误差理论及数据处理课件

绪绪 论论实验误差及数据处理实验误差及数据处理 康康 耘耘 2012.03.-2012.122012.03.-2012.12 绪绪 论论 物物理理学学是是一一门门实实验验科科学学。物物理理概概念念的的确确定定,物物理理规规律律的的发发现现、建建立立和和检检验验，都都是是通通过过实实验验结结果果概概括括出出来来的的。因因此此，从从古古至至今今物物理理实实验验在在物物理理学学的的创创立立和和发发展展上上都都占占有有十十分分重重要要的的地地位位。物物物物理理理理学学学学作作作作为为为为许许许许多多多多应应应应用用用用科科科科学学学学的的的的基基基基础础础础，在在在在科科科科技技技技发发发发展展展展中中中中的的的的重重重重要要要要作作作作用用用用益益益益加加加加凸凸凸凸现现现现。而而而而物物物物理理理理实实实实验验验验在在在在物物物物理理理理学学学学的的的的建建建建立立立立和和和和发发发发展展展展中中中中一一一一直起着重要的作用。直起着重要的作用。直起着重要的作用。直起着重要的作用。从从从从人人人人们们们们认认认认识识识识客客客客观观观观事事事事物物物物的的的的规规规规律律律律来来来来看看看看总总总总是是是是先先先先从从从从实实实实验验验验事事事事实实实实出出出出发发发发，经经经经过过过过分分分分析析析析和和和和归归归归纳纳纳纳，上上上上升升升升为为为为理理理理论论论论，然然然然后后后后再再再再回回回回到到到到实实实实验验验验中中中中去去去去指指指指导实践，并接受实践的检验。导实践，并接受实践的检验。导实践，并接受实践的检验。导实践，并接受实践的检验。绪绪 论论 比比比比如如如如，使使使使上上上上世世世世纪纪纪纪物物物物理理理理学学学学大大大大放放放放异异异异彩彩彩彩的的的的MaxwelldMaxwelldMaxwelldMaxwelld的的的的电电电电磁磁磁磁理理理理论论论论，EinsteinEinsteinEinsteinEinstein的的的的相相相相对对对对论论论论，RutherfordRutherfordRutherfordRutherford和和和和BohrBohrBohrBohr的的的的原原原原子子子子模模模模型型型型，SchrodingerSchrodingerSchrodingerSchrodinger和和和和HeisenbergHeisenbergHeisenbergHeisenberg等等等等人人人人的的的的量量量量子子子子学学学学说说说说，它它它它们们们们无无无无一一一一不不不不是是是是以以以以实实实实验验验验中中中中的的的的新新新新发发发发现现现现为为为为依依依依据据据据，而又都被进一步的实验所验证。而又都被进一步的实验所验证。而又都被进一步的实验所验证。而又都被进一步的实验所验证。再再再再回回回回顾顾顾顾从从从从1901190119011901年年年年至至至至今今今今的的的的诺诺诺诺贝贝贝贝尔尔尔尔物物物物理理理理学学学学奖奖奖奖，超超超超过过过过73%73%73%73%的的的的获获获获奖奖奖奖者者者者都都都都是是是是从从从从事事事事实实实实验验验验物物物物理理理理方方方方面面面面工工工工作作作作的的的的。由由由由此此此此可可可可见见见见，物物物物理理理理实实实实验验验验在在在在物物物物理理理理学学学学中中中中占占占占有有有有重重重重要要要要的的的的地地地地位位位位。所所以以我我们们要要重重视视物物理理实实验验。尤尤其其是是想想从从事事科科学学研研究究的的同同学。学。物理实验的具体任务物理实验的具体任务 通通过过对对实实验验现现象象的的观观察察、分分析析和和对对物物理理量量的的测测量量，学学习习物理知识，加深对物理学原理的理解。物理知识，加深对物理学原理的理解。培培养养和和提提高高科科学学实实验验能能力力，其其中中包包括括：能能够够自自行行阅阅读读实实验验教教材材，做做好好实实验验前前的的准准备备；能能够够借借助助教教材材与与说说明明书书，正正确确使使用用常常用用仪仪器器；能能够够运运用用物物理理学学原原理理对对实实验验现现象象进进行行初初步步分分析析判判断断；能能够够正正确确记记录录和和处处理理实实验验数数据据，说说明明实实验验结结果果，撰撰写写合合格格实验报告、能够完成一般性设计实验报告、能够完成一般性设计实验实验。培培养养和和提提高高学学生生的的科科学学实实验验素素养养，要要求求学学生生具具有有理理论论联联系系实实际际和和事事实实求求是是的的科科学学作作风风，严严肃肃认认真真的的工工作作态态度度，勇勇于于探探索索、坚坚忍忍不不拔拔的的钻钻研研精精神神以以及及遵遵守守纪纪律律、团团结结协协作作、爱爱护护公公物物的优良品德。的优良品德。