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談數學領域創意教學 左太政/國立高雄師範大學數學系 九年一貫課程修正版數學學習領域的教學總體目標 n培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。n學習應用問題的解題方法。n奠定下一階段的數學基礎。n培養欣賞數學的態度與能力。九年一貫課程數學學習領域修正版國民中學階段目標n能理解坐標的表示,並熟練代數的運算及數的四則運算。n能理解三角形及圓的基本幾何性質,並學習簡單的幾何推理。n能理解統計、機率的意義,並認識各種簡易統計方法。九年一貫課程數學學習領域之教學要求n數學教學應注重數、量、形的聯繫，讓學生在實作、實測與直覺中，獲得數、量、形及其相互關係的概念，n逐步抽象化與程序化成為精鍊有效的數學語言，再經由反思、論證、練習與解題，讓學生逐步穩定掌握其概念，並在熟練中建立更高層之具體數學直覺。九年一貫課程數學學習領域之教學要求n教師應協助學生體驗生活情境與數學的連結過程，培養學生能以數學的觀點考察周遭事物的習慣，n培養學生觀察問題中的數學意涵、特性與關係，養成以數學的方式，將問題表徵為數學問題再加以解決的習慣，以提高應用數學知識的能力。n同時在發展解題策略的過程中，加深對數學概念之理解。九年一貫課程數學學習領域之教學要求簡言之:n以學生的生活經驗為出發；n以學生的學習為主。創意教學的意義n所謂的創意教學，就是教師將創造力表現於教學中，不會按照相同既定模式進行教學。n創意的本身，本來就沒有固定的模式，會因事物的發展和需要產生相對應的變化。創意教學的意義n一個有創意的教師會不斷調整自己的教學方式，讓學生覺得學習是有趣的，使教學達到最高的成效。n創意教學並非單指某一種教學過程或是全新的教學方法，是一種透過教師不斷的自我充實發揮創造力，去重視學生的需求和感受，最終能激發學生主動學習參與知識探索的能力。創意教學的目的 n提升數學領域教師研究能力，改進教學方式。n養成積極進修的專業精神，增進教師專業能力，提升教學品質。n提供務實的教學理念與精熟的教學技巧，發展不同的教學模式。n教師皆有充分能力成為各該學習領域的課程設計者與課程研究者。創意教學的積極做法n教師要用多元、富有彈性的教學方法，來增強學生學習的效果。n教師要營造一個民主、開放、溫馨的學習環境，和學生能夠維持一個良好的師生互動關係。創意教學的積極做法(續)n教師要學會善用各式教學媒體，不再只使用傳統講述教學。n利用資訊科技的教學媒體來呈現教材，所產生的聲光刺激，會是吸引學生注意力和增加學生學習效果的好方法。創意教學的積極做法(續)n雖然使用多元媒體是個好事，但根據媒體理論，使用教學媒體還是得適量，因為太多聲光刺激反而會造成學生分心的反效果。n教師要重視學生動機的引起，才能讓學生的學習產生持久性，往後造成有意義的學習。創意教學的積極做法(續)n教師要透過不同的教學評量來衡量學生的學習成效，並非只是紙筆測驗。因為紙筆測驗所能衡量出學生的學習能力，僅特定某幾項。n教師要鼓勵學生主動參與、分組討論，讓學生確實能參與各項學習活動。教師要扮演一個引導者的角色，讓學生理解學習是他的事情，方能確實提昇教學的功效。創意教學的方法n資訊融入數學科教學n數學史融入數學科教學n電腦及電算器輔助教學n行動研究之教學方式創意教學的流程n選取適當的題材n選擇教學方式n設計教學活動n設計學習單n評估學生學習情形及成效自何處尋找適當題材n數學或科學書籍、報紙、期刊及雜誌等。n利用網際網路資源。作中學 透過教具模型及遊戲依下列方式的操作可促進學習數學概念:n自由玩耍(free play)n有規律遊戲(Games)n找尋共同結構(Searching for communalities)n描述或圖示(Representation)n符號化(Symbolization)n公式化(Formalization)數學概念獲得之程序n檢驗n察覺n發現規律n歸納結果n驗證正因數的遊戲請依下列步驟進行：n請寫出36的所有正因數(36 除外)。n將上題的所有的正因數相加而成另一數 A；其次，請寫出A的所有正因數(A除外)。n再將上題的所有正因數相加而成另一數 B,再次寫出B的所有正因數(B除外)。n重覆上面的步驟,繼續作下去,請問最後的結果會是如何?n仿照上面的做法,請檢驗72,220是否有相同的結果？倍數的遊戲n請畫出一個邊長為4單位的正方形,並將此正方形折出16個邊長為1單位的小正方形。n請將 0,1,2,9這九個數分別填入小正方形空格上,每個空格只能填一個數字,且不得重覆;再將0,1,2,6填入其餘四個空格內,最後兩個空格分別填上4,5。