数值分析方法课件

6.1 概述6.2 有限元法6.3 有限差分法6.4 离散元法第六章 岩石力学数值分析方法简介 1.6.1 概述第六章 岩石力学数值分析方法简介 1.数数值计值计算是人算是人类认识类认识世界的新手段。世界的新手段。自理论分析与科学实验之后，数值模拟已成为人类认识世界最重要的手段。它主要用来解决以下两类问题：不可能不可能进进行行实验实验的的问问题题，进进行行实验实验代价太大的代价太大的问题问题。同时它又融和了理论分析和科学试验的特点，数值模拟/仿真已经不再局限于科学计算，正广泛被用在科学研究，工程与生科学研究，工程与生产领产领域域。6.1 概述2.数值计算是人类认识世界的新手段。自理论分析与科学实验之后，数6.1 概述解析方法的障碍解析方法的障碍u岩体是地质结构体，非均质、非连续、非线性、以及复杂的加卸载条件和边界条件，u岩石力学问题通常无法用解析方法简单求解数数值值方法的方法的优势优势u数值方法适用范围广，u能模拟岩体的复杂结构和力学特性，u分析各种边值问题和施工过程u对工程进行预测和预报3.6.1 概述解析方法的障碍3.6.1 概述主要用于研究岩土工程活动和自然环境变化过程中岩体及其加固结构的力学行为和工程活动对周围环境的影响。常用方法:有限元、边界元法、有限差分法、加权余量法、离散元法、刚体元法、不连续变形分析方法、流形方法。前四种基于连续介质力学方法，后三种基于非连续介质力学方法4.6.1 概述主要用于研究岩土工程活动和自然环境变化过程中岩体6.1 概述有限元有限元基于最小总势能变分原理，能方便处理各种非线性问题，灵活模拟岩土工程中复杂的施工过程，在岩石力学领域应用最为广泛边边界元法界元法以表述拜特(Betti)互等定理的积分方程为基础，建立了直接法的基本方程，而基于叠加原理建立了间接法的总体方程；因其前处理工作量少、能有效模型拟远场效应而普遍应用于无界域或半无界域问题的求解有限差分法有限差分法是将问题的基本方程和边界条件以简单、直观的差分形式表述，更易在实际工程中应用。尤以FLAC程序为代表5.6.1 概述有限元基于最小总势能变分原理，能方便处理各种非线离散元离散元是康德尔以刚性离散单元为基本单元，根据牛顿第二定律，提出的一种动态分析方法，既能模拟块体受力后的运动，又能模拟块体本身的受力变形，20世80年代引入我国，在边坡、隧道、采矿等方面有重要应用流形方法流形方法是由石要华等人近期（1992、1996）发展的一种新的数值分析方法。这种方法以拓扑流形和微分流形为基础，在分析域内建立可相互重叠、相交的数学覆盖和覆盖材料全域的物理覆盖，在第一物理覆盖上建立独立的位移函数，将所有覆盖上的独立覆盖函数加权求和，即可得到总体位移函数。然后根据总势能总小原理，建立可以用于处理包括非连续和连续介质的耦合问题，小变形、大位移、大变形等多种问题的求解格式。它是一种具有一般形式的通用数值分析方法，有限元法和不连续变形分析法DDA都可看作是它的特例。6.1 概述6.离散元是康德尔以刚性离散单元为基本单元，根据牛顿第二定律，提主要介绍有限元、有限差分和离散元6.1 概述共同特点：共同特点：将带有边值条件的常微分方程或偏微分方程离散为线性代数方程组，采用适当的求解方法解方程组，获得基本未知量，进而根据几何方程和本构方程，求出研究范围内的其他未知量。但是对于岩石力学与工程问题，还应重视随工程活动和时间变化岩体及加固结构中的节理、裂隙等各种不连续面及其扩展过程和自然环境变化过程的数值仿真模拟。与此同时，应根据实际岩体的赋存环境和工程因素影响情况，确定用于数值分析的计算力学参数。7.主要介绍有限元、有限差分和离散元6.1 概述共同特点：7.开挖Open-cut有限元模拟施工过程8.开挖有限元模拟施工过程8.前前处处理理计计算算机机求求解解后后处处理理区域离散区域离散边边界条件界条件力学参数力学参数应应力分布力分布载载荷位移荷位移变变形大小形大小求解控制求解控制图图像像曲曲线线表格表格编编程程实现实现6.1 概述求解流程求解流程9.前处理计后处理区域离散边界条件力学参数应力分布载荷位移变形大v有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域-飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。v由于其灵活处理边界、模拟非线性，广泛应用于岩石工程领域6.2 有限元法10.有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算v有限元法分析有限元法分析计计算的基本思想：算的基本思想：物体离散化单元特性分析选择位移模式分析单元的力学性质计算等效节点力 单元组集求解未知节点位移6.2 有限元法11.有限元法分析计算的基本思想：6.2 有限元法11.v物体离散化物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实际情况相符合。6.2 有限元法12.