大学物理第4章功和能

,College Physics,大学物理,第一篇 力 学,4,前一章从,时间,的角度分析了力的累积效果，导出了,动量定理。,如果从,空间,的角度讨论运动的起点与终点的运动状态间的联系，或者说分析力的空间累积效果，是否有类似的定理,?,动能定理,多个质点组成的质点系是否有类似定理成立,?,第四章 功和能,4.1,功,一、功 功的计算,力在某一过程中对,空间,的累积效果，可以用,功,来表示。,1,直线运动中恒力的功,m,m,F,F,r,力对质点所作的功等于该,力,在位移方向上,的分量,与,位移大小,的,乘积,。,说明,功是,标量,，没有方向只有大小，但有正负,0,， 力对物体,作正功,；,=/2,，,A=0,， 力对物体,不作功,；,/,2,，,A 0 E,k,增大,A = 0 E,k,不变,A 0 E,k,变小,质点的动能定理只适用于惯性系。,动能是状态量，功是过程量。,例,1,、,t=0,时质点位于原点，且初始速度为零,力随着质点运动的距离线性减小, x=0,时, F=F,0, x=L,时, F=0,。试求质点在,x= L/3,处的速率。,解：受力，求运动状态。选择坐标系：选运动为正方向；,写出力的表达式：,题目要求,L/3,处的速度大小,动能定理,设一系统有,n,个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：,A,1,A,2, A,n,使各个质点由初动能,E,k10,E,k20,E,kn0,变成末动能，,E,k1,E,k2, E,kn,作用于质点系的内力和外力所作的功等于系统动能增量质点系的动能定理一对内力做功不为零，内力做功也要改变系统的动能。,二、质点系的动能定理,全部相加,每一个质点的动能定理,例,4-3,在图中，一质量为,m,，长为,l,的柔绳放在水平桌面上，绳与桌面间的摩擦系数,，试求：,1),绳下垂的长度,a,至少要多长才能开始滑动？,2),从下垂长度,a,开始滑动到绳子全部离开桌子时的速度？,解：分析系统所受外力为悬挂的链条局部的重力，且属于变力做功。选择竖直向下为x轴正方向；写出力的表达式：,元功表达式,元位移,从开始滑动到链条全部离开桌面，总功,根据质点系动能定理,末速度为,能用牛顿第二定律算吗？,例1、木板B静止置在光滑水平台面上，小木块A放在B板的一端上，如下图。设A与B之间的摩擦系数为u，mA=mB，现在给小木块A一向右的水平初速度v0，如果A滑到B另一端时A、B恰好具有相同的速度，求B板的长度L以及B板滑动的距离s。,水平方向,AB,系统动量守恒：,可解出,B,板长度,再列出,AB,系统的动能定理,:,为求滑动距离，单独对,B,使用动能定理：,解得,解得,例,2,：,P,101,例,4.3,根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即,保守力与非保守力,。力学中最重要的保守力有三个：,重力、万有引力和弹性力,。我们来看看它们做功的特点：,4.3,势能,一、保守力和非保守力,1,、重力作功的特点,重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。,o,h,h,2,mg,dh,dr,h,1,2,、弹性力作功,弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。,o,x,x,1,dx,F,x,2,x,3,、万有引力作功的特点,万有引力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。,dr,r,1,r,2,r,M,1,m,2,dl,保守力：,作功只与初始和终了位置有关而与路径无关的力,万有引力、重力、弹性力,保守力作功的数学表达式,保守力沿任意闭合路径运行一周作功为零。,保守力的判据。,非保守力：,作功与路径有关的力,摩擦力,1,、势能的概念,在具有保守力相互作用的系统内，只由质点间的相对位置决定的能量称为,势能,。,Potential Energy,保守力作功等于势能增量的负值势能的减少,重力势能,引力势能,弹性势能,二、势能,2,、关于势能的说明,只有对,保守力,，才能引入势能的概念,势能是物体,状态,的函数,势能具有,相对性,，势能的值与势能的零点有关,重力势能：零点可以任意选择，一般选,地面,；,引力势能：零点选在,无穷远点,；,弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。,与参考系的选取有关吗？,势能属于,系统,，势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。,重力势能：物体和地球组成的系统,引力势能：两个物体组成的系统,弹性势能：物体和弹簧组成的系统,各种势能可以相加，变为,总势能。