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ABDEFMNABDEFMN专题讲解全等三角形中常见辅助线的添加方法(12注意点注意点:双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添加方法在证明过程中描述添加方法2注意点:双添-在图形上添虚线 在证一一一一.连结法连结法连结法连结法一.连结法3一一一一.连结法连结法连结法连结法典例典例1:1:如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD1.1.连结连结ACAC构造全等三角形构造全等三角形2.2.连结连结BDBD构造两个等腰三角形构造两个等腰三角形一.连结法典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=4一一一一.连结法连结法连结法连结法典例典例2:2:如图如图,AB=AE,BC=ED,B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED,B=E,AMCD,求证求证:点点M M是是CDCD的中点的中点.ACBD连结连结ACAC、ADAD构造全等三角形构造全等三角形EM一.连结法典例2:如图,AB=AE,BC=ED,B=E5二二二二.倍长中线法倍长中线法倍长中线法倍长中线法二.倍长中线法6如何利用三角形的中线来构造全等三角形？如何利用三角形的中线来构造全等三角形？如何利用三角形的中线来构造全等三角形？如何利用三角形的中线来构造全等三角形？可可以以利利用用倍倍长长中中线线法法，即即把把中中线线延长一倍，来构造全等三角形。延长一倍，来构造全等三角形。如图，若如图，若AD为为ABC的中线，的中线，必有结论必有结论：ABCDE12 延长延长AD到到E，使，使DE=AD，连结连结BE（也可连结（也可连结CE）。）。ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。如何利用三角形的中线来构造全等三角形？7已知如图已知如图ADAD是是ABCABC的中线，的中线，ABCDE延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADDE=AD，连结连结CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范围？的取值范围？倍长中线已知如图AD是ABC的中线，ABCDE延长AD到点E，使D8三三三三.用角平分线的性质构造全等用角平分线的性质构造全等用角平分线的性质构造全等用角平分线的性质构造全等三.用角平分线的性质构造全等9典例典例1:1:如图如图,ABC,ABC中中,C=90,C=90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6,AD AD平分平分BAC,BAC,则点则点D D到到ABAB的距离等于的距离等于 .ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造全等的构造全等的直角三角形直角三角形BE4 4三三三三.用角平分线的性质构造全等用角平分线的性质构造全等用角平分线的性质构造全等用角平分线的性质构造全等典例1:如图,ABC中,C=90o,BC=10,BD10典例典例2:2:如图如图,梯形中梯形中,A=D=90,A=D=90o o,BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线,求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD过点过点E E作作EFBCEFBC构造全等的构造全等的直角三角形直角三角形BFE还有其他的方法吗？还有其他的方法吗？三三三三.用角平分线的性质构造全等用角平分线的性质构造全等用角平分线的性质构造全等用角平分线的性质构造全等典例2:如图,梯形中,A=D=90o,ACD过点E11四、截长与补短四、截长与补短四、截长与补短12典例典例1 1、已知在、已知在ABCABC中，中，ADAD是是BAC的角平分线的角平分线，C=2B,C=2B,求证求证:AB=AC+CD:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DEF在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD，连接，连接DF四、截长与补短四、截长与补短典例1、已知在ABC中，AD是BAC的角平分线，C13变题：已知在变题：已知在ABCABC中，中，AD AD是是BACBAC的角平分线的角平分线，AB=AC+CD,AB=AC+CD,求证求证:C=2BC=2BA在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DEF在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD，连接，连接DF四、截长与补短四、截长与补短DBCE12变题：已知在ABC中，AD是BAC的角平分线，A在AB14典例典例3 3：如图，已知在四边形：如图，已知在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的角的角平分线，平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：B BA AD D+B BC CD D=180=180DABC3 32 21 1*一题多解一题多解G GR R典例3：如图，已知在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分15DABCE在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，连结，连结DE。12433 32 21 1*典例典例3 3：如图，已知在四边形：如图，已知在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的角的角平分线，平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：B BA AD D+B BC CD D=180=180一题多解一题多解DABCE在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。124316DABCF延长延长BABA到到F F，使，使BF=BCBF=BC，连结，连结DFDF。1243典例典例3 3：如图，已知在四边形：如图，已知在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的角的角平分线，平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：B BA AD D+B BC CD D=180=180一题多解一题多解DABCF延长BA到F，使BF=BC，连结DF。1243典例17DABCM作作DMBCDMBC于于M M，DNBADNBA交交BABA的延长线于的延长线于N N。12N433 32 21 1*典例典例3 3：如图，已知在四边形：如图，已知在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的角的角平分线，平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：B BA AD D+B BC CD D=180=180一题多解一题多解DABCM作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。118典例典例3 3：如图，已知在四边形：如图，已知在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的角的角平分线，平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：B BA AD D+B BC CD D=180=180DABC拓展研究：拓展研究：G GR R如如果果题题中中“BDBD是是ABCABC的的角角平平分分线线”；“AD=CDAD=CD”；“B BA AD D+B BC CD D=180=180”其其中中两两个个作作为为条条件件，另另一一个个作作为为结结论论，能能构构成成几几个个真命题？。真命题？。典例3：如图，已知在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分19五五、周长问题转化、周长问题转化五、周长问题转化201.1.如图如图,ABC,ABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB,DEAB.DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长的周长=五五五五.“周长问题周长问题周长问题周长问题”的转化借助的转化借助的转化借助的转化借助“角平分线性质角平分线性质角平分线性质角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB1.如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分A212.2.如图如图,ABC,ABC中中,D,D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上.若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周长的周长.五五五五.“周长问题周长问题周长问题周长问题”的转化借助的转化借助的转化借助的转化借助“垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分线性质线性质线性质线性质”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC2.如图,ABC中,D在AB的垂直平分线上,五.“周长问22线段与角求相等，先找全等试试看。线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。线段计算和与差，巧用截长补短法。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线至两倍。三角形里有中线，延长中线至两倍。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。线段与角求相等，先找全等试试看。小结23
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