大学物理上册第七章

大学物理学,第七章 气体动理论,热学heat是研究物质的热性质和分子热运动的规律及其应用的学科，是物理学的一个重要组成局部。,根据对热现象研究方法的不同，热学又可分为宏观理论和微观理论两局部。,微观模型,宏观热现象,微观本质,力学规律,统计方法,宏观热现象,宏观热现象的规律,观察实验,逻辑推理,微观理论,统计物理学,宏观理论,热力学,统计平均,描写宏观物质整体特征的量。如体积、温度、压强和内能等。,宏观量,描写单个微观粒子特征的量。如分子质量、位置、速度、能量等。,微观量,导 论,7.1,气体动理论的基本概念,一、物质的微观结构模型,3,、分子力观点：,分子间有相互作用力。,当 时，分子力,主要表现为引力。,当 时，分子力,主要表现为斥力；,当 时，分子处于平衡,状态，分子力为零；,1,、分子、原子观点,:,宏观物体由大量微观粒子分子、原子)组成 。,2,、分子运动的观点：,组成物质的分子在永不停息地作无规那么的热运动。,二、理想气体的微观结构模型与统计假设,1理想气体分子可视为质点，运动遵循牛顿运动定律。,2理想气体分子间、分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。,3除碰撞瞬间外，理想气体分子间无相互作用。,1理想气体分子是均匀分布分子数密度相等的。,2、统计假设: 平衡态,2在平衡状态下，理想气体分子沿各方向运动的概率相同。,分子沿各个方向运动的速度分量的各种平均值应该相等。,分子运动速度,1,、理想气体的微观结构模型：,三、统计规律的根本概念,1,、偶然事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。,例：,伽尔顿板实验,2,、统计规律：,大量偶然事件的,总体,所具有的规律性 。,对单个小球而言，其运动规律完全是偶然的。,大量小球或一个小球重复投入许屡次的分布具有必然性；,即系统的宏观性质是大量微观粒子运动的统计平均结果，,宏观量,与相应的,微观量的统计平均值,有关。,求统计平均值,寻找统计规律的方法,常见的热力学系统的状态参量是,压强、体积和温度,等。,2,、,状态参量,压强 p ：垂直作用于容器壁单位面积上的压力。力学描述,体积V ：气体所能到达的最大空间。几何描述,温度T ：描述系统冷热程度的物理量 ，标志系统内局部子,无序运动的剧烈程度。热学描述,描述热力学系统状态的,宏观,物理量，称为,状态参量,。,热力学温标 T ：单位为K开尔文,单位：,单位：,摄氏温标与热力学温标的关系为：,摄氏温标 t ：单位为0C摄氏度。,标准大气压：,3,、平衡态,1单一性，状态参量处处相等。,2稳定性，状态参量与时间无关。,3平衡态是热动平衡。,4,、平衡过程,平衡态可,用,p,-,V,图上的,一点,表示。,在没有外界作用的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态，,称为,平衡态,。,准静态过程,p,V,O,p,a,V,a,p,b,V,b,a,平衡态,b,平衡态,准静态过程是无限缓慢的状态变化过程，是实际过程的抽象，是,理想,的物理模型,准静态过程可用,p,-,V,图,中的,连续曲线,表示。,假设从一个平衡态到另一个平衡态的过程中所有状态都无限接近平衡态，那么此过程为平衡过程或称准静态过程。,p,V,O,a,b,p,a,V,a,p,b,V,b,平衡态,平衡态,说明,五、理想气体的状态方程,1,mol,N,A,=,6.02310,23,/,mol,阿佛加德罗常数,描述理想气体在任,一,平衡态下,各宏观状态量之间的关系。,玻尔兹曼常量,7.2,理想气体的压强和温度的微观解释,一、理想气体的压强公式及其统计意义,微观本质,密集的雨点持续地倾泻在伞面上，对伞面产生一个持续的压力，由此产生作用于伞面上的压强,。