n將上面所得的四個數(每一橫列表示一個數)相加,並求其總和。n請學生在總和中任意兩個數字中間(或頭,或尾)插入自1,2,9中的一個數字,並將此新的數告知老師,那麼老師很快會告訴你所加入的數字是多少,請問老師為什麼會知道?試說明理由。範例:質數問題（一）n能否將 1 到 27 這27個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?n適合學生共同討論解題質數問題（一）n能否將 1 到 27 這27個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?n答:不可能;為什麼?質數問題（二）n自 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中選出 8個相異數字排在一個圓周上,使得任意相鄰二數之和皆為質數,排好後可以從任意兩個數字之間切開,依順時針方向讀這些八位數,試問其中可能讀到之最大數是多少?n適合學生共同討論解題神奇的數字n我們可用數字1,2,3,9這九個數字組成下列各單位分數:神奇的數字（續）神奇的數字（續）想想看n上述結果如何得到?n是否還有其他的解?是否可能辦到?n用0,1,2,3,4,9填入下列空格內，每個空格只能填一個數字:質數問題（三）n類題:能否將 1 到 20 這20個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?(適合學生共同討論解題)提示:可以辦到，是否有解題策略?趣味數論n在 66 的正方形內36個小方格，每個小方格分別填上一個正整數使得每一個 41及14的長方形內的整數之和必為偶數，且全部整數和為奇數。試問是否可能?n類題:如果是1010又如何呢?趣味數論n已知 =0.1666,試求滿足條件 =0.的所有異於零的數字 與 的值。趣味數論n已知 =0.1666,試求滿足條件 =0.的所有異於零的數字 與 的值。答:範例:日本分油的問題n1628年首次在毛利重能的割算書中提出分油問題:n油桶中裝滿油一斗(十公升)，今另有七公升及三公升的容器二個，試問如何使用此三個容器將十公升的油平分成各五公升?參考解法n 10 7 3n(1)10 0 0n(2)1 7 2n(3)8 0 2n(4)8 2 0n(5)5 5 0三容器問題:1612年Bachet 的著作n設有三個沒有刻度的容器,其容量分別為 3 公升,5 公升,及 8公升,現在只有 8 公升容器中已裝滿了純水,請利用這三個容器進行操作(可以將一個容器中的純水倒到另一個或二個容器中),是否可以使得其中某一個容器中的純水恰為 4 公升?如果可以,請列出操作過程並說明之。如果不可以,請說明理由。參考解法n 8 5 3n(1)5 0 3n(2)5 3 0n(3)2 3 3n(4)2 5 1n(5)7 0 1n(6)7 1 0n(7)4 1 3容量問題n承上題(只有 8 公升容器中裝滿了水),試運用上述三個容器能否量出 1 至 8 公升的各個容量,請分別寫出可以量出和無法量出的容量。n承上題，三個沒有刻度的容器,其容量分別為 a公升,b公升,及c公升(只有a公升容器中裝滿了水),，請討論可能量出的情形。n參考網站:www.cut-the-knot.org/content.htmln由上述的問題，如何延伸及推廣成科展題材?n即藉由a,b,c之關係討論如何做平分a 的容量?創新教學實例說明n承上題(只有 8 公升容器中裝滿了水),試運用上述三個容器能否量出 1 至 8 公升的各個容量,請分別寫出可以量出和無法量出的容量。創新教學實例說明n如何平分任意一個已知角?請說明理由。n是否能只用一把可以量距離的直尺平分任意一個已知角?請說明理由。創新教學實例說明n如果沒有圓規，你會利用何種物品畫圓?n一圓沒畫圓心，請問以何種方式來決定圓心?n幾何知識之統整，答案有多種創新教學實例說明n紙張尺寸大小為 等其長寬比為何?請說明理由。提示:請學生先猜測並去估計其比值 操作題n已知三個數 ,進行下面一次的操作:首先任取其中的二個數求其和，再除以 ；另外，求這二數的差再除以 ，而得到新的二個數。試問：能否經過若干次上述的操作，最後得到？試說明理由。參考解答n設三數分別為 ,經過一次操作後得 到新的三數 :n因為 即每操作一次，仍保持此三數的平方和不變。n但 ，故不可能辦到。魯斯-阿倫數對 （Ruth-Aaron pairs）n貝比魯斯（abe Ruth,1895-1948）自1914年至1935年在美國職棒大聯盟曾打過 Boston Red Sox,New York Yankees,Boston Braves,於1935年締造全壘打支記錄；於1936年入選 The Hall of Fame by BBWAA。