物体离散化6.2 有限元法12.v 分析分析单单元的力学性元的力学性质质 根据 单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚 度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。6.2 有限元法三角形三角形6 6结结点点位移位移单单元元 二次位移 线性应变四四边边形形位移位移单单元元 二次位移 线性应变四面体四面体10结结点位移点位移单单元元 二次位移 线性应变六面体六面体2020结结点位移点位移单单元元 二次位移 线性应变13.分析单元的力学性质 根据 单元的材料性质、形状、尺寸、节v选择选择位移模式位移模式位移法：选择节点位移作为基本未 知量称为位移法；力 法：选择节点力作为基本未 知量时称为力法；混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。6.2 有限元法14.选择位移模式6.2 有限元法14.v计计算等效算等效节节点力点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元 传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代 替所有作用在单元上得力。6.2 有限元法15.计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元 v单单元元组组集集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程 v求解未知求解未知节节点位移点位移 可以根据方程组的具体特点来选择合适的 计算方法。6.2 有限元法总体刚度矩阵；总体位移列阵；总体荷载列阵16.单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的v目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有v德国的ASKA、v英国的PAFEC、v法国的SYSTUS、v美 国 的 ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和 STARDYNE等公司的产品。6.2 有限元法17.目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、6.2 有限元法18.6.2 有限元法18.19.19.双双边边缺口缺口试试件件损伤损伤局部化局部化现现象的象的Abaqus数数值值模模拟拟6.2 有限元法20.双边缺口试件损伤局部化现象的Abaqus数值模拟6.2 有限6.2 有限元法64万万单单元的三元的三维维隧道模型并行有限元分析隧道模型并行有限元分析21.6.2 有限元法64万单元的三维隧道模型并行有限元分析21.岩石力学中的有限元法特点节节理理单单元元自然岩体具有各种结构面，如节理、断层等。在进行有限元分析中，对那些与工程结构尺寸相当或更大尺寸的断层和节理，应采用“节理单元”。国内外提出多种节理单元，其中古德曼（Goodman）节理单元是提出最早、应用最广泛的一种。22.岩石力学中的有限元法特点节理单元22.岩石力学中的有限元法特点无拉力分析无拉力分析岩石的“不抗拉”特性可看作是塑性性态的一种表现。若略去很低的抗拉强度，按照无拉力模型所得到的解答将是在任一点都不存在拉应力的无拉力平衡状态。如果不能获得这样的平衡状态，则表明这一系统是不安全的。必须考虑适当的加固措施。这种考虑岩石不抗拉特性的非线性分析，习惯上称为“无拉力”分析。23.岩石力学中的有限元法特点无拉力分析23.岩石力学中的有限元法特点非非线线性分析性分析非线性分析包括几何非线性和材料非线性两种。几何非线性具有非线性的几何关系，而材料非线性具有非线性的应力应变方程。岩石力学问题大多是非线性问题。对于非线性问题，必须经过线性处理，才能进行有限元分析。常用常用线线性化性化处处理方法：理方法：变刚度法 常刚度法24.岩石力学中的有限元法特点非线性分析24.岩石力学中的有限元法特点变刚变刚度法度法分段线性化增量法。把总荷载划分为若干增量，逐级施加荷载增量并每次改变刚度矩阵进行求解。下图可称为一阶自校正法，它是在每一级增量之后，考虑对过量应力作一次较正，然后施加下一级增量进行计算。25.岩石力学中的有限元法特点变刚度法25.岩石力学中的有限元法特点常常刚刚度法度法如初应力法和初应变法，初应力法也可采用增量加载，在每级计算时所用的总刚度矩阵不变，只根据过量等效结点力进行迭代运算如右图所示，一级荷载的迭代过程。其不足之处是当非线性斜率较小，尤其接近理想塑性情况时，收敛速率很慢甚至不收敛。26.岩石力学中的有限元法特点常刚度法26.有限元法求解岩石力学问题的步骤1.确定确定计计算模型算模型根据对称性、材料性质和关心部位的边界尺寸等确定计算模型。如对于一圆拱形隧道，若其受力、几何形状及材料性质均对称于y轴，则可取其1/2作为研究对象，而外边界可根据隧道的跨度和高度确定。通常外边界左右取跨度的35倍，上下取高度的35倍。在所取范围之外可认为不受开挖等施工因素的影响，即在这些边界处可忽略开挖等施工所引起的应力和位移。