,容器中数目巨大的气体分子频繁碰撞器壁，会对器壁产生持续的压力，从而产生器壁上的压强,压强：,大量分子碰撞器壁,单位时间内,、作用于器壁,单位面积,的,平均冲量,。,大量分子不断碰撞器壁，对器壁,单位面积的平均冲力,。,研究对象：立方容器,l,1,、,l,2,、,l,3,；总分子数,N,；分子质量为,m,。,单个分子遵循力学规律,分子碰撞,A,1,前后,动量变化：,分子碰撞,1,次给,A,1,的冲量为：,两次碰撞,A,1,的时间间隔：,单位时间施予,A,1,的总冲量：,单位时间内与,A,1,碰撞的次数：,单位时间,施予,A,1,的平均冲力：,N,个分子,单位时间,给,A,1,的平均作用力：,压强：,又因为：,在平衡态下，有：,故：,大量分子总效应：,气体分子的平均平动动能,2 ),p,是大量分子碰撞器壁的平均结果，对单个分子或,少数分子，无压强可言。,揭示了压强统计意义的微观本质。,理想气体的压强,讨论,二、,理想气体的温度公式及其微观意义,得,则,1处于平衡态时的理想气体，其分子平均平动动能与,气体的温度呈正比。,2温度的微观本质是分子平均平动动能的量度；是,表示气体分子无规那么热运动剧烈程度的物理量。,3温度是大量分子热运动的集体表现，因而温度对,个别分子也毫无意义。,由状态方程和压强公式,讨论,三、理想气体分子的方均根速率,是大量分子的速率平方平均值的平方根，,称为,方均根速率,。,在,0,时，常见的几种气体的方均根速率,根据 和 ，可得,氢气,氧气,氮气,空气,气体,例题,1,体积为,V,= 1,10,-3,m,3,的容器中，贮有的气体可视为理想气体，其分子总数为,N,= 1,10,23,，每一个分子的质量为,m,0,= 5,10,-26,kg,，分子方均根速率为,400m/s,，试求该理想气体的压强、温度以及气体分子的总平均平动动能。,解,根据理想气体的压强公式有,代入数据，可得,根据理想气体状态方程，可得,气体分子的总平均平动动能,7.3,能量按自由度均分定理 理想气体的内能,一,、自由度,1,、定义：确定一个物体,空间位置,所需要的,独立坐标,的数目。,用,i,表示,.,自由运动刚体的自由度：,转轴：,2 (,，,，,),绕轴转动：1 ,质点的自由度：,空间：,3,个独立坐标,质心：3 x，y，z ) ： t = 3,平面：,2,直线：,1,2,、 气体分子运动自由度,单原子分子：,刚性多原子分子：,i,= 3 + 3 = 6,多原子分子：,3,个平动自由度，,2,个转动自由度。,3,个平动自由度,i,= 3,刚性双原子分子：,i,=,t + r,= 5,3,个平动自由度，,3,个转动自由度，,复 习,理想气体的压强,理想气体的温度,气体分子的平均平动动能,气体分子运动自由度,单原子分子,3,个平动自由度,i,= 3,刚性双原子分子,3,个平动自由度，,2,个转动自由度。,i,=,t + r,= 5,二、能量按自由度均分定理,分子的平均平动动能：,气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的,平均能量,都相等，均为,k T,/ 2,。,推广：,能量按自由度均分原理：,对自由度为,i,的分子，其,平均总能量,应为：,2 室温下只有平动和转动，高温下才有振动。,一般不说明，都按刚性分子处理，即无振动。,3 该原理也适用于液体和固体。,三、理想气体内能,E,1,、一般热力学系统内能：,系统内部各种能量的总和,。,2,、理想气体内能：,假设无化学反响、无核反响，系统内能指所有分子的各种形式的动能、振动势能和分子间势能的总和。,理想气体刚性分子的内能，是系统内全局部子的平动动能和转动动能之和。,1能量按自由度均分定理是关于分子热运动动能的,统计规律，对单个分子无意义。