第三章多自由度体系的振动课件

1转置 3.3 主振型的正交性和正则坐标 两式相减1转置 3.3 主振型的正交性和正则坐标 两式相减12另一个正交关系式：振型的正交关系式（orthogonality relation）相对于质量矩阵 M来说，不同频率相应的主振型是彼此正交的。主振型第一正交条件 3.3 主振型的正交性和正则坐标 两个正交关系式是建立在st 基础的。相对于刚度矩阵 K来说，不同频率相应的主振型是彼此正交的。主振型第二正交条件2另一个正交关系式：振型的正交关系式（orthogonali23 Ms和Ks分别称为第s个主振型相应的广义质量(generalized mass)和广义刚度(generalized stiffness）对于s=t的情形，令:3.3 主振型的正交性和正则坐标 每个主振型都有相应的广义质量 和广义刚度。3 Ms和Ks分别称为第s个主振型相应的广义质量(ge34 3.3 主振型的正交性和正则坐标 可以利用广义质量Ms和广义刚度Ks计算多自由度体系的第s个自由振频率 。由广义刚度和广义质量求频率的公式。是单自由度体系频率公式的推广。4 3.3 主振型的正交性和正则坐标 可以利用45例：图示体系的刚度矩阵K和质量矩阵M为：解：（1）演算第一正交性。m2mmk三个主振型分别如下，演算正交性。3.3 主振型的正交性和正则坐标 5例：图示体系的刚度矩阵K和质量矩阵M为：解：（1）56（2）演算第二正交性。同理：同理：3.3 主振型的正交性和正则坐标 6（2）演算第二正交性。同理：同理：3.3 主振型的正67 对任意一个位移向量y，将其写成主振型的线性组合：将 左乘方程的两边:3.3 主振型的正交性和正则坐标 可将任一位移按主振型展开。由主振型的正交性：7 对任意一个位移向量y，将其写成主振型的线性组合78主振型正交的物理意义：1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表达式为：3.3 主振型的正交性和正则坐标 8主振型正交的物理意义：1）每一主振型相应的惯性力在其他主振893）各个主振型都能够单独出现，彼此间线性无关。主振型正交的物理意义：2）当一体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的振动。3.3 主振型的正交性和正则坐标 1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表达式为：93）各个主振型都能够单独出现，彼此间线性无关。主振型正交的910 2、重根时的正交性问题 3.3 主振型的正交性和正则坐标 设频率方程具有一个二重根，即两个主振型 和 对应的固有频率彼此相等，记为 ，而其他频率都彼此不同。（a）（b）是一个与频率 对应的主振型向量。10 2、重根时的正交性问题 3.3 主振型的正交1011取一个由 和 组成的新的主振型，即 3.3 主振型的正交性和正则坐标 如果两个主振型 和 彼此不正交，即 和 就是两个彼此正交的主振型。11取一个由 和 1112 由于 与其余 不相等，与 对应的任意一个主振型 都与其余频率的主振型 (i=3,4,n)彼此正交。3.3 主振型的正交性和正则坐标 在具有n个自由度的体系中，即使在频率方程中出现两重根，仍然可以选到n个主振型，使它们彼此正交。n个自由度的体系一定有n个彼此正交的主振型。12 由于 与其余 1213 对于n个自由度体系，将n个彼此无关的主振型向量组成一个方阵：3、主振型矩阵和正则坐标称为主振型矩阵（modal matrix）。3.3 主振型的正交性和正则坐标 13 对于n个自由度体系，将n个彼此无关的主振型向量组成1314 利用主振型矩阵和主振型的正交性，可以得到:3.3 主振型的正交性和正则坐标 14 利用主振型矩阵和主振型的正交性，可以得到:3.1415 为广义刚度，对角矩阵 称为广义刚度矩阵。对角矩阵 称为广义质量矩阵。3.3 主振型的正交性和正则坐标 矩阵 中的非对角元素全为零，对角线的元素就是广义质量15 为广义刚度，对角矩阵 称1516n 个自由度体系的振动方程：质量矩阵M和刚度矩阵K都是对角矩阵，方程组就是n个独立的方程，每个方程只有一个未知量。相当于求解n个单自由度体系的振动问题。3.3 主振型的正交性和正则坐标 质量矩阵M和刚度矩阵K不是对角矩阵。方程是一个耦合方程。16n 个自由度体系的振动方程：质量矩阵M和刚度矩阵K1617设一个坐标变换：3.3 主振型的正交性和正则坐标 为主振型矩阵；为质点位移向量，称为几何坐标；称为正则坐标(normalized coordinate)向量。将坐标变换式代入振动方程，并左乘 ，得17设一个坐标变换：3.3 主振型的正交性和正则坐标 1718利用广义质量矩阵和广义刚度矩阵的定义，有利用正则变换，可以把一个n元联立方程组简化为n个独立的一元方程，将一个具有n个自由度的结构体系的耦合振动问题简化为n个独立的单自由度体系的振动问题，计算工作大为简化。解耦条件：（1）线性结构（2）M、K具有正交性 3.3 主振型的正交性和正则坐标 18利用广义质量矩阵和广义刚度矩阵的定义，有利用正则变换，可18191、柔度法（忽略阻尼）因为在简谐荷载作用下，荷载频率在共振区之外，阻尼影响很小；在共振区之内时，阻尼虽对振幅影响很大，但都能反映共振现象。.P（2）动位移的解答及讨论通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动，由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动。（1）建立振动微分方程各简谐荷载频率相同相位相同，否则用其他方法 3.4 两个自由度体系的强迫振动 tPsintPsiny1y2191、柔度法（忽略阻尼）.P（2）动位移的解答及讨1920n个自由度体系，存在n个可能的共振点设纯强迫振动解答为：代入：20n个自由度体系，存在n个可能的共振点设纯强迫振动解答为：2021（3）动内力幅值的计算.荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为动内力幅值。或用叠加公式求：由Y1，Y2值可求得位移和惯性力。惯性力的幅值为：代入位移幅值方程可得求惯性力幅值的方程（直接求惯性力幅值）21（3）动内力幅值的计算.荷载、位移、惯性力2122P1=1P2=1例：图示简支梁EI=常数,=0.751求动位移幅值和动弯矩幅值。解：1)求柔度系数P2)作MP图，求1P 2PtPsinl/4l/4l/2mm22P1=1P2=1例：图示简支梁EI=常数,=0.752223P1=1P2=1P5)计算动内力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd 图1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd 图6)比较动力系数 因此，多自由度体系没有统一的动力系数。