实验前认真预习实验前认真预习 首首首首先先先先，在在在在实实实实验验验验前前前前，大大大大家家家家应应应应该该该该仔仔仔仔细细细细阅阅阅阅读读读读实实实实验验验验讲讲讲讲义义义义和和和和有有有有关关关关资资资资料料料料，弄弄弄弄清清清清实实实实验验验验目目目目的的的的和和和和实实实实验验验验原原原原理理理理，搞搞搞搞清清清清楚楚楚楚本本本本次次次次实实实实验验验验要要要要测测测测量量量量什什什什么么么么量量量量，使使使使用用用用什什什什么么么么方方方方法法法法，需需需需要要要要那那那那些些些些仪仪仪仪器器器器，主主主主要要要要的的的的操操操操作作作作步步步步骤骤骤骤及及及及注注注注意意意意事项。事项。事项。事项。然后在此基础上写好预习报告。然后在此基础上写好预习报告。然后在此基础上写好预习报告。然后在此基础上写好预习报告。到实验室做实验到实验室做实验 进入实验室后，大家应遵守实验室有关规章制度，爱护进入实验室后，大家应遵守实验室有关规章制度，爱护进入实验室后，大家应遵守实验室有关规章制度，爱护进入实验室后，大家应遵守实验室有关规章制度，爱护仪器设备，注意安全。动手之前要先了解仪器的性能、规格、仪器设备，注意安全。动手之前要先了解仪器的性能、规格、仪器设备，注意安全。动手之前要先了解仪器的性能、规格、仪器设备，注意安全。动手之前要先了解仪器的性能、规格、使用方法和操作规则，请勿乱搬硬扭。在实验中，要脑手并使用方法和操作规则，请勿乱搬硬扭。在实验中，要脑手并使用方法和操作规则，请勿乱搬硬扭。在实验中，要脑手并使用方法和操作规则，请勿乱搬硬扭。在实验中，要脑手并用，在进行某些操作之前，可先想一想会出现什么样的结果，用，在进行某些操作之前，可先想一想会出现什么样的结果，用，在进行某些操作之前，可先想一想会出现什么样的结果，用，在进行某些操作之前，可先想一想会出现什么样的结果，然后再看看是否和预期的相符合，如果不相符合，要仔细分然后再看看是否和预期的相符合，如果不相符合，要仔细分然后再看看是否和预期的相符合，如果不相符合，要仔细分然后再看看是否和预期的相符合，如果不相符合，要仔细分析原因，找出改进措施，绝不能拼凑数据。同时，要注意观析原因，找出改进措施，绝不能拼凑数据。同时，要注意观析原因，找出改进措施，绝不能拼凑数据。同时，要注意观析原因，找出改进措施，绝不能拼凑数据。同时，要注意观察实验现象，这些现象说明了什么问题，什么样的现象表明察实验现象，这些现象说明了什么问题，什么样的现象表明察实验现象，这些现象说明了什么问题，什么样的现象表明察实验现象，这些现象说明了什么问题，什么样的现象表明调节已达到规定的要求调节已达到规定的要求调节已达到规定的要求调节已达到规定的要求。在在在在实实实实验验验验中中中中可可可可能能能能遇遇遇遇到到到到一一一一些些些些问问问问题题题题，这这这这是是是是大大大大家家家家应应应应看看看看作作作作是是是是学学学学习习习习的的的的良良良良机机机机，要要要要冷冷冷冷静静静静地地地地分分分分析析析析和和和和处处处处理理理理之之之之，如如如如果果果果自自自自己己己己不不不不能能能能解解解解决决决决，可可可可请请请请教教教教指指指指导导导导教教教教师师师师或或或或与与与与其其其其讨讨讨讨论论论论。对对对对待待待待实实实实验验验验数数数数据据据据要要要要严严严严肃肃肃肃认认认认真真真真、一一一一丝丝丝丝不不不不苟苟苟苟，要要要要用用用用钢钢钢钢笔笔笔笔或或或或圆圆圆圆珠珠珠珠笔笔笔笔记记记记录录录录好好好好原原原原始始始始数数数数据据据据，做做做做到到到到准准准准确确确确、清清清清楚楚楚楚、有有有有次次次次序序序序，做做做做完完完完实实实实验验验验后后后后，要要要要将将将将实实实实验验验验数数数数据据据据交交交交指指指指导导导导教教教教师师师师检检检检查查查查，得得得得到到到到认认认认可可可可后后后后，再再再再将将将将仪器整理复原，方可离开实验室。仪器整理复原，方可离开实验室。仪器整理复原，方可离开实验室。仪器整理复原，方可离开实验室。写好实验报告写好实验报告 实实实实验验验验报报报报告告告告是是是是对对对对实实实实验验验验的的的的全全全全面面面面总总总总结结结结，是是是是培培培培养养养养实实实实验验验验能能能能力力力力的的的的一一一一个个个个方方方方面面面面。要要要要求求求求简简简简明明明明扼扼扼扼要要要要，叙叙叙叙述述述述准准准准确确确确，图图图图表表表表规规规规范范范范，结结结结果果果果正正正正确确确确，分分分分析析析析透透透透彻，文字通顺，字迹工整。并且要按时交实验报告。彻，文字通顺，字迹工整。并且要按时交实验报告。彻，文字通顺，字迹工整。并且要按时交实验报告。彻，文字通顺，字迹工整。并且要按时交实验报告。实实实实验验验验报报报报告告告告内内内内容容容容主主主主要要要要包包包包括括括括：实实实实验验验验目目目目的的的的，实实实实验验验验原原原原理理理理，实实实实验验验验设设设设备备备备、仪仪仪仪器器器器及及及及材材材材料料料料，实实实实验验验验步步步步骤骤骤骤，数数数数据据据据处处处处理理理理，实实实实验验验验结结结结果果果果分析及问题讨论。分析及问题讨论。分析及问题讨论。分析及问题讨论。一、物理实验项目成绩的评定。一、物理实验项目成绩的评定。一、物理实验项目成绩的评定。一、物理实验项目成绩的评定。