,说明,每个分子的平均动能,1mol,理想气体的内能,mol,理想气体的内能,1mol,理想气体的内能,i =,6,i =,5,i =,3,自由度,刚性多原子,刚性双原子,单原子,当温度发生微小变化,d,T,时，内能的变化为：,当温度由T 变到T +T，那么,例题,1,1mol,氦气与,2mol,氧气在室温下混合，试求当温度由,27,C,升为,30,C,时，该系统的内能增量。,解,由内能公式,对氦气 i = 3 , 对氧气 i = 5 那么内能为：,内能的增量为：,7.4,麦克斯韦分布律,在,平衡态,下，气体分子速率的大小各不相同。由于分子的数目巨大（,共有,N,个分子）,，速率可以看作在,0, 之间连续分布的。,将 的速率区间划分成一系列等间距的小区间。,：,分子总数,N,：,速率在,v v +,v,区间内的分子数。,一、速率分布函数,速率分布函数,表示速率在 区间的分子数占总分子数的百分比,.,表示在温度为,T,的平衡态下，速率在,v,附近,单位速率区间,的分子数占总数的百分比。,单个分子来说，表示单个分子的速率出现在,v,值附近,单位速率区间内,的概率，即,概率密度。,表示速率在,v ,v +,v,区间内,的分子数占总分子数的百分比。,物理意义,二、,麦克斯韦速率分布律,麦克斯韦速率分布函数,速率分布在区间,v v +,d,v,的分子数占总分子数的比率为：,1859,年，麦克斯韦首先从理论上导出了平衡态下理想气体分子速率分布函数的数学形式：,麦克斯韦速率分布律,对于任意一个以 v 为变量的物理量A = Av，其统计平均值等于系统处于各个可能状态的概率与相应的Av乘积的总和。,由概率论可知, 求解与分子速率相关的各种物理量的统计平均值的根本关系式,例：,分子的平均平动动能,分子的平均速率,麦克斯韦速率分布曲线,曲线从原点出发，随着速率增大而上升，在速率较小时上升较陡；到达极大值后，又随着速率的增大而缓慢下降，并逐渐接近于横坐标轴。这说明气体分子的速率可以取大于零的一切可能有限值，但处于不同的速率区间的分子数在总分子数中所占的比例是不同的，速率很大和速率很小的分子，其概率都很小，而具有中等速率的分子，其概率却很大。,麦克斯韦速率分布曲线,1速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率：,由速率分布,曲线,可得到,2速率在 v v + d v区间内分子数占总分子数的百分比： 曲线下窄条的面积,麦克斯韦速率分布曲线,3速率在v1 v2区间内的分子数占总分子数的百分比：,v1v2 区间内曲线下的面积,4总面积：,归一化条件：,三、,三种统计速率,平均速率 ：,大量气体分子的速率的平均值。,方均根速率 ：,在研究,气体分子的碰撞频率,的问题时，要用到平均速率。,在讨论分子无规那么热运动的平均平动动能时，要用到方均根速率。,是大量分子的速率平方平均值的平方根。,三种速率的比较：,最概然速率,(,最可几速率,),v,p,与分子速率分布,函数,曲线的极大值所对应的速率。,v,P,附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大,。,在讨论,分子按速率的分布状况时,要用到最概然速率。,f,(,v,),与,T,和,m,的关系,当,T,升高时,速率分布曲线的,峰值点向右下移,分布变平坦,.,当,m,减小时，速率分布曲线的峰值点向右下移，分布变平坦,.,N,2,分子在不同温度下的速率分布,同一温度下不同气体的速率分布,四、 麦克斯韦速度分布律,麦克斯韦速度分布函数,在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，速度区间 ，即速度分量,v,x,在区间,v,x, v,x,+,d,v,x,，,v,y,在区间,v,y, v,y,+,d,v,y,，,v,z,在区间,v,z, v,z,+,d,v,z,内的分子数占总分子数的比率为：,例题1 假设某种气体在温度T1 = 300K时的方均根速率等于温度为T2 时的平均速率，求T2 = ？