魯斯-阿倫數對 （Ruth-Aaron pairs）n漢克阿倫（Hank Aaron,1934-）自1954年至1976年在美國職棒大聯盟曾打過 Milwaukee and Atlanta Braves,Milwaukee Braves,於1974年創下全壘打715支；他退休時締造美國職棒全壘打紀錄：755支，於1982年入選 The Hall of Fame by BBWAA。魯斯-阿倫數對 （Ruth-Aaron pairs）n將714及715這二數因數分解：魯斯-阿倫數對 （Ruth-Aaron pairs）n發現這二數的乘積正好是前七個質數的乘積：且這二數的質因數之和又正好相等，即 魯斯-阿倫數對 （Ruth-Aaron pairs）n凡具有這種性質的二連續正整數稱作魯斯-阿倫數對；n這種數對利用電腦搜尋20000以內，只有26對魯斯-阿倫數對，其中最小的是5和6，最大的是18490和18491。最後由匈牙利數學家Erdos（匈牙利，1913-1996，專長於組合、圖論與數論，學術論文有1475篇。尤其對數論有極大貢獻，是近代偉大數學家之一。）證明這種魯斯-阿倫數對有無窮多對。史密斯數：起源於一個電話號碼n在1982 年Lehigh University 的艾柏特韋蘭斯基（Albert Wilansky發現其姊夫史密斯（H.Smith）的電話號碼有一個特殊的性質，即它的各個數字之和正好等於它的質因數的各個數字之和。史密斯數：起源於一個電話號碼n史密斯的電話號碼是 439-7775，因數分解後為 此號碼的數字和為 此號碼的各質因數之數字和為n凡是具有這樣性質的正整數稱作史密斯數，例如9985,6036都是史密斯數，已知最小的史密斯數是4。卡布列克數(Die R.Kaprekar,印度數學家,1905-1986?)n在 1949 年時,Kaprekar 發現 6174 滿足下列性質:(1)給一個四位數,其每個數字皆相異 (即 abcd,其中 abc NODPF(n)時,則n 稱為經濟數。例如:125=5.快樂數(Happy Numbers)n如果一個正整數n的數字之平方和m是1,則停止;如不是,重覆前面的做法直至1 出現,這樣的n 稱為快樂數。n例如:7 49 97 130 10 1,所以 7 是快樂數,但4不是快樂數。n問題 1、能否找出所有快樂數在正整數中的密度?大約為。n問題 2、在連續兩個快樂數之間隔的數目可以任意多?n問題 3、能找出多大的快樂數?從鐘面數談起-將整數分組的概念問題：已知鐘面上有 12 個數分別為 1,2,3,12.今將這些數中間用加號或減號連起來，使結果為零，試問應如何填法？共有幾種不同填法？從鐘面數談起-將整數分組的概念問題：已知鐘面上有 12 個數分別為 1,2,3,12.今將這些數中間用加號或減號連起來，使結果為零，試問應如何填法？共有幾種不同填法？思考:可先考慮正負號整數和相等。從鐘面數談起-將整數分組的概念問題：試求所有可能正整數n使得1,n能被分成三組且每組之數的和相同?思考:可先考慮三組個數相同。從鐘面數談起-將整數分組的概念 將 這些數中間用加號或減號連起來，試問其結果為最小的非負正整數為多少？從鐘面數談起-將整數分組的概念 將 這些數中間用加號或減號連起來，試問其結果為最小的非負正整數為多少？Ans:1,利用平方差公式分析n如若將連續兩數之平方相減，則可得到差為兩數之和，其與下一組的差為4，如此一來，共可得到n4,4,4,4,4,4,4,1，共501個4，和1個1，使其兩兩為一組，其差為0，而最後相減之後可得到一數為3，但此並非最小，故需將最後10組中的4提出來，使之變成4+4+4+4-9-5-1n類題 將 這些數中間用加號或減號連起來，試問其結果為最小的非負正整數為多少？從鐘面數談起-將整數分組的概念n已知有 128 個數分別為 今將這些數分為四組,使每組皆有 32 個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?參考解法(分組方式)nA B C D從鐘面數談起-將整數分組的概念n已知有 81 個數分別為 今將這些數分為三組,使每組皆有 27 個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?趣味性題材n有 7 個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。(1)規定每一次運動時，正好翻動其中任意四個，試問經過若干次 運動後，全部杯口是否都會朝下?