,1,、重力势能,重力势能曲线：,令 处势能为零，则重力势能表示为：,ro 处为势能零点,2,、弹性势能,弹性势能曲线：,令 处势能为零，则弹性势能表示为：,3,、引力势能,引力势能曲线：,令 处势能为零，则引力势能表示为：,4.4,机械能守恒定律,质点系动能定理,质点系的功能原理,由外力与非保守内力所做功之和等于系统机械能的增量。,把质点系,动能定理和保守力做功,的特点结合起来，总结做功与能量的关系：,机械能定义,一、质点系的功能原理,保守力做功等于势能增量的负值。,对于只有保守内力做功的系统，系统的机械能保持守恒。,成立条件,系统外力为零或者不做功，同时系统内力没有摩擦力等非保守力或者只有不做功的向心力等。,机械能守恒是如何实现的？,系统动能和势能通过内部保守力做功实现相互转化，但机械能保持不变。,二、机械能守恒定律,三、能量守恒定律,孤立系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但不管任何转换，能量既不能产生也不能消灭，总和不变。这就是能量守恒定律。,物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究，这是因为：,第一，从方法论上看：,利用守恒定律可避开过程细节而对系统始、末态下结论。,第二，从适用性来看：,守恒定律适用范围广，宏观、微观、高速、低速均适用,(,牛顿定律只适用于宏观、低速，,但由它导出的动量守恒定律的适用范围远它广泛，迄今为止没发现它不对过,),。,第三，从认识世界来看：,守恒定律是认识世界的有力武器。在新现象研究中，当发现某个守恒定律不成立时，往往作以下考虑：,(1)寻找被忽略的因素，从而恢复守恒定律的应用。,(2)引入新概念，使守恒定律更普遍化。,(3)无法“补救时，宣布该守恒定律失效。,例题1、两块质量各为m1和m2的木板，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放置在地面上，如下图。问至少要多大的力F压缩上面的木板，才能在该力撤去后因上面的木板升高而将下面的木板提起？,解：,加外力,F,后，弹簧被压缩，,m,1,在重力,G,1,弹性力,N,1,及压力,F,的共同作用下处于平衡状态，如图,a,所示，,一旦撤去,F,m,1,就会因弹力,N,1,大于重力,G,1,而向上运动,。只要,F,足够大以至于弹力,F,1,也足够大，,m,1,就会上升至弹簧由压缩转为拉伸状态，以致将,m,2,提高地面。,G,1,F,N,1,a,b,将m1、m2、弹簧和地球视为一个系统，该系统在压力F撤离后，只有保守内力做功，该系统机械能守恒。设压力F撤离时刻为初态，m2恰好提高地面时为末态。设弹簧原长时为坐标原点和势能零点，如图b所示，那么机械能守恒应该表示为,式中,x,0,为压力作用时弹簧的压缩量，由图,a,可得,式中,x,为,m2,恰好能提高地面时弹簧的伸长量，由图,c,可知，此时要求,G,2,N,2,c,联立求解那么可得,故能使,m2,提离地面的最小压力,例题,2,：,把质量为,m1,的木板连接在劲度系数为,k,的弹簧上，处于静止。另一质量为,m2,的小物体从离木板为,h,的高处下落，作完全非弹性碰撞，求弹簧给地面的最大压力。,木板和小球一起向下运动过程中，选择他们、弹簧和地球组成系统，机械能守恒。,以弹簧原长处为势能零点,且有,m,2,由,h,高度处自由下落，到达,m,1,处时速度为,m,2,和,m,1,发生完全非弹性碰撞，动量守恒,解：,弹簧对地面的最大作用力,联立求解,例题3：在光滑水平面上，有一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定于O点，另一端连接一质量为M 的木块，处于静止状态。一质量为m的子弹，以速度v0沿与弹簧垂直的方向射入木块，与之一起运动，如下图。设木块由最初的A点运动到B点时，弹簧的长度由原长l0变为l1，求B点处的木块速度。,解：,子弹射入木块，水平方向动量守恒,子弹木块弹簧组成的系统，在木块上升过程中，机械能守恒只有弹性力做功，属于保守力做功。,弹簧拉力通过,O,点，木块子弹对于,O,点合外力矩为零，,因此角动量守恒,。,将第一式子整理，得,然后代入第二式子，可求出速度,v,最后代入第三式，有,例题,4,：,把地球看成半径,R = 6.4*10,6,m,的球体，人造卫星正在地面上空,h = 8.0*10,5,m,的圆轨道上，以,v = 7.5*10,3,m/s,速度绕地球匀速率转动，如果卫星通过其上火箭的反冲，额外获得一个指向地心的分速度,v,1,= 200 m/s,，从而使卫星改为椭圆运动。求卫星近地点和远地点到地面的距离。,有什么物理量守恒,?,解：卫星受到的引力力矩为零，对地心的角动量守恒。分析ABC三点,的角动量情况设近地点或远地点时距地心距离为r,速度为v),把卫星和地球看成系统，系统不受外力，内力为保守力，所以,机械能守恒,。,为了消去地球质量,M,，利用,圆周运动向心力公式：,联立以上三个方程，可解近地点和远地点的运动情况。,v1对O点的力矩为零，因为v1指向地心。,一三式子代入第二式子，可求出速度,v,所以可求出近地点远地点与地心距离,近地点与地面距离,远地点与地面距离,