实验项目成绩以百分制记分，小于实验项目成绩以百分制记分，小于实验项目成绩以百分制记分，小于实验项目成绩以百分制记分，小于60606060分，该项目学分记分，该项目学分记分，该项目学分记分，该项目学分记为为为为0 0 0 0分，等于或大于分，等于或大于分，等于或大于分，等于或大于60606060分获得该项目学分。分获得该项目学分。分获得该项目学分。分获得该项目学分。二、物理实验课程成绩的评定。二、物理实验课程成绩的评定。二、物理实验课程成绩的评定。二、物理实验课程成绩的评定。必修物理实验项目必须等于或大于必修物理实验项目必须等于或大于必修物理实验项目必须等于或大于必修物理实验项目必须等于或大于60606060分，否则，最后分，否则，最后分，否则，最后分，否则，最后物理实验课程成绩记为物理实验课程成绩记为物理实验课程成绩记为物理实验课程成绩记为0 0 0 0分。分。分。分。所获得的物理实验项目总学分必须等于或大于物理实所获得的物理实验项目总学分必须等于或大于物理实所获得的物理实验项目总学分必须等于或大于物理实所获得的物理实验项目总学分必须等于或大于物理实验课程学分。验课程学分。验课程学分。验课程学分。在满足在满足在满足在满足和和和和的前提下，课程成绩按以下公式计算。的前提下，课程成绩按以下公式计算。的前提下，课程成绩按以下公式计算。的前提下，课程成绩按以下公式计算。课程成绩课程成绩=(=(项目学分项目学分项目学分项目学分*项目成绩项目成绩项目成绩项目成绩)获得的总学分获得的总学分获得的总学分获得的总学分物理实验成绩评定细则物理实验成绩评定细则第一章第一章 误差理论及数据处理误差理论及数据处理 通过实验测量所得大批数据是实验的主要成果，但在实通过实验测量所得大批数据是实验的主要成果，但在实验中，由于测量仪表、测量方法、周围环境和人的观察等方验中，由于测量仪表、测量方法、周围环境和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，所以在整理这些数据面的原因，实验数据总存在一些误差，所以在整理这些数据时，首先应对实验数据的可靠性进行客观的评定。时，首先应对实验数据的可靠性进行客观的评定。误差分析的目的就是评定实验数据的精确或误差误差分析的目的就是评定实验数据的精确或误差.通过误通过误差分析，可以认清误差的来源及其影响，并设法排除数据中差分析，可以认清误差的来源及其影响，并设法排除数据中所包含的无效成分，还可进一步改进实验方案。在实验中注所包含的无效成分，还可进一步改进实验方案。在实验中注意哪些是影响实验精确度的主要方面，这对正确地组织实验意哪些是影响实验精确度的主要方面，这对正确地组织实验方法、正确评判实验结果和设计方案，从而提高实验的精确方法、正确评判实验结果和设计方案，从而提高实验的精确性具有重要的指导意义。性具有重要的指导意义。第一章第一章 误差理论及数据处理误差理论及数据处理 第一节第一节 测量与误差测量与误差 第二节第二节 系统误差及修正系统误差及修正 第三节第三节 随机误差及评估随机误差及评估 第四节第四节 不确定度及传递不确定度及传递 第五节第五节 有效数字及运算规则有效数字及运算规则 第六节第六节 实验数据处理实验数据处理第第 一一 节节 测测 量量 与与 误误 差差 一一 .测量的定义及分类测量的定义及分类 测测量量就就是是把把被被测测量量和和体体现现计计量量单单位位的的标标准准量量进进行行比比较较的的过过程程。按按获获得得数数据据的的方方法法可可分分为为：直直接接测测量量与与间间接接测测量量；按按测测量量条条件件可可分分为为：等等精精度度测测量与非等精度测量。量与非等精度测量。直接测量直接测量：由仪器标尺读数直接获得被测量值的测量。：由仪器标尺读数直接获得被测量值的测量。间间接接测测量量：由由几几个个直直接接测测得得量量经经已已知知函函数数关关系系计计算算出出被被测测量量值值的的测测量量。如，用单摆的摆长和振动周期测重力加速度等。如，用单摆的摆长和振动周期测重力加速度等。注：间接测量量在一定条件也可以进行直接测量。注：间接测量量在一定条件也可以进行直接测量。等等精精度度测测量量：影影响响测测量量结结果果的的各各种种条条件件，在在测测量量过过程程中中不不发发生生改改变变的的测测量量。反反之之，则则为为非非等等精精度度测测量量。我我们们的的物物理理实实验验进进行行的的测测量量多多数数是是等等精精度测量；非等精度测量常用在科学研究和重要的精密测量等工作中。度测量；非等精度测量常用在科学研究和重要的精密测量等工作中。二二 .误差的定义、来源及分类误差的定义、来源及分类 1.误差的定义：测量值与真值的差称为误差误差的定义：测量值与真值的差称为误差 真真值值是是客客观观存存在在的的，它它只只是是一一个个期期望望值值，一一般般不不可可能能准准确确地地知知道道，为为对误差进行估计，真值常用下几种情况代替。对误差进行估计，真值常用下几种情况代替。(1)理论值：如三角形得三个内角之和为理论值：如三角形得三个内角之和为180度度 (2)公公认认值值：世世界界公公认认的的一一些些常常数数值值，如如普普朗朗克克常常数数，电电子子的的电电量量，摩摩尔气体常量等。