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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,平面向量基本定理,必修系列,数学,4,f, f,G,P,平面向量基本定理必修系列数学4 f fGP,复习回顾,(1)小明从A到B,再从B到C,则他两次的位移之和是:,A,B,C,D,三角形法则,平行四边形法则,首尾相接,由首至尾,共起点,连对角,复习回顾(1)小明从A到B,再从B到C,则他两次的位移之和是,复习:共线向量基本定理:,向量 与向量,共线,当且仅当有唯一一个实数 使得,复习:共线向量基本定理: 向量 与向量,(2)证明三点共线的问题:,定理的应用:,(1)有关向量共线问题:,(3)证明两直线平行的问题:,(2)证明三点共线的问题:定理的应用:(1)有关向量共线问题,2011年11月3日1时43分,神舟八号与天宫一号第一次交会对接圆满成功,中国成为世界第三个独立掌握无人和载人空间对接技术的国家。承担“神舟八号”飞船和“天宫一号”目标飞行器发射任务的是,“长征二号F”运载火箭,。,v,v,1,v,2,v,问题情境,2011年11月3日1时43分,神舟八号与天宫一号第一次交会,依照速度的分解,平面内任一向量,a,可作怎样的分解呢?,平行四边形法则,给定平面内两个不共线的向量,e,1,e,2,可表示平面内任一向量,a,吗?,依照速度的分解,平面内任一向量a可作怎样的分解呢?平行四边形,O,C,A,B,M,N,活动探究,给定平面内两个不共线的向量,e,1,e,2,可表示该平面内任一向量,a,吗?,OCABMN活动探究给定平面内两个不共线的向量e1, e2,O,C,A,B,M,N,活动探究,给定平面内两个不共线的向量,e,1,e,2,可表示该平面内任一向量,a,吗?,OCABMN活动探究给定平面内两个不共线的向量e1, e2,想一想,想一想,O,O,(3),C,再改变成如下情况,怎样构造平行四边形?,(3)C再改变成如下情况,怎样构造平行四边形?,取,使,若,与,共线,则,使,若,活动探究,重要结论,若,则,取使若与 共线,则使若活动探究重要结论若则,(),平面向量基本定理,存在性,唯一性,存在,如果,是同一平面内两个,不共线,向量,,那么对于这一平面的任意向量,一对实数,,使,有且只有,思考:,上述表达式中的,是否唯一,?,建构数学,( 2 ),基底:,把,不共线,的向量,叫做这一平面内,所有向量的,一组,基底,一个平面向量用一组基底,( 3 ),正交分解:,表示成:,称它为向量的分解,当,互相垂直时,称为向量的,正交分解,()平面向量基本定理存在性唯一性存在如果是同一平面,一维直线,平面向量基本定理,二维平面,思想有多远,就能走多远!,重要结论,若,则,一维直线平面向量基本定理二维平面思想有多远,就能走多远!重要,2、,基底不唯一,关键是,不共线,.,4、,基底给定时,分解形式唯一.,说明:,1、把,不共线,的,非零向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组,基底,.,3、,由定理可将任一向量,在给出基底,的条件下进行分解.,2、基底不唯一,关键是不共线.4、基底给定时,分解形式唯一.,练习:下列说法是否正确?,1.在平面内只有一对基底.,2.在平面内有无数对基底.,3.零向量不可作为基底.,4.平面内不共线的任意一,对向量,都可作为基底.,练习:下列说法是否正确?1.在平面内只有一对基底.2.在平面,想一想,(1)一个平面内,可作为基底的向量有,对。,无数,(1)(3),想一想(1)一个平面内,可作为基底的向量有 对,数学应用,因为平行四边形的对角线互相平分,例1,数学应用因为平行四边形的对角线互相平分 例1,数学应用,A,B,C,D,例2,数学应用ABCD 例2,课堂练习,(2),A,B,C,D,课堂练习(2)ABCD,课堂练习,B,Q,P,D,C,A,课堂练习BQPDCA,课堂练习,B,Q,P,D,C,A,E,课堂练习BQPDCAE,练习,请大家在图中确一组基底,将其它向量用这组基底表示出来,A,N,M,C,D,B,已知梯形,ABCD,,,AB,/,CD,,且,AB,= 2,DC,,,M,、,N,分别是,DC,,,AB,的中点,练习请大家在图中确一组基底,将其它向量用这组基底表,A,N,M,C,D,B,解析:设,AB,=,e,1,,,AD,=,e,2,,则有:,DC,=,AB,=,e,1,1,2,1,2,BC,=,BD,+,DC,=(,AD,-,AB,)+,DC,=(,e,2,-,e,1,)+,e,1,=,-,e,1,+,e,2,1,2,1,2,MN,=,DN,-,DM,=(,AN,-,AD,),-,DC,1,2,= e,1,-,e,2,-,e,1,1,2,1,4,= e,1,-,e,2,1,4,ANMCDB解析:设AB=e1,AD=e2,则有:DC=,二、向量的夹角:,O,A,B,两个非零向量,,,和,的,夹角,夹角的范围:,O,A,B,O,A,B,注意:,同起点,叫做向量,O,A,B,二、向量的夹角:OAB两个非零向量 ,和 的,例2:如图,等边三角形中,求,(1),AB,与,AC,的夹角;,(2),AB,与,BC,的夹角。