【研究生课件应用数学基础】4线性赋范空间

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第一章 集合上的数学结构,（抽象空间）,4.线性赋范空间,一、线性赋范空间概念与性质,二、有限维线性赋范空间,有限维线性赋范空间的基本性质:,有限维线性赋范空间都是完备的,1,第一章 集合上的数学结构1,一、线性赋范空间的概念和性质,定义4.1 设V是数域F上的线性空间.,如果,xV,对应一个非负实数,即VR是一泛函,满足:,(1)xV,x0;x=0x=.,(2)kF,xV,kx=|k|x.,(3)x,yV,x+yx+y,则称x(xV)为x的范数,V成为F上的线性,赋范空间.,2,一、线性赋范空间的概念和性质2,设V是线性赋范空间。定义映射：,：VVR，(x,y)=xy(x,yV),容易验证：是V上的度量，从而V，是度量,空间，因而，V是（度量）拓扑空间。于是，,V上有开集 、闭集、极限点、导集、闭包、,收敛、连续、完备、紧致、列紧等概念。,完备的线性赋范空间称为Banach,空间。,线性赋范空间V中序列x,n,称为范数收敛于xV,如果,3,设V是线性赋范空间。定义映射：3,由于线性赋范空间V是线性空间，有加法和数乘,运算，故可讨论序列x,n,的级数及其收敛的概念。,称级数,收敛于s,V,如果,这里,定理4.1 线性赋范空间V是完备的,V中每个绝对收敛的级数都收敛.,4,由于线性赋范空间V是线性空间，有加法和数乘收敛于sV,如果,证明:,)设V完备.级数,实际上,S,n,S,m,=x,m+1,+,+x,n,x,m+1,+x,n,(nm),于是S,n,是V中Cauchy列,所以,)任取V中Cauchy,列x,n,则可找到自然数,n,1,n,2,使,因此,5,证明: )设V完备.级数 实际上, )任取V中C,从而,x,n,收敛.,例4.1 x=(x,1,x,2,x,n,),T,R,n,定义范数,则R,n,是线性赋范空间,而且是Banach空间.,x,Ca,b,定义范数,则Ca,b,是Banach空间.,6,从而,xn收敛.则Rn是线性赋范空间,而且是Banach,x,L,p,a,b,定义范数,则L,p,a,b,是Banach空间.,x=(x,1,x,2,x,n,),T,l,p,(1p0.显然,f(,0,)0.,只要证 f(,0,) 0.由于,0,S,故,0,不是零向量.,从而,于是, f(,0,)=x,0,0。,xX,且x,则x的坐标是R,n,中非零向量。,所以，,是S上的向量。,13,下面证明: f(0)0.显然,f(0)0.于是,故 f(,)f(,0,)，,即,记,则有,由此推出，有限维线性空间的任意两种范数,都是等价的。,两个线性赋范空间X和Y称为线性同胚的，如果,存在线性双射T：XY，使T和T,-1,都是连续的。,14,故 f()f(0)，即记则有由此推出，有限维线,定理4.3,任何一个实数域R上的n维线性赋范,空间,X都与n维欧氏空间R,n,线性同胚，即,存在线性双射T：X,R,n,且T与T,1,连续。,证明：设e,1,e,2,e,n,是X的一组基。,xX有,其中,=（,1,，,2,，,，,n,),T,为x的坐标。,15,定理4.3 任何一个实数域R上的n维线性赋范证明：设e1,定义映射T：XR,n,:,Tx=（,1,，,2,，,，,n,),T,T显然是线性的。而且T,1,存在。实际上，,任给=（,1,，,2,，,，,n,),T,R,n,于是,16,定义映射T：XRn:16,由于向量坐标的唯一性，所以,对应的y是唯,一的，而且=Ty，从而，T,1,存在。,最后证明T和T,1,的连续性。由上面的定理，,存在正数A和B，使,从而,17,由于向量坐标的唯一性，所以对应的y是唯从而17,由此推出T的连续性。又由于,由此推出T,1,的连续性。,定理4.4 任意的有限维线性赋范空间必为,Banach,空间;无限维线性赋范空间的有限维子,空间必为闭子空间.,证明: 设X是n维线性赋范空间,e,1,e,2,e,n,是,18,由此推出T的连续性。又由于由此推出T1的连续性。18,X的一组基.又设x,n,为X的任一Cauchy,列.,由上面的定理,存在线性同胚T:X,R,n,使,Tx,n,=P,n,R,n, T,1,P,n,=x,n,(n=1,2,),容易证明:P,n,是R,n,中Cauchy列.实际上,由T连续,0,存在0,当xy时有,TxTyN,时,有 x,n,x,m,19,X的一组基.又设xn为X的任一Cauchy列.19,于是 Tx,n,Tx,m,即 P,n,P,m,.,因此,P,n,是R,n,中Cauchy列,由R,n,的完备性,有,再由T,1,的连续性,从而X完备.,显然,无限维线性赋范空间X的有限维子空间M,是完备的,进而可证M是闭集.,20,于是 TxnTxm,再由T1的连,实际上,任取x,M,则必有x,n,M,使,因此x,n,是M中Cauchy,列,从而,x,M.,21,实际上,任取xM,则必有xnM,使因此xn是M,