尔气体常量等。(3)相对真值：用准确度高一个量级的仪器校准的测定值。相对真值：用准确度高一个量级的仪器校准的测定值。(4)n次次测测量量的的算算术术平平均均值值：对对一一个个不不变变的的量量进进行行n次次测测量量后后，其其算算术术平均值可视为真值的最佳估计值。平均值可视为真值的最佳估计值。其中，用算术平均值代替真值计算的误差，我们把它称之为偏差。其中，用算术平均值代替真值计算的误差，我们把它称之为偏差。显然，误差与偏差是有区别的。显然，误差与偏差是有区别的。2.2.误差的来源及分类误差的来源及分类 任何测量中都存在着误差，其主要来源有以下几个方面：任何测量中都存在着误差，其主要来源有以下几个方面：(1)(1)仪仪器器误误差差。如如:标标准准电电池池电电压压随随放放电电时时间间延延长长而而降降低低，受受热热膨膨胀胀的的钢尺测量长度等带来的误差。钢尺测量长度等带来的误差。(2)(2)方方法法误误差差。如如:用用单单摆摆测测重重力力加加速速度度，要要求求摆摆角角趋趋近近零零而而得得不不到到满满足时引起的误差等。足时引起的误差等。(3)(3)环环境境误误差差。如如:温温度度、湿湿度度、气气压压、振振动动、光光照照、电电磁磁场场等等偏偏离离要要求的标准状态时引起的误差。求的标准状态时引起的误差。(4)(4)人员误差。人员误差。如如:生理上的变化带来的误差等。生理上的变化带来的误差等。(5)(5)被测对象的变化带来的误差。被测对象的变化带来的误差。根据误差的特征和表现形式，我们可将误差分为根据误差的特征和表现形式，我们可将误差分为系统误差系统误差和和随机误差随机误差。系系统统误误差差：在在同同一一条条件件下下多多次次测测量量同同一一量量时时，误误差差的的大大小小和和方方向向保保持持不不变变；或或在在改改变变条条件件时时，按按某某一一确确定定规规律律变变化化的的误误差差，称称为为系系统统误误差差。它它的的特特点点是是恒恒定定性性，因因此此不不能能通通过过多多次次重重复复测测量量来来减减小小或或消消除除它它。系系统统误误差差主要来源于仪器误差、方法误差、环境误差等。主要来源于仪器误差、方法误差、环境误差等。随随机机误误差差：消消除除或或修修正正系系统统误误差差之之后后，在在同同一一条条件件下下对对同同一一对对象象进进行行多多次次测测量量，每每次次出出现现的的误误差差的的大大小小和和正正负负没没有有确确定定的的规规律律，但但总总体体来来说说仍仍服服从从一一定定的的统统计计规规律律的的误误差差,称称为为随随机机误差。它的特点是随机性。误差。它的特点是随机性。系统误差与随机误差的区别系统误差与随机误差的区别 系系统统误误差差：恒恒定定的的，原原则则上上可可以以消消除除，但但不不能能通通过过多多次次重重复测量来消除或减小它。实际上是不能完全消除。复测量来消除或减小它。实际上是不能完全消除。随随机机误误差差：随随机机的的，原原则则上上不不能能消消除除，但但可可以以通通过过多多次次重重复测量来减小它。当然，实际上就更不可能完全消除。复测量来减小它。当然，实际上就更不可能完全消除。总总之之，测测量量误误差差一一般般同同时时包包括括系系统统误误差差和和偶偶然然误误差差，研研究究误误差差的的目目的的就就是是：(1)(1)尽尽量量减减小小误误差差。(2)(2)对对残残存存的的误误差差给给出出适适当当的的估估计计。测测量量的的任任务务是是：给给出出被被测测量量的的最最佳佳估估计计值值，给给出出真值的最佳估计值的可靠程度的估计。真值的最佳估计值的可靠程度的估计。3 3 与测量结果有关的几个概念与测量结果有关的几个概念 (精密度、正确度、精确度精密度、正确度、精确度)精精密密度度表表示示测测量量结结果果中中随随机机误误差差大大小小的的程程度度，即即在在一一定定条条件件下下多多次次重重复复测测量量时时，测测量量结结果果彼彼此此之之间间符符合合的的程程度度。正正确确度度表表示示测测量量结结果果中中系系统统误误差差大大小小的的程程度度，即即在在一一定定条条件件下下，它它是是对对测测量量中中所所有有系系统统误误差差的的综综合合评评定定。精精确确度度表表示示测测量量结结果果与与真真值值的的一一致致程程度度，是是对对测测量量结结果果中中系系统统误误差差和和随随机机误差的综合反映，是精密度和正确度的综合评价。误差的综合反映，是精密度和正确度的综合评价。精密度高精密度高 正确度高正确度高 精确度高精确度高 仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差是是是是在在在在规规规规定定定定使使使使用用用用条条条条件件件件下下下下正正正正确确确确使使使使用用用用仪仪仪仪器器器器时时时时，仪仪仪仪器器器器的的的的示示示示值值值值与与与与被被被被测测测测量量量量的的的的真真真真值值值值之之之之间间间间可可可可能能能能产产产产生生生生的的的的最最最最大大大大误误误误差差差差。仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差可可可可能能能能在在在在仪仪仪仪器器器器上上上上标标标标明明明明，也也也也可可可可能能能能未未未未标标标标明明明明。对对对对于于于于标标标标明明明明仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差的的的的，其其其其仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差通通通通常常常常采采采采用用用用以以以以下下下下两两两两种种种种形形形形式式式式来来来来表表表表示示示示：一一一一是是是是在在在在仪仪仪仪器器器器上上上上直直直直接接接接写写写写出出出出或或或或用用用用准准准准确确确确度度度度表表表表示示示示该该该该仪仪仪仪器器器器的的的的仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差。二二二二是是是是仪仪仪仪器器器器上上上上标标标标有该仪器的精度有该仪器的精度有该仪器的精度有该仪器的精度(准确度准确度准确度准确度)级别，根据精度级别可算出仪器误差。级别，根据精度级别可算出仪器误差。级别，根据精度级别可算出仪器误差。级别，根据精度级别可算出仪器误差。仪器误差仪器误差仪器误差仪器误差insinsinsins(最大误差最大误差最大误差最大误差)=)=)=)=仪器的量程仪器的量程仪器的量程仪器的量程仪器的精度级别仪器的精度级别仪器的精度级别仪器的精度级别%。如如如如果果果果用用用用该该该该仪仪仪仪器器器器测测测测定定定定某某某某一一一一量量量量时时时时，测测测测量量量量结结结结果果果果的的的的有有有有效效效效位位位位数数数数由由由由仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差(最最最最大大大大误误误误差差差差)决决决决定定定定。例例例例如如如如：用用用用量量量量程程程程为为为为100mA100mA100mA100mA，刻刻刻刻有有有有100100100100小小小小格格格格的的的的0.10.10.10.1级级级级表表表表测测测测量量量量电电电电流流流流，指指指指针针针针指在指在指在指在80808080小格上，其正确的读数应该是小格上，其正确的读数应该是小格上，其正确的读数应该是小格上，其正确的读数应该是 A.80mA B.80.0mA C.80.00A.80mA B.80.0mA C.80.00A.80mA B.80.0mA C.80.00A.80mA B.80.0mA C.80.00mAmA 先先先先计计计计算算算算仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差insins=100=100 mA0.1%=0.1mAmA0.1%=0.1mA，测测测测量量量量结结结结果果果果应应应应与与与与仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差相相相相一一一一致致致致，即即即即保保保保留留留留到到到到小小小小数数数数点点点点后后后后第第第第一一一一位位位位，故故故故选选选选B B。对对对对于于于于未未未未标标标标明明明明仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差或或或或不不不不清清清清楚楚楚楚仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差时时时时，通通通通常常常常规规规规定定定定：对对对对于于于于能能能能连连连连续续续续读读读读数数数数的的的的仪仪仪仪器器器器，取取取取其其其其最最最最小小小小分分分分度度度度一一一一半半半半作作作作为为为为仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差；对对对对不不不不能能能能连连连连续续续续读读读读数数数数的的的的仪仪仪仪器器器器就就就就以以以以最最最最小小小小分分分分度度度度作作作作为为为为仪仪仪仪器器器器误误误误差差差差；数数数数字字字字仪仪仪仪表表表表以以以以显显显显示示示示最后一位的单位作为仪器误差。最后一位的单位作为仪器误差。最后一位的单位作为仪器误差。最后一位的单位作为仪器误差。？第第 二二 节节 系统误差及修正系统误差及修正 系系统统误误差差的的特特征征是是具具有有确确定定的的规规律律性性，原原则则上上讲讲可可以以消消除除，但但不不能能通通过过多多次次重重复复测测量量来来减减小小或或消消除除，因因此此，系系统统误误差差的的处处理理较较为为复复杂杂。他他要要求求实实验验者者既既要要有有较较好好的的理理论论基基础础，又又要要有有丰丰富富实实践践经经验验。所所以以对对系系统统误误差差修修正只作原则性介绍。正只作原则性介绍。一一.