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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,函数的奇偶性,点此播放讲课视频,2024/8/25,函数的奇偶性点此播放讲课视频2023/9/1,观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？,x,y,O,1,-1,f(x)=x,2,（,1,）,（,2,）,y,x,O,x,0,-x,0,2024/8/25,观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(x),例如：对于函数,f(x)=x,3,有,f(-1)=(-1),3,=-1 f(1)=1,f(-2)=(-2),3,=-8 f (2)=8,f(-x)=(-x),3,=-x,3,f(-1)= - f(1),f(-2)= - f(2),f(-x)= - f(x),-,x,x,结论,:,当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即,f(-x)=-f(x),点此播放讲课视频,2024/8/25,例如：对于函数f(x)=x3有 f(-1)=(-1)3=,-,x,x,f(-2)=(-2),2,=4 f(2)=4,而函数,f(x)=x,2,， 却是另一种情况，如下：,f(-1)=(-1),2,=1 f(1)=1,f(-x)=(-x),2,=x,2,f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),f(-x)=f(x),结论,:,当自变量,x,任取定义域,中的一对相反数时,对应的,函数值相等，即,f(-x)=f(x),而函数,f(x)=x,2,， 却是另一种情况，如下：,2024/8/25,-xxf(-2)=(-2)2=4 f(2)=4而函数f,函数奇偶性的定义,:,偶函数定义,:,如果对于函数,f(x),定义域内的,任意一个,x,都有,f(-x)=f(x),那么函数,f(x),就叫,偶函数,.,奇函数定义,:,如果对于函数,f(x),定义域内的,任意一个,x,都有,f(-x)=-f(x),那么函数,f(x),就叫,奇函数,.,2024/8/25,函数奇偶性的定义: 偶函数定义: 奇函数定义: 2023/,对于奇、偶函数定义的几点说明,:,(2),定义域关于原点对称,是函数具有奇偶性的先决条件。,（,3,）奇、偶函数定义的逆命题也成立，,即：若函数,f(x),为奇函数,则,f(-x)=,f(x),成立。,若函数,f(x),为偶函数,则,f(-x)= f(x),成立。,（,1,） 如果一个函数,f(x),是奇函数或偶函数,那么我们就,是说函数,f(x),具有奇偶性。,2024/8/25,对于奇、偶函数定义的几点说明:(2) 定义域关于原点对称是,练习,:,说出下列函数的奇偶性,:,f(x)=x,4,_, f(x)=x,_, f(x)=x,-2,_, f(x)=x,5,_,f(x)=x,-3,_, f(x)= x,-1,_,奇函数,奇函数,奇函数,奇函数,偶函数,偶函数,对于形如,f(x)=x,n,( ),的函数，在定义域,R,内,:,若,n,为偶数，则它为偶函数。,若,n,为奇数，则它为奇函数。,2024/8/25,练习: 说出下列函数的奇偶性:f(x)=x4 _,例,1.,判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x,3,+x (2) f(x)=3x,4,+6x,2,+a,解,:,定义域为,R,f(-x)=(-x),3,+(-x),= -x,3,-x,= -(x,3,+x),即,f(-x)= - f(x),f(x),为奇函数,解,:,定义域为,R,f(-x)=3(-x),4,+6(-x),2,+a,=3x,4,+6x,2,+a,即,f(-x)= f(x),f(x),为偶函数,说明：用定义判断函数奇偶性的步骤,:,先求出定义域，看定义域是否关于原点对称,.,再判断,f(,x)= -f(x),或,f(-x)=f(x),是否成立,.,2024/8/25,例1. 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x,2024/8/25,2023/9/1,思考,1,：函数,f(x)=2x+1,是奇函数吗？是偶函数吗？,x,y,0,1,2,f(x)=2x+1,-1,分析：函数的定义域为,R,但是,f(-x)=2(-x)+1,= -2x+1,f(-x),- f(x),且,f(-x),f(x),f(x),既不是奇函数也不是偶函数。（也称为,非奇非偶函数,）,如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于,y,轴对称。,2024/8/25,思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy0,(1) f(x)= (2) f(x)=x,2,x- 4 , 4),解,: ,定义域不关于原点 对 称,或,f(-4)=(-4),2,=16;,f(4),在定义域里没有意义,.,f(x),为非奇非偶函数,解,:,定义域为,0 ,+),定义域不关于原点对称,f(x),为非奇非偶函数,思考,2,：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？,2024/8/25,(1) f(x)=,思考,3,：,在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？,有。例如：函数,f(x)=0,是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。,x,y,0,1,f(x)=0,-1,2024/8/25,思考3：在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非,奇函数,偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数,根据奇偶性,函数可划分为四类,:,2024/8/25,奇函数 根据奇偶性, 函数可划分为四类: 20,本课小结,:,两个定义,:,对于函数,f(x),定义域内的任意,一个,x,两个步骤,:,（判断函数的奇偶性）,如果都有,f(-x)=-f(x) f(x),为奇函数。,如果都有,f(-x)= f(x) f(x),为偶函数。,（,1,）先求出定义域，看定义域是否关于原点,对称,（,2,）再判断,f(-x)=-f(x),或,f(-x)=f(x),是否成立。,2024/8/25,本课小结: 两个定义: 对于函数f(x)定义域内的任意,练一练：,判断函数的奇偶性,:,点此播放讲课视频,2024/8/25,练一练：判断函数的奇偶性:点此播放讲课视频2023/9/1,作业:,课本,P,44,页,A,组,10.,课外思考题,:,1.,设,y=f(x),为,R,上的任一函数,判断下列函数的奇偶性,:,(1). F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x),2.,判断函数 的奇偶性,:,2024/8/25,作业:课本 P44页 A组 10. 课外思考题:1.设,同学们再见！,2024/8/25,同学们再见！2023/9/1,
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