《数学分析》第十五章傅立叶级数

第 十 五 章 傅 立 叶 级 数 2 正 弦 级 数 与 余 弦 级 数 一 、 奇 函 数 和 偶 函 数 的 傅 里 叶 级 数 (1)当 周 期 为 2 的 奇 函 数 )(xf 展 开 成 傅 里 叶 级 数时 ,它 的 傅 里 叶 系 数 为 ),2,1(sin)(2 ),2,1,0(0 0 nnxdxxfb nann 定 理 一 般 说 来 ,一 个 函 数 的 傅 里 叶 级 数 既 含 有 正弦 项 ,又 含 有 余 弦 项 .但 是 ,也 有 一 些 函 数 的 傅 里 叶级 数 只 含 有 正 弦 项 或 者 只 含 有 常 数 项 和 余 弦 项 . (2)当 周 期 为 2 的 偶 函 数 )(xf 展 开 成 傅 里 叶 级 数 时 ,它 的 傅 里 叶 系 数 为 ),2,1(0 ),2,1,0(cos)(2 0 nb nnxdxxfann证 明 ,)()1( 是 奇 函 数设 xf nxdxxfan cos)(1 0 ),3,2,1,0( n奇 函 数 0 sin)(2 nxdxxf ),3,2,1( n同 理 可 证 (2)定 义 如 果 )(xf 为 奇 函 数 ,傅 氏 级 数 nxbn n sin1称 为 正 弦 级 数 . 如 果 )(xf 为 偶 函 数 , 傅 氏 级 数 nxaa n n cos2 10 称 为 余 弦 级 数 . nxdxxfbn sin)(1 偶 函 数 定 理 证 毕 . 例 1 设 )(xf 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 ,它 在), 上 的 表 达 式 为 xxf )( ,将 )(xf 展 开 成 傅 氏 级 数 .解 所 给 函 数 满 足 狄 利 克 雷 充 分 条 件 . ,),2,1,0()12( 处 不 连 续在 点 kkx 2 )0()0( ff收 敛 于 2 )( ,0),()12( xfkxx 处 收 敛 于在 连 续 点 223 3 xy0 ,2)()12( 为 周 期 的 奇 函 数是 以时 xfkx和函数图象 ),2,1,0(,0 nan 0 sin)(2 nxdxxfbn 0 sin2 nxdxx 02 sincos2 nnxn nxx nncos2 ,)1(2 1 nn ),2,1( n )3sin312sin21(sin2)( xxxxf .sin)1(2 1 1 n n nxn ),3,;( xx )5sin514sin413sin312sin21(sin2 xxxxxy xy 观察两函数图形 例 2 将 周 期 函 数 tEtu sin)( 展 开 成 傅 氏 级 数 ,其 中 E是 正 常 数 .解 所 给 函 数 满 足 狄 利 克 雷 充 分 条 件 , 在 整 个数 轴 上 连 续 .,)( 为 偶 函 数tu ,0 nb 00 )(2 dttua t)(tu0 22 E 0 sin2 tdtE ,4 E),2,1( n 0 cos)(2 ntdttuan 0 cossin2 ntdttE 0 )1sin()1sin( dttntnE 12,0 2,1)2( 42 kn knk E 当当 ),2,1( k 01 )1cos(1 )1cos( n tnn tnE )1( n 01 cos)(2 tdttua 0 cossin2 tdttE ,0 )6cos3514cos1512cos3121(4)( tttEtu )( t.14 2cos212 1 2 n n nxE 二 、 函 数 展 开 成 正 弦 级 数 或 余 弦 级 数非 周 期 函 数 的 周 期 性 开 拓).( 2,0)(xF xf函 数 为 周 期 的延 拓 成 以上定 义 在设 ,0)( 0)()( xxg xxfxF令 ),()2( xFxF 且则 有 如 下 两 种 情 况 .偶 延 拓奇 延 拓 奇 延 拓 : )()( xfxg 0)( 00 0)()( xxf x xxfxF则 xy0 的 傅 氏 正 弦 级 数)(xf 1 sin)( n n nxbxf )0( x 偶 延 拓 : )()( xfxg 0)( 0)()( xxf xxfxF则 的 傅 氏 余 弦 级 数)(xf 10 cos2)( n n nxaaxf )0( x xy0 例 3 将 函 数 )0(1)( xxxf 分 别 展 开 成正 弦 级 数 和 余 弦 级 数 .解 (1)求 正 弦 级 数 . ,)( 进 行 奇 延 拓对 xf 0 sin)(2 nxdxxfbn 0 sin)1(2 nxdxx)coscos1(2 nnn ,6,4,22 ,5,3,122 nn nn 当 当 3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx )0( x 5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(2 xxxxxy 1 xy (2)求 余 弦 级 数 . ,)( 进 行 偶 延 拓对 xf 00 )1(2 dxxa ,2 0 cos)1(2 nxdxxan )1(cos22 nn ,5,3,14 ,6,4,202 nn n当当 5cos513cos31(cos4121 22 xxxx )0( x 1 xy )7cos715cos513cos31(cos412 222 xxxxy 三 、 小 结1、 基 本 内 容 :奇 函 数 和 偶 函 数 的 傅 氏 系 数 ;正 弦 级 数 与 余弦 级 数 ;非 周 期 函 数 的 周 期 性 延 拓 ;2、 需 澄 清 的 几 个 问 题 .(误 认 为 以 下 三 情 况 正 确 )a.只 有 周 期 函 数 才 能 展 成 傅 氏 级 数 ; ;2,0. 的 傅 氏 级 数 唯 一展 成 周 期 为上在 b ).( ,. xfc级 数 处 处 收 敛 于 值 点 时上 连 续 且 只 有 有 限 个 极在 思 考 题 . ,)()(, ,)(定 义 的 函 数 上成 为才 能 使 应 如 何 选 择上 定 义 的 函 数是 在设 BAtftFBA baxf 思 考 题 解 答 ,)( bBAaBA 应 使 .2,2 abBabA 即 一 、 设 )(xf 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 ,它 在 ), 上 的 表 达 式 为 xxx xxf 2,2 22, 2,2)( . 二 、 将 函 数 )0(2)( 2 xxxf 分 别 展 开 成 正 弦 级 数和 余 弦 级 数 . 练 习 题 三 、 将 以 2 为 周 期 的 函 数 2)( xxf 在 ),( 内 展 开 成 傅 里 叶 级 数 ,并 求 级 数 0 1 12 1)1(n n n 的 和 . 四 、 证 明 :当 x0 时 , 1 222 624cosn xxnnx . 一 、 nxnnnxf n n sin2sin2)1()( 1 21 . ),2,1,0,)12( nnx 二 、 nxnnnxf n sin2)2()1(4)( 323 )0( x ； )0(cos)1(832)( 1 22 xnxnxf n n . 三 、 ),(sin1)1(2 1 1 xnxnx n n ； 4 . 练 习 题 答 案