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1一课一贴一课一贴很多时候我们会沮丧、会绝望、会抓狂、很多时候我们会沮丧、会绝望、会抓狂、会会，但是，更多时候我们内心中那小，但是，更多时候我们内心中那小强一般的生命力会支持我们接下来的日子。强一般的生命力会支持我们接下来的日子。其实，你没有自己认为那样差劲！其实，你没有自己认为那样差劲！2第二章第二章 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理2-1 2-1 随机误差随机误差2-2 2-2 系统误差系统误差2-3 2-3 粗大误差粗大误差2-4 2-4 测量结果的数据处理实例测量结果的数据处理实例由于误差存在的必然性，为提高测量精度，尽可能消除或由于误差存在的必然性，为提高测量精度，尽可能消除或减少误差，须分析误差性质、出现规律、产生原因、发现减少误差，须分析误差性质、出现规律、产生原因、发现或减小它们的方法以及测量结果的评定等。或减小它们的方法以及测量结果的评定等。32-1 2-1 随机误差随机误差一、随机误差的产生原因一、随机误差的产生原因随机误差又称随机误差又称偶然误差偶然误差，其，其特点特点是前一个误差出现后，不能预定下一是前一个误差出现后，不能预定下一个误差的大小和方向，但总体而言具有统计规律性个误差的大小和方向，但总体而言具有统计规律性。产生原因产生原因：测量装置方面的因素；（零部件配合的不稳定、变形、摩擦）测量装置方面的因素；（零部件配合的不稳定、变形、摩擦）测量环境方面的因素；（温度的微小变化、光照强度变化、灰尘）测量环境方面的因素；（温度的微小变化、光照强度变化、灰尘）人员方面的因素。（瞄准、读数的不稳定）人员方面的因素。（瞄准、读数的不稳定）二、正态分布二、正态分布若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则随机误差一般具有下列特若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则随机误差一般具有下列特点：点：对称性对称性：绝对值相等的正误差和负误差出项的次数相等；：绝对值相等的正误差和负误差出项的次数相等；单峰性单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多；：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多；4 若服从正态分布，则密度函数为：若服从正态分布，则密度函数为：其分布函数为其分布函数为：其中，其中，为标准差（或均方根误差），为标准差（或均方根误差），e=2.7182e=2.7182有界性有界性：在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限；：在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限；抵偿性抵偿性：随测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于：随测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于0。具有上述特点的分布函数为正态分布，因此具有上述特点的分布函数为正态分布，因此多数随机误差都服从正多数随机误差都服从正态分布态分布。设被测量的真值为设被测量的真值为L0，测得值为，测得值为Li,则测量列中的随即误差则测量列中的随即误差i为：为：5因此，方差为：因此，方差为：数学期望为：数学期望为：平均误差为：平均误差为：平均误差为右边面积重心的横坐标，或然误差为平均右半平均误差为右边面积重心的横坐标，或然误差为平均右半部面积的横坐标。部面积的横坐标。三、算术平均值三、算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，以对某一量进行一系列等精度测量，以全部测得值的算术平均全部测得值的算术平均值值作为最后的测量结果。作为最后的测量结果。6（一）算术平均值的意义（一）算术平均值的意义7（二）算术平均值的计算校核（二）算术平均值的计算校核8910例例1、测量某直径测量某直径10次，得到结果如下，求算术平均值次，得到结果如下，求算术平均值并校核。（单位并校核。（单位mm）1879.64,1879.69,1879.60,1879.69,1879.57,1879.62,1879.64,1879.65,1879.64,1879.65。注意：注意：解题步解题步骤、校骤、校核！核！11四、测量的标准差四、测量的标准差简称为简称为标准差标准差，也称为，也称为均方根误差均方根误差。