系统误差的发现系统误差的发现 (1)(1)实实验验对对比比，就就是是用用不不同同的的测测量量原原理理、方方法法和和仪仪器器来来测测量量同同一一物物理理量量，改改变变某某项项实实验验条条件件、实实验验参参数数等等进进行行对对比比。分分析析这这些些实实验验结结果果有有无无明明显显差差异，来判断是否存在系统误差。异，来判断是否存在系统误差。(2)(2)理理论论分分析析，分分析析实实验验所所依依据据的的理理论论公公式式要要求求的的条条件件与与实实际际情情况况有有无无差差异异，分分析析仪仪器器所所要要求求的的使使用用条条件件是是否否满满足足等等。理理论论分分析析是是研研究究系系统统误误差差的重要方法，但是要分析恰当。的重要方法，但是要分析恰当。(3)(3)数数据据分分析析，因因为为随随机机误误差差服服从从一一定定的的统统计计分分布布规规律律，如如果果所所测测数数据据不不遵遵从从这这种种规规律律，则则说说明明存存在在系系统统误误差差。如如果果按按测测量量次次序序记记录录的的数数据据具具有有单向或周期性变化特征，说明存在固定的或周期性的系统误差。单向或周期性变化特征，说明存在固定的或周期性的系统误差。二二 系统误差的消减系统误差的消减 对待系统误差应当是对待系统误差应当是“消除消除”或或“减小减小”，主要消减方法有：，主要消减方法有：(1)(1)替替换换法法:在在测测量量装装置置上上对对待待测测量量进进行行测测量量后后，立立即即用用一一标标准准量量替替换换待待测测量量，再再次次进进行行测测量量，并并调调到到同同样样的的状状态态，从从而而得得出出待待测测量量等等于于标标准准量。如，电桥测量电阻等。量。如，电桥测量电阻等。(2)(2)异异号号法法:使使误误差差在在测测量量过过程程中中出出现现一一次次为为正正值值，另另一一次次为为负负值值，取其平均值以消除系统误差。如，电势差计测弱电动势等。取其平均值以消除系统误差。如，电势差计测弱电动势等。(3)(3)交换法交换法:对某些条件进行交换，以消除系统误差。对某些条件进行交换，以消除系统误差。(4)(4)半周期偶数观测法等半周期偶数观测法等 总总之之，我我们们要要尽尽量量消消减减系系统统误误差差。事事实实上上，系系统统误误差差是是不不可可能能完完全全消消除除，最最后后的的结结果果必必然然包包含含未未处处理理或或未未完完全全消消除除的的系系统统误误差差，应应对对其其作作出出适适当当估估计计，并并参参与与对对实实验验结结果果的的评评价价。通通常常，在在实实验验中中，未未能能完完全全消消除除的的误误差主要考虑仪器误差。差主要考虑仪器误差。第第 三节三节 偶然误差及评估偶然误差及评估 一一一一 偶然误差的正态分布规律偶然误差的正态分布规律偶然误差的正态分布规律偶然误差的正态分布规律 由误差理论可知，偶然误差服从正态分布规律（如图）由误差理论可知，偶然误差服从正态分布规律（如图）由误差理论可知，偶然误差服从正态分布规律（如图）由误差理论可知，偶然误差服从正态分布规律（如图）由由偶偶然然误误差差概概率率密密度度分分布布图图，可可以以看看出出偶偶然然误误差差具具有有三三个个性性质质：(1)(1)单单峰峰性性：绝绝对对值值小小的的误误差差出出现现的的概概率率大大；(2)(2)有有界界性性：一一定定的的测测量量条条件件下下，大大误误差差出出现现的的概概率率小小，且且不不超超过过一一定定限限度度；(3)(3)对对称称性性：绝绝对对值值相相等等的的正正、负负误误差差出出现现的的概概率率相同。相同。随机误差正态分布概率密度曲线随机误差正态分布概率密度曲线 根根据据以以上上特特点点，可可以以通通过过多多次次测测量量求求平平均均值值的的方方法法，使使偶偶然然误误差差部部分分抵抵消消，如如果果系系统统误误差差被被消消除除或或者者很很小小，可可用用算算术平均值作为被测量真值的最佳估计值。术平均值作为被测量真值的最佳估计值。根根据据偶偶然然误误差差服服从从正正态态分分布布规规律律，利利用用数数理理统统计计理理论论，可以得到估算偶然误差的公式可以得到估算偶然误差的公式标准偏差的计算公式。标准偏差的计算公式。当当测测量量次次数数n为为有有限限时时，多多次次测测量量中中任任意意一一次次测测量量值值x的的标准偏差标准偏差Sx为：为：必必须须注注意意，Sx并并不不是是严严格格意意义义下下的的标标准准偏偏差差，而而只只是是一一个个估估计计值值，它它表表示示的的是是任任意意一一次次测测量量值值x落落在在 区区间间内内的的概概率率近近似似为为68.3%，是测量精密度的反映。是测量精密度的反映。同理，算术平均值同理，算术平均值 的标准偏差的标准偏差 为：为：我我们们可可以以看看出出：算算术术平平均均值值的的的的标标准准偏偏差差比比单单次次测测量量值值的的标标准准偏偏差差小小。这这是是由由于于算算术术平平均均值值为为各各单单次次测测量量值值的的平平均均值值，而而各各单单次次测测量量值值的的偶偶然然误误差差成成分分在在相相加加时时有有所所抵抵消消，算算术术平平均均值值比比单单个个测测量量值值更更准准确确，因因此此算算术术平平均均值值标标准准偏偏差差比比单单次次测测量量值的标准偏差小。值的标准偏差小。