同时，保证模型不出现刚体位移及转动。27.有限元法求解岩石力学问题的步骤1.确定计算模型27.有限元法求解岩石力学问题的步骤计计算参数确定：算参数确定：a.根据实验确定。实验室确定的力学参数不能直接采用，通常需要进行折减。b.现场实验和实测参数。由现场获得的参数一般也需进行数学上的处理之后才可使用。c.利用量测位移进行反分析确定。28.有限元法求解岩石力学问题的步骤计算参数确定：28.有限元法求解岩石力学问题的步骤2.划分单元根据上面所确定的模型，在比较规则的区域划分四边形单元，复杂区域可选择任意四边形和三角形单元。划分时不能出现同一单元跨过两种材料，避免出现钝角。对于断层、节理应划分为岩体的“节理单元”。单元编号时，应使同一单元的编号的最大差值为最小。应力集中的区域和重点研究的区域单元应密集些。3.选择位移函数。依据单元类型，选择对应的位移插值函数，相同类型单元取同一插值函数。29.有限元法求解岩石力学问题的步骤2.划分单元29.有限元法求解岩石力学问题的步骤4.建立单元刚度矩阵，并进行坐标转换。5.形成总体刚度矩阵。6.荷载等效移置，确定节点力列阵。7.列出有限元基本方程，并根据已知位移对方程进行修正。8.求解总体方程，可获得节点位移。9.利用几何关系和物理方程计算单元的应变和应力。10.绘制计算结果图，以便直观了解分析结果，给出定量的评价，利用有限元法计算结果画出破坏区，应力和位移等值线、应力场和位移场矢量图及所需要某一载面的应力分布曲线和位移分布曲线等。30.有限元法求解岩石力学问题的步骤4.建立单元刚度矩阵，并进行坐n有限差分法主要思想是将待解决问题的基本方程组和边界条件（一般为微分方程）近似的改用差分方程（代数方程）来表示，由有一定规则的空间离散点的处场变量（应力、位移）的代数表达式代替。n有限差分法和有限元法都产生一组待解决的方程组，但两者产生方程组的方式不一样 有限元：插值函数 有限差分：差分代替微分6.3 有限差分法31.有限差分法主要思想是将待解决问题的基本方程组和边界条件（一般6.3 有限差分法设f(x,y)为弹性体内某一个连续函数，在邻近点0处，函数f可以展开为泰勒级数：在结点3和1处，x分别等于x0-h及x0+h，即x-x0分别等于-h和h。将其代入上式得32.6.3 有限差分法设f(x,y)为弹性体内某一个连续函数，在6.3 有限差分法假定h充分小，可以略去三次幂或更次幂的各项，上式可简化为：联立求解得差分公式：同理33.6.3 有限差分法假定h充分小，可以略去三次幂或更次幂的各项6.3 有限差分法利用上式可以推导出混合二阶导数的差分公式：平衡方程平衡方程平衡方程可转化为由各结点的待求量表示的差分方程，结合边界条件即可求解。34.6.3 有限差分法利用上式可以推导出混合二阶导数的差分公式：平衡方程（运动方程）应力-应变关系（本构方程）新的速度和位移新的应力或力商业软件：FLAC2D、FLAC3D6.3 有限差分法35.平衡方程应力-应变关系新的速度和新的应力商业软件：6.3 有FLAC土坡滑动问题36.FLAC土坡滑动问题36.FLAC土坡滑动问题37.FLAC土坡滑动问题37.FLAC土坡滑动问题38.FLAC土坡滑动问题38.FLAC土坡滑动问题39.FLAC土坡滑动问题39.FLAC土坡滑动问题40.FLAC土坡滑动问题40.FLAC土坡滑动问题41.FLAC土坡滑动问题41.FLAC土坡滑动问题42.FLAC土坡滑动问题42.FLAC土坡滑动问题43.FLAC土坡滑动问题43.FLAC3D地下工程稳定性分析44.FLAC3D地下工程稳定性分析44.完全强调岩体的非连续性，认为岩体中的各离散单元，在初始应力作用下各块体保持平衡岩体被表面或内部开挖以后，一部分岩体就存在不平衡力，离散单元法对计算域内的每个块体所受的四周作用力及自重进行不平衡计算，并采用牛顿运动定律确定该岩块内不平衡力引起的速度和位移反复逐个岩块进行类似计算，最终确定岩体在已知荷载作用下是否将破坏或计算出最终稳定体系的累计位移6.4 离散元法45.完全强调岩体的非连续性，认为岩体中的各离散单元，在初始应力作力-位移的关系力F位移u运动方程力边界条件位移边界条件商业软件：UDEC、3DEC、PFC6.4 离散元法46.力-位移的关系力F位移u运动方程力边界条件位移边界条件商业软研究地下煤层开挖引起冒落和岩层移动，研究冒落带深度与节理间距的关系6.4 离散元法47.研究地下煤层开挖引起冒落和岩层移动，研究冒落带深度与节理间距6.4 离散元法48.6.4 离散元法48.49.49.50.50.51.51.52.52.53.53.54.54.破裂破裂问题问题岩石剪切破坏岩石剪切破坏过过程的受力特征程的受力特征PFC55.破裂问题岩石剪切破坏过程的受力特征PFC55.PFC破裂破裂问题问题岩石剪切破坏岩石剪切破坏过过程的受力特征程的受力特征56.PFC破裂问题岩石剪切破坏过程的受力特征56.PFC破裂破裂问题问题岩石剪切破坏岩石剪切破坏过过程的受力特征程的受力特征57.PFC破裂问题岩石剪切破坏过程的受力特征57.崩落放矿的数值仿真58.崩落放矿的数值仿真58.