（一）单次测量标准差（一）单次测量标准差 由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一般皆不相同，它们围绕着该测量列的算术平均值有一定的般皆不相同，它们围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散，此分散度说明测量列中分散，此分散度说明测量列中单次测得值的不可靠性单次测得值的不可靠性，而，而评定这种不可靠性常用评定这种不可靠性常用标准差标准差。它不是每次测量的随机。它不是每次测量的随机误差，而是反映随机误差的分散程度误差，而是反映随机误差的分散程度。121314（二）测量列算术平均值的标准差二）测量列算术平均值的标准差15（三）标准差的其他计算法（三）标准差的其他计算法 除贝塞尔公式外，计算标准差除贝塞尔公式外，计算标准差还还有别捷尔斯法有别捷尔斯法、极差法极差法和和最大误差法最大误差法1617几种方法比较：几种方法比较：贝塞尔公式一般用于测量数据较多时用贝塞尔公式一般用于测量数据较多时用(n10)；别捷尔斯法、极差法、最大误差法一般用于测量次数较少时别捷尔斯法、极差法、最大误差法一般用于测量次数较少时（n10)；当需要迅速知道测量标准差时用极差法、最大误差法；当需要迅速知道测量标准差时用极差法、最大误差法；在一些代价较高的破坏性实验中，只进行一次实验，要尽可在一些代价较高的破坏性实验中，只进行一次实验，要尽可能精确估计其精度时，最大误差法有明显的优势；能精确估计其精度时，最大误差法有明显的优势；从可靠性来看贝塞尔公式最高，当几种方法出现冲突时，以从可靠性来看贝塞尔公式最高，当几种方法出现冲突时，以贝塞尔公式为准。贝塞尔公式为准。例例2,仍用例仍用例1的测量数据的测量数据,分别用这四种方法计算测量列单分别用这四种方法计算测量列单次测量标准差。（见笔记本次测量标准差。（见笔记本P12，板书，板书）18五、测量的极限误差五、测量的极限误差又称极端误差，最大误差，表示测量结果的误差不超过该误差又称极端误差，最大误差，表示测量结果的误差不超过该误差的概率为的概率为p，而超出的概率，而超出的概率1-p可忽略。可忽略。（一）单次测量的极限误差（一）单次测量的极限误差一般当测量列测量次数较多且单次测量误差为正态分布时，由一般当测量列测量次数较多且单次测量误差为正态分布时，由概率论知识，可求出单次测量的极限误差。由于随机误差正态概率论知识，可求出单次测量的极限误差。由于随机误差正态分布曲线所包容的面积相当于全部误差出现的概率，即：分布曲线所包容的面积相当于全部误差出现的概率，即：1920（二）算术平均值的极限误差（二）算术平均值的极限误差21例例3、测量某电路电流共、测量某电路电流共5次，测得数据分别为：次，测得数据分别为：168.41，168.54，168.59，168.40，168.50，试给出可，试给出可靠的测量结果（单位为靠的测量结果（单位为mA）（见笔记）（见笔记P13、板书）、板书）22六、不等精度测量六、不等精度测量不等精度测量是指为得到更精确的测量结果，往往在不同的不等精度测量是指为得到更精确的测量结果，往往在不同的测量条件下，测量条件下，用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数及不同的测量者用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数及不同的测量者进行进行测量与对比。测量与对比。常见的不等精度测量有两种情况：常见的不等精度测量有两种情况：用不同测量次数进行对比测量。用不同测量次数进行对比测量。用不同精度的仪器进行对比测量。用不同精度的仪器进行对比测量。显然，最后的测量结果及其精度，不能套用等精度测量的计算方法。显然，最后的测量结果及其精度，不能套用等精度测量的计算方法。（一）权的概念（一）权的概念在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，这个在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，这个可靠程度可靠程度可可用一数值表示，即用一数值表示，即“权权”记为记为p。因此测量数据的权可理解为：。因此测量数据的权可理解为：当它与另当它与另一些测量数据比较时对最后的测量结果所给予的信赖程度。一些测量数据比较时对最后的测量结果所给予的信赖程度。一般希望可靠程度大的数据在最后结果中所占的比重大一些，而可靠程一般希望可靠程度大的数据在最后结果中所占的比重大一些，而可靠程度小的占的比重小一些。度小的占的比重小一些。