数学归纳法复习ppt-通用课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,高中新课标总复习（第,1,轮）,理科数学,湖南,人教版,*,立足教育 开创未来,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,新课标高中一轮总复习,1,新课标高中一轮总复习1,数学归纳法,2,数学归纳法2,理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,.,3,理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法,1.,用数学归纳法证明,:“1+,a,+,a,2,+,a,n,+1,=,（,a,1,n,N*),，在验证,n,=1,成立时，左边计算所得项是,( ),C,A.1 B.1+,a,C.1+,a,+,a,2,D.1+,a,+,a,2,+,a,3,n,=1,时，由左边的代表项“,a,n,+1,”,知，应加到,a,2,故左边,=1+,a,+,a,2,，选,C.,4,1.用数学归纳法证明:“1+a+a2+an+1=（a1,2.,用数学归纳法证明,1+ + + 1,时）,第一步要证的不等式是,( ),B,A.1+ 2 B.1+ + 2,C.1+ + + 2 D.1+ + + 1,且,n,N,故初值,n,0,=2,代入选,B.,5,2.用数学归纳法证明1+ + +,3.,用数学归纳法证明不等式,+ + + (,n,2),的过程中，由,n,=,k,递推到,n,=,k,+1,时，不等式左边,( ),C,A.,增加了一项“,”,B.,增加了两项“,+ ”,C.,增加了一项“,+ ”,又减少了一项“,”,D.,增加了一项“,”,又减少了一项“,”,6,3.用数学归纳法证明不等式 +,n,=,k,时，不等式左边为,+ + + ,n,=,k,+1,时，不等式左边为,+ + + + ,比较两式可知选,C.,7,n=k时，不等式左边为7,4.,用数学归纳法证明“,(,n,+1)(,n,+2)(,n,+,n,),=2,n,13(2,n,-1)”,，从“,k,到,k,+1”,，左端需增乘的代数式为,( ),B,A.2,k,+1 B.2(2,k,+1),C. D.,n,=,k,时，等式左边为,(,k,+1)(,k,+2)(,k,+,k,),而,n,=,k,+1,时，等式左边为,(,k,+2)(,k,+3)(2,k,+2),，需要增乘的代数式为,即,2(2,k,+1).,8,4.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+n)B,5.,用数学归纳法证明：凸多边形的内角和,f,(,n,)=(,n,-2)180,（,n,3),，第一步应验证,;,假设,n,边形内角和,f,(,n,)=(,n,-2)180,则,f,(,n,+1)=,f,(,n,)+,，从而再用假设,.,f,(3)=180,180,由,n,3,故初值,n,0,=3,即三角形内角和为,180.,由凸,n,边形变为凸,n,+1,边形时，相当于增加了一个三角形，故,f,(,n,+1)=,f,(,n,)+180.,9,5.用数学归纳法证明：凸多边形的内角和f(n)=(n-2),1.,数学归纳法方程的步骤,一般的，证明一个与正整数有关的命题时，可以按以下的步骤进行：,(1),归纳奠基,:,.,;,(2),归纳递推,:,.,.,证明当,n,取第一个值,n,0,(,例如,n,0,=1,n,0,=2,等等,),时，结论成立,假设当,n,=,k,(,n,N*,且,k,n,0,),时结论成立,证明当,n,=,k,+1,时结论也成立,10,1.数学归纳法方程的步骤证明当n取第一个值n0(例如n0=1,在完成这两个步骤的证明以后，就可以断定命题对从,n,0,开始的所有的自然数,n,都正确,.,这种证明命题的方法叫做数学归纳法,.,2.,用数学归纳法证题时，应注意,(1),在用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，第一步是递推的基础，缺少第一步，递推就会缺乏正确的基础,.,一方面，第一步再简单，也不能够省略；另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小的正整数就足够了，一般没有必要再去多考察几个正整数,.,11,在完成这两个步骤的证明以后，就可以断定命题对从n0开始的所有,(2),第二步是递推的过程，仅有第一步而没有第二步，就失去了递推的过程,.,这说明了缺省了第一步这个基础，第二步的递推就没有意义了,.,只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性的结论,.,因此在完成了第一、二步的证明以后，还要有一个小结,.,12,(2)第二步是递推的过程，仅有第一步而没有第二步，就失去了递,例,1,题型一,用数学归纳法证明整除性问题,是否存在正整数,m,，使得,f,(,n,)=(2,n,+7)3,n,+9,对任意自然数,n,都能被,m,整除？