它它表表示示算算术术平平均均值值 落落在在 区区间间内内的的概概率率近似为近似为68.3%。标标准准偏偏差差是是一一个个统统计计概概念念，是是测测量量精精密密度度的的反反映映，标标准准偏偏差差大大说说明明测测量量的的精精密密度度低低，标标准准偏偏差差小小说说明明测测量量精精密密度度高高。它它不不是是测测量量值值的的误误差差，也也不不是是测测量量值值的的最最大大可可能能误误差差，是是偶偶然然误差的估计。是相应测量值可靠程度的估计。误差的估计。是相应测量值可靠程度的估计。二二 测量结果及其物理意义测量结果及其物理意义测量结果可以表示为测量结果可以表示为偏差落在（偏差落在（）区间的概略约）区间的概略约68.3%68.3%。偏差落在（偏差落在（）区间的概略为）区间的概略为95.5%95.5%。偏差落在（偏差落在（）区间的概略为）区间的概略为99.73%99.73%。第四节第四节 不确定度及传递不确定度及传递 一一一一.直接测量量不确定度直接测量量不确定度直接测量量不确定度直接测量量不确定度 测测量量误误差差存存在在于于一一切切测测量量中中，虽虽然然通通过过提提高高实实验验技技术术和和改改进进实实验验仪仪器器，测测量量误误差差可可以以控控制制在在较较小小范范围围内内，但但它它不不能能完完全全消消除除。标标准准偏偏差差只只反反映映了了偶偶然然误误差差，没没有有反反映映系系统统误误差差。不不确确定定度度就就是是对对各各种种误误差差(系系统统误误差差和和随随机机误误差差)导导致致测测量量结结果果的的不不确确定定性性的的描描述述，是是各各种种误误差差的的全全面面反反映映，是是对对被被测测量量值值所所处处范范围的评定。围的评定。不确定度按获得的方法，可分为两类：不确定度按获得的方法，可分为两类：A A类类不不确确定定度度：凡凡是是可可以以通通过过统统计计方方法法计计算算的的不不确确定定度度称称为为A A类不确定度，又称为统计不确定度，用类不确定度，又称为统计不确定度，用U UA A表示。表示。B B类类不不确确定定度度：凡凡是是不不能能用用统统计计方方法法计计算算而而只只能能用用其其他他方方法法估估算算的的不不确确定定度度称称为为B B类类不不确确定定度度，又又称称为为非非统统计计不不确确定定度度，用用U UB B 表示。表示。注注意意：A A、B B两两类类不不确确定定度度与与偶偶然然误误差差和和系系统统误误差差并并没没有有完完全一一对应关系。全一一对应关系。(因为有些系统误差可以用统计方法计算因为有些系统误差可以用统计方法计算)对对于于多多次次重重复复直直接接测测量量的的物物理理量量，用用平平均均值值作作为为测测量量结结果果，把把平平均均值值的的标标准准偏偏差差SxSx 作作为为测测量量不不确确定定度度的的A A类类分分量量，仪仪器器误误差差作作为为测测量量不不确确定定度度的的B B类类分分量量，在在置置信信概概率率相相同同的的情情况况下下，总总的的不不确确定定度度可可采采用用“方方和和根根”法法合合成成。非非统统计计方方法法估估计计的的偏偏差差U UB B，其其置置信信概概率率为为95%95%-99%99%，而而统统计计方方法法估估计计的的偏偏差差UAUA，置置信信概概率率约约为为68.3%68.3%，两两部部分分要要合合在在一一起起，就就必必须须将将它它们们换换成成为为置置信信概概率率相相同同的的偏偏差差值值，可可将将估估计计的的极极限限误误差差UB缩缩小小或或将将统统计计方方法法估估计计的的偏偏差差UAUA扩扩大大，这里采用第一种方法，根据有关统计理论，总的不确定度这里采用第一种方法，根据有关统计理论，总的不确定度U U为：为：多次等精度测量时误差传递公式多次等精度测量时误差传递公式标准偏差的误差传递式标准偏差的误差传递式 绝对误差：绝对误差：相对误差：相对误差：附：常用函数关系的标准偏差传递公式附：常用函数关系的标准偏差传递公式第五节第五节 有效数字及其运算法则有效数字及其运算法则 物理实验中经常要记录很多测量数据，这些数据应当物理实验中经常要记录很多测量数据，这些数据应当是能反映出被测量实际大小的全部数字，即有效数字。但是能反映出被测量实际大小的全部数字，即有效数字。但是在实验观测、读数、运算与最后得出的结果中。哪些是是在实验观测、读数、运算与最后得出的结果中。哪些是能反映被测量实际大小的数字应予以保留，哪些不应当保能反映被测量实际大小的数字应予以保留，哪些不应当保留，这就与有效数字及其运算法则有关。留，这就与有效数字及其运算法则有关。测量不可能得到被测量的真实值，只能是近似值。实测量不可能得到被测量的真实值，只能是近似值。实验数据的记录反映了近似值的大小验数据的记录反映了近似值的大小,并且在某种程度上表明并且在某种程度上表明了误差。因此，了误差。因此，有效数字是对测量结果的一种准确表示，有效数字是对测量结果的一种准确表示，它应当是有意义的数字，而不允许无意义的数字存在。如它应当是有意义的数字，而不允许无意义的数字存在。