23（二）权的确定方法（二）权的确定方法一般可按测量条件的优劣、测量仪器和测量方法所能达到的精度高低、重一般可按测量条件的优劣、测量仪器和测量方法所能达到的精度高低、重复测量次数的多少以及测量者水平高低来确定权的大小，即测量方法愈完复测量次数的多少以及测量者水平高低来确定权的大小，即测量方法愈完善，测量精度愈高，测量者愈有经验，其所得结果权也愈大。常用的方法善，测量精度愈高，测量者愈有经验，其所得结果权也愈大。常用的方法有：有：按测量次数来确定按测量次数来确定：当测量条件和测量者水平都不变时，则测量次数愈：当测量条件和测量者水平都不变时，则测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此可用测量次数来确定权的大小。即多，其可靠程度也愈大，因此可用测量次数来确定权的大小。即Pi=ni。按标准差来确定按标准差来确定：设同一个被测量有：设同一个被测量有m组不等精度的测量结果，这组不等精度的测量结果，这m组组测量是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平测量是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。即：等精度测量，单次测量标准差为均值。即：等精度测量，单次测量标准差为。24表明：每组测量结果的权与相应的标准差平方成反比，是一无量纲表明：每组测量结果的权与相应的标准差平方成反比，是一无量纲的数，通常可化为整数比。的数，通常可化为整数比。（三）加权算术平均值（三）加权算术平均值2526（四）单位权的概念（四）单位权的概念因此，在不等精度测量中，为计算需要，可将因此，在不等精度测量中，为计算需要，可将不等精度测不等精度测量列转化为等精度测量列量列转化为等精度测量列，用等精度测量的计算公式来处，用等精度测量的计算公式来处理不等精度。采用的方法是使权数不同的不等精度测量列理不等精度。采用的方法是使权数不同的不等精度测量列转化为具有单位权的等精度测量列，即转化为具有单位权的等精度测量列，即单位权化单位权化。27（五）加权算术平均值的标准差（五）加权算术平均值的标准差加权算术加权算术平均值标平均值标准差准差28由残余误差由残余误差求出加权算求出加权算术平均值的术平均值的标准差标准差29例例4、工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为：到工作基准米尺的平均长度为：999.9425mm（三次（三次测量的），测量的），999.9416mm（两次测量的），（两次测量的），999419mm（五次测量的），求最后测量结果。（五次测量的），求最后测量结果。(见笔见笔记记p16，板书），板书）30七、随机误差的其他分布七、随机误差的其他分布 随着误差研究的深入和应用的广泛，发现许多随机误差呈随着误差研究的深入和应用的广泛，发现许多随机误差呈现非正态分布，其实际分布较为复杂，常见的其他分布有：现非正态分布，其实际分布较为复杂，常见的其他分布有：（一）均匀分布（一）均匀分布 又称又称矩形分布矩形分布或或等概率分布等概率分布。其特点是：误差有一确定的。其特点是：误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等。如仪器度盘刻范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等。如仪器度盘刻度误差所引起的误差；仪器传动机构的空程误差；数据计算中度误差所引起的误差；仪器传动机构的空程误差；数据计算中的舍入误差等均为均匀分布。的舍入误差等均为均匀分布。31（二）反正弦分布（二）反正弦分布 其其特点特点是：该随机误差与某一角度成正弦关系。如仪器度盘偏是：该随机误差与某一角度成正弦关系。如仪器度盘偏心引起的角度测量误差；电子测量中的谐振的振幅误差等均为反正心引起的角度测量误差；电子测量中的谐振的振幅误差等均为反正弦分布。弦分布。（三）三角形分布（三）三角形分布 当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时，其和的当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时，其和的分布规律服从三角形分布，又称辛普逊（分布规律服从三角形分布，又称辛普逊（Simpson)分布。如进分布。如进行两次测量过程时数据凑整的误差；用代替法检定标准砝码、标准行两次测量过程时数据凑整的误差；用代替法检定标准砝码、标准电阻时，两次调零不准所引起的误差，均为三角形分布。电阻时，两次调零不准所引起的误差，均为三角形分布。32（四）（四）分布分布（五）（五）t分布分布33（六）（六）F分布分布
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