第二章matlab矩阵运算课件

矩阵运算的功能矩阵命令行的基本操作数据的保存与获取矩阵的运算矩阵的特殊操作矩阵分解矩阵运算的功能矩阵命令行的基本操作一、命令行的基本操作一、命令行的基本操作 规则：矩阵元素必须用 括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 在 内矩阵的行与行之间必须 用分号分隔1.创建矩阵的方法创建矩阵的方法直接输入法一、命令行的基本操作 规则：创建矩阵的方法直接输入法rand 随机矩阵eye 单位矩阵zeros 全部元素都为0的矩阵ones 全部元素都为1的矩阵 空阵 matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。用matlab函数创建矩阵rand 随机矩阵用matlab函数创建矩阵 对角矩阵、伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了（MATLAB help matrix）。matlab函数名必须小写matlab严格区分大小写字母，因此a与A是两个不同的变量。注意 对角矩阵、伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、范用冒号创建矩阵冒号的其他用法 用于选出矩阵指定行、列及元素 循环语句。用于生成等间隔的向量，默认间隔为1用冒号创建矩阵冒号的其他用法用于生成等间隔的向量，默认间隔为 矩阵元素可以是任何matlab表达式，可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数i，j 输入。a=1 2 3;4 5 6 x=2 pi/2;sqrt(3)3+5i 2.矩阵元素特点矩阵元素特点 矩阵元素可以是任何matlab表达式，可以是实数，3.矩阵的修改矩阵的修改 直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。指令修改 可以用A(,)=来修改（赋值,见MATLAB help Matrix）。3.矩阵的修改 直接修改例如例如a=1 2 0;3 0 5;7 8 9a=1 2 0 3 0 5 7 8 9a(3,3)=0a=1 2 0 3 0 5 7 8 0还可以用函数subs修改，matlab6.0还可用find函数修改。例如还可以用函数subs修改，matlab6.0还可用fin4.指令行中符号的作用指令行中符号的作用 逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。逗号和分号4.指令行中符号的作用 逗号和分号可作为指令 只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖。当一个指令或矩阵太长时，可用续行注意 只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都 save 将工作空间中所有的变量存到matlab.mat文件中。二、数据的保存与获取二、数据的保存与获取默认文件名 把matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成mat数据文件。save 将工作空间中所有的变量存到matlasave data将工作空间中所有的变量存到data.mat文件中。save data a b 将工作空间中a和b变量存到data.mat文件中。下次运行matlab时即可用load指令调用已生成的mat文件。save data将工作空间中所有的变量存到data.load load data load data a b 即可装载保存过的所有变量 mat文件是标准的二进制文件，还可以ASCII码形式保存。load 即可装载保存过的所有变量 mat文件是标准的规则：相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作三、矩阵运算1.矩阵加、减（,）运算规则：三、矩阵运算矩阵加、减（,）运算c=14 32 23 2.矩阵乘（）运算规则：A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 标量可与任何矩阵相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*bd=-1;0;2;f=pi*df=-3.1416 0 6.2832c=142.矩阵乘（）运算规则：a=1 2 3;4 3.左除与右除运算若AV=I 则V=A-1=inv(A)对于方程 D*X=B inv(D)*D*X=inv(D)*B X=inv(D)*B=DB (左除，逆矩阵左乘)对于方程 X*D=B X*D*inv(D)=B*inv(D)X=B*inv(D)=B/D (右除，逆矩阵右乘)矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在matlab中有两种矩阵除运算3.左除与右除运算若AV=I 矩阵除的运算 a p a 自乘p次幂(相当于a*a*a)方阵方阵1的整数的整数4.矩阵乘方 an,ap,pa对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，a是标量ap使用特征值和特征向量自乘到p次幂；如a,p都是矩阵，ap则无意义。a p a 自乘p次幂(相当于a*a*a)方 a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2 ans=30 36 42 66 81 96 102 126 150当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a a0.5 ans=0.4498+0.7623i 0.5526+0.2068i 0.6555-0.3487i 1.0185+0.0842i 1.2515+0.0228i 1.4844-0.0385i 1.5873-0.5940i 1.9503-0.1611i 2.3134+0.2717i a0.5 数组加减数组加减 a+b a-b5.矩阵的数组运算（点运算）对应元素相加减对应元素相加减 数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同 数组加减5.矩阵的数组运算（点运算）对应元素相加减a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a.