,A,B,C,注意:,同起点,例2:如图,等边三角形中,求ABC注意:同起点,A,B,O,P,一个重要结论,结论:,你发现了什么?,ABOP一个重要结论结论:你发现了什么?,三,、,平面向量的坐标表示,思考?,在平面里直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(它的坐标)表示。对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?,三、平面向量的坐标表示思考?,2.2.3平面向量的正交分解及坐标表示.,向量的,正交分解,物理背景:,2.2.3平面向量的正交分解及坐标表示.向量的物理背景:,三,、,平面向量的坐标表示,y,O,x,我们把(,x,y,)叫做向量 的,(直角)坐标,记作,其中,,x,叫做 在,x,轴上的坐标,,y,叫做 在,y,轴上的坐标,,(,x,y,)叫做向量的坐标表示.,正交单位基底,i,j为单位向量,三、平面向量的坐标表示yOx我们把(x,y)叫做向量,O,x,y,A,当向量的起点在坐标原点时,,向量的坐标,就是,向量终点的坐标.,坐标(,x,y,),一一对应,两个向量相等,利用坐标如何表示?,向量,三,、,平面向量的坐标表示,OxyA 当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终,解:,j,y,x,O,i,c,a,A,1,A,A,2,B,b,d,例:,数量看投影 符号看方向,解:jyxOicaA1AA2Bbd例:数量看投影 符号看方,2.3.3,平面向量的坐标运算,平面向量的坐标运算,1.已知,a,,,b,,求,a,+,b,,,a,-,b,,a,解:,a,+,b,=(,i,+,j,) + (,i,+,j,),=( + ),i,+( + ),j,即,a + b,同理可得,a - b,两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差,2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知a,2.3.3平面向量的坐标运算,2已知 求,x,y,O,解:,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的,终点的坐标减去始点的坐标,实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的,向量的相应坐标,2.3.3平面向量的坐标运算2已知,思 考,1. 两个向量共线的条件是什么?,2. 如何用坐标表示两个共线向量?,思 考1. 两个向量共线的条件是什么?,推导过程:,推导过程:,推导过程:,推导过程:,推导过程:,推导过程:,推导过程:,推导过程:,推导过程:,推导过程:,探究:,探究:,探究:,探究:,探究:,探究:,探究:,探究:,探究:,探究:,讲解范例,讲解范例,例2.,已知,A,(,1, 1),,B,(,1, 3),,C,(2, 5),,试判断,A,,,B,,,C,三点之间的位置关系.,讲解范例,例2. 已知A(1, 1),B(1, 3),C(2,2.3.3 平面向量的坐标运算,例2已知,a,=(2,1),,b,=(-3,4),求,a+b,,,a-b,3a+4b,的坐标,解:,a+b=,(2,1)+(-3,4)=(-1,5);,a-b=,(2,1)-(-3,4)=(5,-3);,3a+4b=3,(2,1)+4(-3,4),=(6,3)+(-12,16),=(-6,19),2.3.3 平面向量的坐标运算 例2已知a,2.3.3 平面向量的坐标运算,例3已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,1)、( 1,3)、(3,4),求顶点D的坐标,解:设顶点,D,的坐标为(,x,,,y,),2.3.3 平面向量的坐标运算 例3已知平行四边形,小结,1.平面向量基本定理:,2.向量的夹角:,3.平面向量的坐标表示:,4.一个重要结论:,5.平面向量的坐标运算,小结1.平面向量基本定理:2.向量的夹角:3.平面向量的坐标,谢谢大家,谢谢大家,知识回顾,Knowledge Review,祝您成功!,知识回顾Knowledge Review祝您成功!,
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