(2)同上，規定每一次運動時，正好翻動其中任意六個，試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下?(提示：可考慮從杯子數少時如 2,3,4,5,6 個分別討論並記錄其結果)趣味性題材n有 8 個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意七個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?n如何推廣上述問題?即什麼情形下可以做到,什麼情形下不可以做到?翻動紙杯(硬幣)問題n如果有 n個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意k個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?n除了n為奇數，k為偶數外其餘皆可辦到。n提問:至少翻動幾次?。可以這樣提問n老師給二個正整數 ，使得 亦是整數，n(1)小明稱 必可b 被的任一質因數所整除，試證小明的觀點是正確的。n(2)小明稱 ，試問他的觀點是否正確？實作範例 n試將下列表格分割成相同的四個部分，且使各部分空格內的整數之和都是34。19167125411815102136314實作範例 n下圖為一個直角梯形，試在此梯形的內部劃一條直線將此梯形分割成二個形狀相同且面積相等的圖形。實作範例n下圖為一個正六邊形，試過一頂點再此正六邊形的內部化二條直線，將此正六邊形分割成三個面積相等的圖形並說明理由。從一則題目談數列n一個21的長方形骨牌是將兩個正方形以邊對邊的方式相連接。我們打算用八片骨牌舖滿28的棋盤，每片骨牌可以水平或垂直的方式放置，如圖:n試問共有多少種不同的舖蓋方式？費伯納希數列n費伯納希（Fibonacci,1170-1250,Italy）於1202年提出此數列 n1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,n問題:設有十級階梯(自樓板面算起),今要求上樓時每一步走一階或二階,試問共有少種不同的上樓方式?如何推廣其結果?費伯納希數列n設有大小形狀都相同的一堆硬幣,今打算將這些硬幣依下列規則來排列成若干橫排:n(1)每一橫排中的所有硬幣必須彼此相切(即 外切);n(2)除最底部的一列外,每一橫排中的任何一個硬幣必須與下一排的兩個硬幣相切(即上一排中硬幣的個數少於下一排硬幣的個數)。n設 表示 個硬幣所有可能排法的個數,試求 .並問如何推廣上述結果?費伯納希數列n同上題,設 表示將若干個硬幣依上題規則排列之所有可能排法的個數,但最底部的一列必須是個硬幣,試求 ;並觀察 與 的關係。n如何推廣上述結果?推廣n試找出所有可能實數數列 使其滿足遞迴關係式：其中 這是一個極複雜的問題。費伯納希數列的一般項nFibonacci 數列的第 項為:.n(本公式最早由Euler在1765年發表，其後在1843年由Binet再重整理發表。)n試證:為正整數,.同時,試證：.Lucas 數列nLucas 數列的第 項為:n .n試證:為正整數,.數學歸納法的應用-河內塔(Hanoi Tower)n 已知一河內塔上有 3 根小木條，n最左一根木條排列著n個大小不同的圓盤，由小而大且由上而下排列;n若規定一次只能移動一個圓盤且小的圓盤必須在大的圓盤的上面,n試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至中間那一根小木條上？數學歸納法的應用-河內塔(Hanoi Tower)(參考解法):設 f(n)表示 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至另一根小木條上所需最少次數,n則我們得知 f(1)=1,f(2)=3,且由操作過程中得到nf(n)=2 f(n-1)+1(遞迴關係式),n故 ,n=1,2,3,。河內塔(Hanoi Tower)n承上題，已知一河內塔上有3 根小木條,最左一根木條排列著 n 個大小不同的圓盤,由小而大且由上而下排列，若規定一次只能移動一個圓盤，小的圓盤必須在大的圓盤的上面，且僅能將圓盤移動至旁邊位置(不可跳著移動)的小木條上,試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至中間的小木條上？