若存在，求出最大的,m,值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由,.,本题通过计算,f,(,n,),的前几项的值，猜想出,m,的值，然后再利用数学归纳法加以证明,.,13,例1题型一 用数学归纳法证明整除性问题,由,f,(,n,)=(2,n,+7)3,n,+9,得,f,(1)=36,f,(2)=336,f,(3)=1036,f,(4)=3436.,由此猜想,m,=36.,下面用数学归纳法证明：,(),当,n,=1,时，显然成立,.,(),假设,n,=,k,时，,f,(,k,),能被整除，即,f,(,k,)=(2,k,+7)3,k,+9,能被整除；,14,由f(n)=(2n+7)3n+9,当,n,=,k,+1,时，,2(,k,+1)+7,3,k,+1+9=3,(2,k,+7)3,k,+9,+18(3,k,-1-1),由于,3,k,-1-1,是,2,的倍数，故,18(3,k,-1-1),能被,36,整除,.,这就是说,当,n,=,k,+1,时,f,(,n,),也能被,36,整除,.,由,()(),可知，对一切正整数,n,都有,f,(,n,)=(2,n,+7)3,n,+9,能被,36,整除，,m,的最大值为,36.,15,当n=k+1时，2(k+1)+73k+1+9=3(2,本题是探索性问题,.,它通过：“观察,归纳,猜想,证明”这一完整的过程去探索和发现问题，并证明所得出的结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力,.,由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得到一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法,.,在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要,.,用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，拼凑是关键,.,16,本题是探索性问题.它通过：“观,例,2,题型二,用数学归纳法证明等式问题,用数学归纳法证明：,1- + - +,+ - = + + .,要证不等式的左边,2,n,项，右边,n,项，,n,=,k,+1,与,n,=,k,相比左边增加项，右边增加项，而且左、右两边的首项不同，因此，由“,n,=,k,”,到“,n,=,k,+1”,时要注意项的合并,.,17,例2题型二 用数学归纳法证明等式问题,(),当,n,=1,时,左边,=1- = ,右边,= ,命题成立,.,(),假设当,n,=,k,(,k,1,，,k,N*),时命题成立，,即,1- + - + -,= + + ,18,()当n=1时,左边=1-,那么当,n,=,k,+1,时，,左边,=1- + - + - + -,= + + + -,= + + + .,上式表明当,n,=,k,+1,时命题也成立,根据,()(),可知，对任意的,n,N*,，等式都成立,19,那么当n=k+1时，19,用数学归纳法证明与自然数有关的一些命题的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与,n,的取值有关，当,n,=,k,到,n,=,k,+1,时，等式的两边各会增加多少项，增加怎样的项对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性,20,用数学归纳法证明与自然数有,例,3,题型三,用数学归纳法证明几何问题,平面上有,n,个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，求证：这,n,个圆分平面为,n,2,-,n,+2,个部分,关于这类几何问题，应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系关键在于分析,k,与,k,+1,的差异，,k,到,k,+1,的变化情况，然后借助于图形的直观性，建立,k,与,k,+1,的递推关系,21,例3题型三 用数学归纳法证明几何问题,(),当,n,=1,时,n,2,-,n,+2=1-1+2=2,而一个圆把平面分成两部分,所以,n,=1,时命题成立,(),设当,n,=,k,(,k,1,，,k,N*),时，命题成立，即,k,个圆分平面为,k,2,-,k,+2,个部分，则,n,=,k,+1,时，第,k,+1,个圆与前,k,个圆有,2,k,个交点,这,2,k,个交点把第,k,+1,个圆分成,2,k,段,每一段把原来的所在平面一分为二,故共增加了,2,k,个平面,共有,k,2,-,k,+2+2,k,=(,k,+1),2,-(,k,+1)+2,个部分,所以当,n,=,k,+1,时，命题也成立,由,()(),可知,这,n,个圆把平面分成,n,2,-,n,+2,个部分,数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何等知识相结合来考查，对于此类问题,解决的关键往往在于抓住对问题的划分标准,.,22,()当n=1时,n2-n+2=1-,例,4,题型四,用数学归纳法证明不等式问题,已知数列,b,n,是等差数列，,b,1,=1,b,1,+,b,2,+,b,3,+,b,10,=100.,(1),求数列,b,n,的通项,b,n,;,(2),设数列,a,n,的通项,a,n,=lg(1+ ),，记,S,n,是数列,a,n,的前,n,项和，试比较,S,n,与,lg,b,n,+1,的大小，并证明你的结论,.,23,例4题型四 用数学归纳法证明不等式问题,可由题意先求出数列,b,n,的通项,b,n,再根据题设条件知,要想比较,S,n,与,lg,b,n,+1,的大小只需要比较,(1+1)(1+ )(1+ ),与 的大小即可,.,（,1,）,设数列,b,n,的公差为,d,b,1,=1,10,b,1,+,d,=100,b,1,=1,d,=2,由题意得,解得,所以,b,n,=2,n,-1(,n,N*).,24,可由题意先求出数列bn的通项b,(2),由,b,n,=2,n,-1,知,S,n,=lg(1+1)+lg(1+ )+lg(1+ ),=lg(1+1)(1+ )(1+ ), lg,b,n,+1,=lg .,因此,要比较,S,n,与,lg,b,n,+1,的大小，,可先比较,(1+1)(1+ )(1+ ),与 的大小,.,取,n,=1,有,(1+1) ;,取,n,=2,有,(1+1)(1+ ) ;,25,(2)由bn=2n-1,25,由此推测,(1+1)(1+ )(1+ ) . ,若式成立，则由对数函数的性质可断定：,S,n, lg,b,n,+1,.,下面用数学归纳法证明式,.,(),当,n,=1,时,已验证式成立,.,(),假设当,n,=,k,(,k,1,，,k,Z,),时，式成立，,即,(1+1)(1+ )(1+ ) .,26,由此推测(1+1)(1+ )(1+ ),那么，当,n,=,k,+1,时，,(1+1)(1+ )(1+ ),1+, (1+ ),= (2,k,+2)= .,因为, (2,k,+2),2,-( ),2,= = 0,所以,(2,k,+2) = .,27,那么，当n=k+1时，27,因而,(1+1)(1+ )(1+ )(1+ ) .,这就是说式当,n,=,k,+1,时也成立,.,由,()(),知,式对任意正整数,n,都成立,.,由此证得：,S,n, lg,b,n,+1,.,用数学归纳法证明一些与,n,有关的不等式时，推导“,n,=,k,+1”,时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等,.,28,因而(1+1)(1+ )(1+ )(1,已知,y,=,f,(,x,),满足,f,(,n,-1)=,f,(,n,)-lg,a,n,-1,(,n,2,n,N*),且,f,(1)=-lg,a,是否存在实数,、,使,f,(,n,)=(,n,2,+,n,-1)lg,a,对任何,n,N*,都成立,证明你的结论,.,因为,f,(,n,)=,f,(,n,-1)+lg,a,n,-1,令,n,=2,，则,f,(2)=,f,(1)+lg,a,=-lg,a,+lg,a,=0.,+,=0,=,2,+4,=1 =- ,所以,f,(,n,)=(,n,2,-,n,-1)lg,a,.,又,f,(1)=-lg,a,所以,所以,29,已知y=f(x)满足f(n-1)=f,证明：（,）当,n,=1,时，显然成立,.,(),假设,n,=,k,（,k,1,，,k,N*,）成立，,即,f,(,k,)=(,k,2,-,k,-1)lg,a,则,n,=,k,+1,时，,f,(,k,+1)=,f,(,k,)+lg,ak,=,f,(,k,)+,k,lg,a,=(,k,2,-,k,-1+,k,)lg,a,= (,k,+1),2,- (,k,+1)-1lg,a,，,所以当,n,=,k,+1,时，等式成立,.,综合,()(),可知，存在实数,、,且,= ,=- ,使,f,(,n,)=(,n,2,+,n,-1)lg,a,对任意,n,N*,都成立,.,30,证明：（）当n=1时，显然成立.30,1.,在证明传递性时，应注意：,(1),证明,n,=,k,+1,成立时，必须要用到,n,=,k,成立的假设，否则就不是数学归纳法，应当指出,n,=,k,成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对,n,=,n,0,时成立），就可以知道命题对,n,0,+1,也成立，进而再由第二步可知,n,=(,n,0,+1)+1,即,n,=,n,0,+2,也成立,.,这样下去，就可以知道命题对所有的不小于,n,0,的正整数都成立,.,31,1.在证明传递性时，应注意：(1)证明n=k+1成立时，必须,2.,用数学归纳法证明代数恒等式的关键是在第二步将式子化成与归纳假设结构相同的形式，再利用归纳假设，进行恒等变形；用数学归纳法证明不等式时，在把,n,=,k,的不等式转化为,n,=,k,+1,的不等式成立的命题时，比较法、综合法、分析法、放缩法等不等式的证明方法是常用方法；用数学归纳法证明整除性问题和几何问题时，要注意寻找当元素,n,增加,1,时，代数式或几何元素是如何增加的，做到有目标地变形,.,32,2.用数学归纳法证明代数恒等式的关键是在第二步将式子化成与归,学例,1,(2009,安徽卷,),首项为正数的数列,a,n,满足,a,n,+1,= (,a,n,2,+3),n,N,+.,(1),证明：若,a,1,为奇数，则对一切,n,2,，,a,n,都是奇数；,(2),若对一切,n,N,+,，都有,a,n,+1,a,n,求,a,1,的取值范围,.,33,学例1 (2009安徽卷)首项为正,(1),证明：已知,a,1,是奇数，假设,a,k,=2,m,-1,是奇数，其中,m,为正整数，,则由递推关系得,a,k,+1,= =,m,(,m,-1)+1,是奇数,.,根据数学归纳法，对任何,n,N+,a,n,都是奇数,.,34,(1)证明：已知a1是奇数,(2),(,方法一,),由,a,n,+1,-,a,n,= (,a,n,-1)(,a,n,-3),知，,a,n,+1,a,n,，当且仅当,a,n,3.,另一方面，若,0,a,k,1,，则,0,a,k,+1,3,，则,a,k,+1, =3.,根据数学归纳法，,0,a,1,10,a,n,3,a,n,3,n,N+.,综合所述，对一切,n,N,+,都有,a,n,+1,a,n,的充要条件是,0,a,1,3.,35,(2)(方法一)由an+1-an= (an-1)(an-3,(,方法二,),由,a,2,= ,a,1,，得,a,1,2,-4,a,1,+30,，于是,0,a,1,3.,a,n,+1,-,a,n,= - = ,因为,a,1,0,a,n,+1,= ,所以所有的,a,n,均大于,0,，因此,a,n,+1,-,a,n,与,a,n,-,a,n,-1,同号,.,根据数学归纳法,n,N,+,a,n,+1,-,a,n,与,a,2,-,a,1,同号,.,因此，对一切,n,N,+,都有,a,n,+1,a,n,的充要条件是,0,a,1,3.,36,(方法二)由a2= a1，得a12-4a,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来,46,凡事不要说我不会或不可能，因为你根本还没有去做！,47,成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践,48,只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星,49,上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价,50,现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。,51,宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子,52,为成功找方法，不为失败找借口,53,不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。,54,垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！,55,不一定要做最大的，但要做最好的,56,死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！,57,成功是动词，不是名词！,28,、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。,59,、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。,60,、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。,孝经,61,、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。,荀子劝学篇,62,、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！,63,、路虽远行则将至，事虽难做则必成！,64,、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。,65,、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。,66,、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。,67,、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。,68,、找不到路不是没有路，路在脚下。,69,、幸福源自积德，福报来自行善。,70,、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。,71,、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。,72,、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。,73,、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。,74,、今天学习不努力，明天努力找工作。,75,、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。,76,、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。,77,、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。,78,、技艺创造价值，本领改变命运。,79,、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。,80,、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。,81,、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！,82,、校兴我荣，校衰我耻。,83,、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。,84,、不想当老板的学生不是好学生。,85,、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。,86,、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。,87,、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。,88,、知技并重，德行为先。,89,、生活的理想，就是为了理想的生活。,张闻天,90,、贫不足羞，可羞是贫而无志。,吕坤,46凡事不要说我不会或不可能，因为你根本还没有去做,38,