23P1=1P2=1P5)计算动内力I1=0.6808PPI23242、刚度法y1(t)y2(t)在平稳阶段,各质点也作简谐振动:Y1=D1/D0Y2=D2/D0求得位移幅值Y1、Y2,计算惯性力幅值I1=m12Y1 I2=m22Y2。将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上，按静力计算方法求得动内力幅值。.P1(t)P2(t)242、刚度法y1(t)y2(t)在平稳阶段,各质点也作简谐2425求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。hPsintm EI=m EI=EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求刚度系数2)求位移幅值25求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值25263)求惯性力幅值0.10.075位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA263)求惯性力幅值0.10.075位移幅值P1.6P1.22627例:m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：P1=P，P2=0 ，求刚度系数：k11=k1+k2,k21=k2 ,k22=k2,k12=k2当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w27例:m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧27283.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0两个质点的位移动力系数不同。当 趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况。283.0-2.0-3.000.6183.01.6182.02830kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力yst1=yst2=P/k层间剪力:Qst1=P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值2mY22mY1由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力:30kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内3031例：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k11=k1+k2,k21=k2 ,k22=k2,k12=k2m1k1m2k2这说明在图a结构上，适当加以m2、k2系统可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。a图31例：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧3132 例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)Psint解：1）频率比在共振区之内应设置吸振器。2）k2m232 例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中3233 多自由度体系，无阻尼强迫振动微分方程为:3.5 多自由度体系的强迫振动 1、无阻尼情形设正则变换:左乘第i阶模态的主振型向量的转置 :33 多自由度体系，无阻尼强迫振动微分方程为:3334广义质量Mi、广义刚度Ki和广义荷载Pi(t)由主振型的正交性可知:3.5 多自由度体系的强迫振动 34广义质量Mi、广义刚度Ki和广义荷载Pi(t)由主振型的3435 对于结构的每一个主振型，可以用上述方法求得一个独立的单自由度方程。采用正则坐标变换将质量和刚度矩阵中有非对角项耦合的n个联立方程组转换成n个独立的正则坐标方程。3.5 多自由度体系的强迫振动 35 对于结构的每一个主振型，可以用上述方法求得一个独立3536振型叠加法:确定结构体系动力响应：1、求解每一个正则坐标的响应，2、按 式叠加。得到用原始坐标表示的响应，这种方法称为振型叠加法（modal analysis）3.5 多自由度体系的强迫振动 36振型叠加法:3.5 多自由度体系的强迫振动 3637方程的全解为：只有物理坐标 的初始条件。进行适当的数学处理。一般初始条件：3.5 多自由度体系的强迫振动 需要正则坐标的初始值 和 。37方程的全解为：只有物理坐标 的初始条件3738两边左乘 3.5 多自由度体系的强迫振动 38两边左乘 3.5 多自由度体系的强迫振动 3839 n个自由度体系，在粘滞阻尼的影响下，振动微分方程为:2、有阻尼情形阻尼矩阵 3.5 多自由度体系的强迫振动 Cij 表示质量点i单位速度在点j所产生的阻尼力，称为阻尼影响系数。39 n个自由度体系，在粘滞阻尼的影响下，振动微分方程为3940设正则变换:左乘 3.5 多自由度体系的强迫振动 40设正则变换:左乘 3.5 多自由度体系的强迫振动 4041Mi、Ki、和Pi(t)分别为广义质量、广义刚度和广义荷载.由主振型的正交性条件可知：假定对阻尼矩阵C，正交性条件也满足，即 3.5 多自由度体系的强迫振动 41Mi、Ki、和Pi(t)分别为广义质量、广义刚度和广4142 假设阻尼矩阵C是质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合，即:称为广义阻尼，其表达式为 3.5 多自由度体系的强迫振动 a和b两个常数，这种阻尼形式称为瑞利阻尼(Rayleigh damping)或比例阻尼(proportional damping)。42 假设阻尼矩阵C是质量矩阵M和刚度矩阵K4243引入正则坐标变换后，阻尼矩阵C也变成一个对角矩阵 ：3.5 多自由度体系的强迫振动 两边同除以Mi:一般根据实测资料来确定常数 a和b。43引入正则坐标变换后，阻尼矩阵C也变成一个对角矩阵 4344 3.5 多自由度体系的强迫振动 已知 和 ，以及实测得到的阻尼比 和 则有:44 3.5 多自由度体系的强迫振动 已知 4445在零初始条件下，振动方程正则坐标响应为:3.5 多自由度体系的强迫振动 利用正则坐标变换即可得质点位移响应 。45在零初始条件下，振动方程正则坐标响应为:3.5 多45