(提示:)主題二、河內塔(Hanoi Tower)n將河內塔上的3 根小木條依序排列在一圓周上，分別標上號碼 1,2,3,如果 1 號一根木條排列著 n 個大小不同的圓盤，由小而大且由上而下排列，且規定一次只能依順時針方向移動一個圓盤，試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至 3 號小木條上?2 號小木條上?主題二、河內塔(Hanoi Tower)n已知一河內塔上有 n 根小木條，最左一根木條排列著 n 個大小不同的圓盤，由小而大且由上而下排列，若規定一次只能移動一個圓盤，試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至另一根小木條上？n試分別討論上述問題中 n 個大小不同的圓盤改成 n 個大小一樣但塗上兩種、三種等不同顏色的圓盤。河內塔(Hanoi Tower)n探討河內塔與九連環之相關性。n九連環之遞迴關係式為三角板趣題n一套三角板裡有二個不同度數的三角板:一個三角板的三內角分別是n另一個三角板的三內角分別是n試問使用此二個三角板上的內角能畫出多少個不同角度的角來?三角板趣題n試問如何作一個正方形使其面積正好等於此二個三角板的面積和？n如何用一付三角板求 和 的三角函數值？備註:如何發展成科展或獨利研究的 題材?如何摺出正方體？（探索實驗）n請問如何製作一個長為7單位，寬為1單位的長方形?是否能在不剪段此長方形的情形下摺成邊長為1 單位的正方體？試說明理由。如何摺出正方體？（探索實驗）n請問如何製作出一個正方形有 9個小正方形格子摺痕?試問如何利用剪刀剪最少的情形下折成一個正方體使得此正方形紙張的同一面是所摺成的正方體的表面？思考問題n已知AB二城市之間相隔一個大池塘，無法直接測量，但為使能測量出AB二城市之間的距離，請提出可行的方案。n已知AB二城市之間相隔一個大池塘，無法直接測量，但為使能測量出AB二城市之間的距離，請提出可行的方案。n可實施分組討論教學法，以幾何方法解決。n例如相似三角形、作直角三角形、作特殊角三角形、平行四邊形或梯形。思考問題n已知梯形ABCD,上下底長不相等，試問需加上何種條件使得此梯形為等腰？思考問題n已知梯形ABCD,上下底長不相等，試問需加上何種條件使得此梯形為等腰？n分有輔助線及沒有輔助線二種情形 探索實驗n能否利用12根長為1公分的牙籤拼成面積分別為2,3,4,5,6 平方公分的圖形？探索實驗n能否利用12根長為1公分的牙籤拼成面積分別為2,3,4,5,6 平方公分的圖形？探索實驗n能否利用12根長為1公分的牙籤拼成面積分別為2,3,4,5,6 平方公分的圖形？探索實驗n面積為6平方公分的圖形利用12根長為1公分的牙籤拼成圖形n面積為5平方公分的圖形利用12根長為1公分的牙籤拼成圖形n面積為4平方公分的圖形利用12根長為1公分的牙籤拼成圖形n面積為3平方公分的圖形(不止二種)利用12根長為1公分的牙籤拼成圖形n面積為2平方公分的圖形古中國遊戲-七巧板n1813年最早出現在中國書籍內，但問題早於此年代即有n如何利用一張正方形紙張製作七巧板?n七巧板教學:n創意n思考n造型n幾何知識.七巧板探索思考題n試問一個鈍角三角形至少可以分割成多少個銳角三角形？（提示：至少七個）n試問一個直角三角形至少可以分割成多少個銳角三角形？（提示：至少七個）n試問是否可將一個正方形分割成若干個銳角三角形？若可以，試求其分割方法；若不能，試說明理由。實驗幾何問題n將長方形 的邊 及 各取一點 ，以 為折線，使得頂點 落到 之中點 ，如果 ，試求 實驗幾何問題n在長方形 中，若將此長方形折疊使點 與點 重合，則折線 的長度為何?實驗幾何問題(推廣)n將一張長方形紙張作折疊，使得這長方形的一個頂點落在與該頂點不相鄰的邊上。試問需如何折方能使摺痕為最長?最短?實驗幾何問題n在長方形 中，連接 ，將 折向 與 重合，得一折線 ，其中 為 上的點，若 ，試求 及如何將正三角形切割後重拼成正方形 參考拼法如何將正五邊形切割後重拼成正方形 參考拼法如何將正六邊形切割後重拼成正方形 參考拼法如何將正六邊形切割後重拼成正方形 參考拼法如何將正八邊形切割後重拼成正方形 參考拼法如何將正十二邊形切割後重拼成正方形 參考拼法如何將星形切割後重拼成正方形 參考拼法如何將下列圖形沿線切割後重拼成正方形 參考拼法如下二圖，試將圖（a）切割成三個圖形，並重拼成圖（b），並請說明理由。圖（a）圖（b）參考解答創造力範例(操作題)n如何利用六張大小相同紙張使得一瓶礦泉水離開桌面越高越好且能支撐此瓶礦泉水的時間愈長愈好?n需考慮創意、造型 參考解答 趣味摺紙n如何利用十二張正方形紙張折成正立方體正立方體
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