样本评估及抽样分布

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第七章 参数估计,1 点估计,1 点估计,点估计问题：,返回主目录,第七章 参数估计,1 点估计,1. 矩估计法,返回主目录,第七章 参数估计,这种估计量称为,矩估计量,；矩估计量的观察值称为,矩估计值,。,例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从,返回主目录,第七章 参数估计,1 点估计,返回主目录,第七章 参数估计,1 点估计,返回主目录,第七章 参数估计,返回主目录,第七章 参数估计,1 点估计,2. 极大似然估计法,返回主目录,第七章 参数估计,1 点估计,第七章 参数估计,1 点估计,第七章 参数估计,1 点估计,返回主目录,第七章 参数估计,1 点估计,返回主目录,第七章 参数估计,试求参数p的极大似然估计量。,故似然函数为,返回主目录,第七章 参数估计,1 点估计,-它与矩估计量是相同的。,返回主目录,第七章 参数估计,似然函数为：,返回主目录,第七章 参数估计,1 点估计,返回主目录,第七章 参数估计,X的概率密度为：,返回主目录,第七章 参数估计,1 点估计,返回主目录,第七章 参数估计,返回主目录,第七章 参数估计,2 估计标准,2 估计量的标准,返回主目录,第七章 参数估计,3 区间估计,3 区间估计,区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。,1. 置信区间与置信度,返回主目录,第七章 参数估计,通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%,2. 均值的区间估计,(1). 已知方差，估计均值,3 区间估计,返回主目录,第七章 参数估计,即：,3 区间估计,返回主目录,第七章 参数估计,推得，随机区间：,返回主目录,第七章 参数估计,3 区间估计,例6,. 已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;,返回主目录,第七章 参数估计,(2). 未知方差，估计均值,则随机变量t服从n-1个自由度的t分布。,3 区间估计,返回主目录,第七章 参数估计,其中，n是样本容量，n-1是表中自由度；由此得：,3 区间估计,返回主目录,第七章 参数估计,3 区间估计,推得，随机区间：,例7,. 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 设温度,返回主目录,第七章 参数估计,3 区间估计,3. 方差的区间估计,返回主目录,第七章 参数估计,3 区间估计,返回主目录,第七章 参数估计,其中，n是样本容量，n-1是表中自由度；由此得：,3 区间估计,返回主目录,第七章 参数估计,3 区间估计,这就是说，随机区间：,返回主目录,第七章 参数估计,例8,. 设某机床加工的零件长度,今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：,12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间。,返回主目录,1 给出了点估计的概念，要掌握矩估计法、极大似,然估计法。,2 了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致,性）。,作业：,第七章 小 结,返回主目录,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,1,.大数定律,在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。,定义1：,设 是随机变量序列， 是一个常数；,若对任意 ，有:,则称 依概率收敛于 ，记为 。,定义2：,返回主目录,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,定理1：,返回主目录,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,由切比晓夫不等式得：,返回主目录,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,由定理2有,此定理说明了频率的稳定性,。,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,注：,贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。,返回主目录,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,2,.中心极限定理,返回主目录,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,定理1,返回主目录,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,定理2,（李雅普诺夫定理）,(Liapunov定理),返回主目录,第五章,大数定律及中心极限定理,由定理1有结论成立。,定理3,（德莫佛-拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数为n,p(0p1)的二项分布,(De Moivre-Laplace),2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,推论：,设随机变量 服从参数为 n , p (0p1) 的二项分布, 当 n 充分大时有：,说明：,这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。,返回主目录,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例1,某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,解：,设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有：,返回主目录,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,返回主目录,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,用频率估计概率时误差的估计：,由上面的定理知,用这个关系式可解决许多计算问题。,返回主目录,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,第一类问题,是已知 求概率,第二类问题,是要使,，问最少应做多少次试验？,这时只需求满足下式的最小的n,第三类问题,是已知,返回主目录,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例2.,现有一批种子，其中良种占1/6。今任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？,解：,由德莫佛-拉普拉斯定理,返回主目录,第五章,大数定律及中心极限定理,故近似地有,返回主目录,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,良种粒数X的范围为,返回主目录,假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式和中心极限定理分别估计：这600粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过0.02的概率。,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,思考题：,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例3,设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统正常工作的概率。,解：,设X是损坏的部件数，则 XB(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当 X 15.,由德莫佛-拉普拉斯定理有,返回主目录,第五章,大数定律及中心极限定理,例4,某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？,解：,设有X部分机同时使用外线，则有,设有N条外线。由题意有,由德莫佛-拉普拉斯定理有,第五章,大数定律及中心极限定理,例5,一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布，记,返回主目录,1 引进了大数定律的概念，要了解大数定律的意,义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解,契比雪夫大数定律。,2 阐述了中心极限定理的含义及其客观背景，要,掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普,拉斯定理， 会利用中心极限定理解决一般实际,应用问题。,作业：,第五章,小 结,返回主目录,1 随机样本,第六章,样本及抽样分布,1 随机样本,总体：,研究对象的某项数量指标的值的全体。,个体：,总体中的每个元素为个体。,定义：,设X是具有分布函数F的随机变量，若,是,具有同一分布函数,F的,相互独立,的随机变量，则称 为从总体X中得到的容量为n的简单,随机样本,，简称为样本，其观察值 称为样本值。,例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。,返回主目录,1 随机样本,第六章,样本及抽样分布,由定义知：,若 为X的一个样本，则 的联合分布函数为：,若设X的概率密度为f，则的联合概率密度为：,返回主目录, 抽样分布,第六章,样本及抽样分布,2 抽样分布,1. 定义：,设为来自总体X的一个样本，g 是的函数，若g是连续函数，且g中不含任何,未知,参数；,注：统计量是随机变量。,返回主目录, 抽样分布,第六章,样本及抽样分布,例1,设为来自总体 的一个样本，,问下列随机变量中那些是统计量,2. 常用的统计量,返回主目录, 抽样分布,第六章,样本及抽样分布,它们的观察值分别为：,返回主目录,第六章,样本及抽样分布, 抽样分布,分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶矩、样本k阶中心矩。,统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为,抽样分布,。,返回主目录,第六章,样本及抽样分布, 抽样分布,结论：,设为来自总体 的一个样本，,则,返回主目录,第六章,样本及抽样分布,3. 常用统计量的分布, 抽样分布,返回主目录,第六章,样本及抽样分布, 抽样分布,返回主目录,第六章,样本及抽样分布, 抽样分布,返回主目录,第六章,样本及抽样分布, 抽样分布,返回主目录,第六章,样本及抽样分布,返回主目录,第六章,样本及抽样分布,第六章,样本及抽样分布, 抽样分布,返回主目录,第六章,样本及抽样分布,第六章,样本及抽样分布,(4) 正态总体的样本均值与样本方差的分布：,定理1,定理2.,返回主目录,第六章,样本及抽样分布, 抽样分布,且它们独立。,则由t-分布的定义：,返回主目录,第六章,样本及抽样分布, 抽样分布,返回主目录,第六章,样本及抽样分布, 抽样分布,返回主目录,