,解,常温下气体可看作理想气体，而方均根速率和平均速率分别为,由已知条件 得：,例题,2,有,N,个粒子，其速率分布函数为,（,1,）画出速率分布曲线；（,2,）由,N,和,v,0,求常数,c,；,（,3,）求粒子的平均速率。,解 1速率分布曲线如右图所示。,2速率分布函数必须满足归一化条件，即,（,3,）,7.5,玻耳兹曼分布律,一、重力场中粒子按高度的分布,设平衡气体压强随高度变化的函数为 p = p z ,在气体中取一柱体，面积 ，高度为,d,z,。,无外场,气体的密度在空间分布均匀。,有外场,气体的密度在空间分布不均匀。,讨论：平衡气体在重力场中分子数密度随高度的变化。,气柱上下端面所受压力分别为,:,气柱,的质量：,气柱上下端面所受压力差与气柱所受重力相等,整理得：,由状态方程,假定在,z,= 0,处的分子数密度,n,0,，积分上式可得任一高度,z,处的分子数密度,n,：,由上式可得高度,z,处气体的压强为：,等温气压公式,用它可近似估算大气压强随高度的变化,假设测知地面处的压强及所在处的大气压强和温度，可估算所在处的高度。,二、玻耳兹曼分布律,重力场中,在其他外场的情况如何？,玻耳兹曼密度分布律,麦克斯韦速度分布律,描绘分子在位形空间的分布,描绘分子在速度空间的分布,动能,+,势能,=,能量,描绘分子按能量的分布规律,玻耳兹曼能量分布律,从统计观点来看，分子总是处于低能状态的概率大些，而处于高能状态的概率小些。,7.6,气体分子的平均碰撞频率和平均自由程,一、,分子的平均碰撞频率,d,称为,分子的有效直径，,数量级为,10,-10,m,。,分子在运动中相互靠近，并在分子力作用下发生短时间相互作用。假设用 d 表示两个分子质心距离的平均值，分子的碰撞相当于两个直径为d 的弹性球相碰撞 。,1,、,分子碰撞实质,2,、分子的平均碰撞频率,平均碰撞频率：,一个分子在,单位时间,内与其它分子碰撞的,平均,次数,称为分子的平均碰撞频率，,3两个分子碰撞等效于两个直径为分子有效直径d 的弹性球相碰撞。,1,）,假设其它分子都不动，只有一个分子,A,以平均相对速率 运动。,2分子A与其它分子碰撞后其速度方向改变，相邻两次碰撞之间沿直线运动。,简化模型,圆柱体的面积,:,单位时间内分子,A,走,相应的,圆柱体体积为：,考虑到其它分子在运动，且速率不同，上式需要修正。,设想以分子,A,的中心的轨迹为轴线，以,d,为半径作一个曲折的圆柱体。,凡中心位于圆柱体内的分子，都将与分子,A,相碰撞一次。,假设气体分子的数密度为n，那么圆柱体内的分子数，即分子单位时间内与其它分子的碰撞次数为,平均相对速率,与平均速率之间的关系：,分子的平均碰撞频率,二、分子的平均自由程,自由程 ：,分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程,.,平均自由程,：,分子连续两次碰撞之间自由运动路程的平均值，,分子连续两次碰撞所需的时间的平均值即,平均碰撞频率,的倒数。,平均速率,：,单位时间内分子运动的平均路程 ，,根据平均自由程、平均速率和平均碰撞频率的定义，可得,即 气体分子的平均自由程与分子,有效直径,d,的平方,及,分子数密度,n,成反比，而与分子的,平均速率,无关。,当温度一定时，平均自由程,与,p,成反比。压强越小，气体越稀薄，平均自由程越大。压强越大时，平均自由程越小,例题,1,求在标准状况下，氢分子的平均碰撞频率与平均自由程，氢分子的有效直径为,210,-10,m,。,解,分子的平均速率为：,由气体的压强公式可求得气体分子的数密度,气体分子的平均自由程为,气体分子的平均碰撞频率为,作业：,7 - 7,、,9,预习：,8 - 1,、,2,、,3,