说明,h,点恰是,a-b,直线之中点。,a,b,h,e,15,5,1,3,V/10,-3,m,3,P/10,4,Pa,从,a,变到,h,的过程中，温度升高，内能增加，气体对外作功，所以要吸热；,而从,h,变到,b,的过程中，气体仍对外作功，但在温度降低中，显然在,h-b,中既有吸热区，也有放热区，其中必存在一个吸热转化为放热的过渡点,e,。,a,b,h,e,15,5,1,3,V/10,-3,m,3,P/10,4,Pa,a-b,直线的斜率为,其中 ，则有,因为只有在绝热过程中，既不吸热也不放热。所以通过过渡点,e,的绝热线斜率一定等于直线,a-b,的斜率。,17,用绝热壁作成一圆柱形容器，在容器中间放置一无摩擦、绝热的可动活塞，活塞两侧各有,n,摩尔的理想气体，开始状态均为（,P,0,V,0,T,0,）。设气体定容摩尔热容,C,v,，,m,为常数，绝热指数,=1.5,。将一通电线圈放到活塞左侧的气体中，对这部分气体缓慢加热，左侧气体膨胀，同时通过活塞压缩右方气体，最后使右方气体的压强增大,27P,0,/8,，问：,1,）对活塞右侧气体作了多少功？,2,）右侧气体的终温是多少？,3,）左侧气体的终温是多少？,4,）左侧气体吸收了多少热量？,1,） 右侧气体经历一绝热压缩过程，它对活塞（即外界）作功为：,负号表示活塞对右侧气体作正功，这正功也就是左侧气体对右侧气体作的功。,3,）可通过求左侧气体的终了压强、体积，进而求得其终温。因活塞可移动，所以所属两侧的气体压强在同一时刻应相同，故过程终了时，左侧气的压强应为,P = 27P,0,/8,。左侧气体的体积为：,所以，根据状态方程可得：,18,一圆柱形横截面积为,S,的绝热气缸中，有一质量为,m,的绝热活塞，当活塞处于气缸的中间时，活塞两边的气体有相同的温度,T,和摩尔数,n,，此时，两边的气缸长度为,L,，若让活塞与这一平衡位置发生很小的偏离,x,，继后活塞将仅在气体作用下运动，求活塞的运动情况，活塞与气缸壁的摩擦系数可忽略不计。,x,m,L,解：当活塞向左产生微小的偏移,x,时，活塞,两边的体积发生微小的变化。引起压强微,小的变化,dV=SX,，将绝热过程方程微分得,根据,对于活塞右侧气体，上式可改写成,由于 ， 按二项式展开，略去高次项，得,故,对活塞左侧的气体，同理可得,故活塞所受合力为,式中负号表示合力,F,方向与位移,x,方向相反，始终指向平衡位置，即气缸中间的位置,这是一准弹性力，于是活塞将在平衡位置作简谐振动，活塞运动方程为,圆频率,19,一理想气体经历一卡诺循环，当热源温度为,100,，,冷却温度为,0,时，作净功,800J,，今为提高效率，令冷却温度不变，提高热源温度，使净功增为,1600J,。设这两个循环都工作于相同的两条绝热线之间，试问：,1,）此时效率增大到多少？,2,）此时热源的温度,T,1,是多少？,P,V,b,b,c,a,a,d,Q,2,Q,1,，,T,1,，,T,1,Q,1,绝热线,解：对于卡诺循环,由于两循环有同一低温热源，,T,2,，,= T,2,，,且又工作于相同的绝热线之间，由,P-V,图可知这两个卡诺循环对向低温热源放出的热量必相等，即,Q,2,，,=Q,2,1,）设,A,为,abcda,中所作的净功，则,若,Q,1,，,为,a,b,c,d a,这一循环所吸收的热量，,A,为所作净功，则效率为,P,V,b,b,c,a,a,d,Q,2,Q,1,，,T,1,，,T,1,Q,1,绝热线,P,V,b,b,c,a,a,d,Q,2,Q,1,，,T,1,，,T,1,Q,1,绝热线,20,有,1,摩尔单原子理想气体，如图所示的循环过程，试问：,1,）此循环是致冷循环还是热机循环？,2,）其致冷系数或热机效率等于多少？,V,T,b,a,c,2V,0,V,0,T,0,解：,1,）,PV,图中正循环为热机循环，反之为致冷循环。,对,ab,过程，因,V,与,T,成正比为等压过程。,P,a,= P,b,=P,0,，,又因为,V,b,=2V,0,，,所以,bc,为等容过程。因,V,c,=2V,0,，,T,c,=T,0,，,所以,ca,为等温过程，且是等温压缩,在,PV,图上根据各状态参量画出循环过程，可见该循环为热机循环,V,P,a,c,b,P,0,2,）热机效率为,V,T,b,a,c,2V,0,V,0,T,0,经常,不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有,力量,Study Constantly, And You Will Know Everything. The More You Know, The More Powerful You Will,Be,学习总结,结束语,当,你尽了自己的最大努力,时,，,失败,也是伟大,的，所以不要放弃，坚持就是正确的。,When You Do Your Best, Failure Is Great, So DonT Give Up, Stick To The,End,演讲,人：,XXXXXX,时,间：,XX,年,XX,月,XX,日,