*bans=2 8 18 4 15 30 49 72 90 数组乘除数组乘除(，./，.）ab a，b两数组必须有相同的行和列两数组相应元素相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;数组乘除(a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a*bans=25 37 46 55 85 109 85 133 172 a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;a./b=b.aa.b=b./aa./b=b.a 都是a的元素被b的对应元 素除a.b=b./a 都是b的元素被a的对应元 素除例:a=1 2 3;b=4 5 6;c1=a.b;c2=b./ac1=4.0000 2.5000 2.0000c2=4.0000 2.5000 2.0000 给出a,b对应元素间的商.a./b=b.a 给出a,b对应元素间的商.例:a=1 2 3;b=4 5 6;z=a.2z=1.00 4.00 9.00z=a.bz=1.00 32.00 729.00数组乘方数组乘方(.)元素对元素的幂元素对元素的幂例:数组乘方(.)元素对元素的幂inv 矩阵求逆det 行列式的值eig 矩阵的特征值diag 对角矩阵 矩阵转置sqrt 矩阵开方6.矩阵的其它运算 P36 23表inv 矩阵求逆6.矩阵的其它运算 P36 23表关系运算 关系符号意义=小于小于或等于大于大于或等于等于不等于逻辑运算 关系符号意义&|与或非其他逻辑关系函数p36 2-2表关系运算 关系符号意义m时，此方程成为“超定”方程 当nm时，此方程成为“欠定”方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程五、代数方程组求解matlab中有两种除运算左除和右除。1.恰定方程组的解方程ax=b(a为非奇异)x=a-1*b 矩阵逆两种解:x=inv(a)b 采用求逆运算解方程 x=ab 采用左除运算解方程 1.恰定方程组的解方程ax=b(a为非奇异)方程ax=ba=1 2;2 3;b=8;13;x=inv(a)*b x=ab x=x=2.00 2.00 3.00 3.00 =a x =b例:x1+2x2=8 2x1+3x2=13方程ax=b 2.超定方程组的解方程 ax=b,mn时此时不存在唯一解。方程解(a a)x=a b x=(a a)-1 a b 求逆法 x=ab matlab用最小二乘法找一 个准确地基本解。2.超定方程组的解方程 ax=b,mn时此时不存在唯一解例:x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=3a=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3;解1 x=ab 解2 x=inv(aa)a b x=x=1.00 1.00 0 0.00 =a x =b例:x1+2x2=1 3.欠定方程组的解 当方程数少于未知量个数时,即不定情况,有无穷多个解存在。matlab可求出两个解：用除法求的解x是具有最多零元素的解是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆pinv求得的。3.欠定方程组的解 当方程数少于未知量个数时,即不定 x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2a=1 2 3;2 3 4;b=1;2;x=ab x=pinv(a)b x=x=1.00 0.83 0 0.33 0 -0.17=a x =b x1+2x2+3x3=1=a x =六、微分方程求解微分方程求解的仿真算法有多种，常用的有Euler（欧拉法）、Runge Kutta(龙 格-库塔法。Euler法称一步法，用于一阶微分方程六、微分方程求解微分方程求解的仿真算法有多种，常用的有Eul当给定仿真步长时：所以 yn+1=yn+hf(xn,yn)n=0,1,2 y(x0)=y0当给定仿真步长时：Runge Kutta法龙格-库塔法：实际上取两点斜率的平均 斜率来计算的，其精度高于欧拉算法。龙格-库塔法：ode23 ode45 k1=hf(xn,yn)k2=hf(xn+h,yn+k1)Runge Kutta法k1=hf(xn,yn)例：x+(x2-1)x+x=0为方便令x1=x，x2=x分别对x1,x2求一阶导数，整理后写成一阶微分方程组形式 x1=x2 x2=x2(1-x12)-x11.建立m文件2.解微分方程例：x+(x2-1)x+x=0建立m文件function xdot=wf(t,x)xdot=zeros(2,1)xdot(1)=x(2)xdot(2)=x(2)*(1-x(1)2)-x(1)给定区间、初始值;求解微分方程t0=0;tf=20;x0=0 0.25;t,x=ode23(wf,t0,tf,x0)plot(t,x),figure(2),plot(x(:,1),x(:,2)建立m文件命令格式:T,Y=ODE23(ODEFUN,TSPAN,Y0)建立m文件function dxdt=wf(t,x)dxdt=x(2);x(2)*(1-x(1)2)-x(1);求解微分方程t,x=ode23(wf,0 30,0 0.25);plot(t,x);figure(2)plot(x(:,1),x(:,2)命令格式:第二章matlab矩阵运算课件七、函数优化寻优函数：fmin 单变量函数fmins 多变量函数constr 有约束条件无约束条件无约束条件七、函数优化无约束条件例1：f(x)=x2+3x+2在-5 5区间的最小值f=fmin(x2+3*x+2,-5,5)例2：f(x)=100(x2-x12)2+(a-x1)2在x1=a,x2=a2处有最小值function f=xun(x,a)f=100*(x(2)-x(1).2).2+(a-x(1).2;x=fmins(xun,0,0,sqrt(2)例1：f(x)=x2+3x+2在-5 5区间的最小八、数据分析与插值函数max 各列最大值各列最大值 mean 各列平均值各列平均值sum 各列求和各列求和std 各列标准差各列标准差var 各列方差各列方差sort 各列递增排序各列递增排序八、数据分析与插值函数max 各列最大值 九、拟合与插值1.多项式拟合x0=0:0.1:1；y0=-.447 1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01 4.58 3.45 5.35 9.22;p=polyfit(x0,y0,3)p=56.6915 -87.1174 40.0070 -0.9043xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,-b,x0,y0,or)九、拟合与插值1.多项式拟合2.插值插值的定义是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。Matlab提供了一维、二维、三次样条等许多插值选择2.插值table1 table2 intep1 interp2 spline v利用已知点确定未知点v粗糙 精确v集合大的 简化的插值函数插值函数table1 插值函数小 结 本节介绍了matlab语言的数值运算功能，通过学习应该掌握：如何创建矩阵、修改矩阵符号的用法矩阵及数组运算多项式运算线性方程组与微分运算小 结