如果把测量结果写成果把测量结果写成54.281754.28170.050.05（cmcm）是错误的，由不确）是错误的，由不确定度定度0.050.05（cmcm）可以得知，数据的第二位小数）可以得知，数据的第二位小数0.08 0.08 已不可已不可靠，把它后面的数字也写出来没有多大意义，靠，把它后面的数字也写出来没有多大意义，正确的写法正确的写法应当是：应当是：54.2854.280.050.05（cmcm）。）。第五节第五节 有效数字及其运算法则有效数字及其运算法则 一、有效数字的概念一、有效数字的概念 一个物理量的数值和数学上的某一个数就有着不同的意义，一个物理量的数值和数学上的某一个数就有着不同的意义，这就这就 引入了一个有效数字的概念。若用最小分度值为引入了一个有效数字的概念。若用最小分度值为1mm1mm的米尺测量物体的的米尺测量物体的 长度，读数值为长度，读数值为5.63cm5.63cm。其中。其中5 5和和6 6这两个数字是从米尺的刻度上准确这两个数字是从米尺的刻度上准确 读出的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。末尾数字读出的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。末尾数字3 3是在米尺最小是在米尺最小 分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做欠准数。分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做欠准数。虽然是欠虽然是欠 准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有一位欠准数准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有一位欠准数 字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。因此，测量值应当字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。因此，测量值应当 保留到这一位是合理的，即使估计数是保留到这一位是合理的，即使估计数是0 0，也不能舍去。测量结果应当，也不能舍去。测量结果应当 而且也只能保留一位欠准数字，而且也只能保留一位欠准数字，故测量数据的有效数字定义为几位可靠故测量数据的有效数字定义为几位可靠 数字加上一位欠准数字称为有效数字，有效数字数字的个数叫做有效数数字加上一位欠准数字称为有效数字，有效数字数字的个数叫做有效数 字的位数，如上述的字的位数，如上述的5.63cm5.63cm称为三位有效数字。称为三位有效数字。有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。点的位置无关。因此，用以表示小数点位置的因此，用以表示小数点位置的0 0不是有效数字。当不是有效数字。当0 0不不是用作表示小数点位置时，是用作表示小数点位置时，0 0和其它数字具有同等地位，都和其它数字具有同等地位，都是有效数字。显然，在有效数字的位数确定时，第一个不是有效数字。显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。如如0.01350.0135 m m是三位有效数字，是三位有效数字，0.0135m0.0135m和和1.35cm1.35cm及及13.5mm13.5mm三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；米作为长度的表示单位；1.030m1.030m是四位有效数字。是四位有效数字。从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，值，如如0.0135m0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m1.030m是用最小刻度为厘米的尺子测量的。因此，正确掌是用最小刻度为厘米的尺子测量的。因此，正确掌握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。二、二、直接测量的有效数字记录直接测量的有效数字记录 物理实验中通常仪器上显示的数字均为有效数字（包括最后一位估物理实验中通常仪器上显示的数字均为有效数字（包括最后一位估计读数）都应读出，并记录下来。计读数）都应读出，并记录下来。仪器上显示的最后一位数字是仪器上显示的最后一位数字是0 0时，此时，此0 0也要读出并记录。对于有也要读出并记录。对于有 分度式的仪表，读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几。分度式的仪表，读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几。在记录直接测量的有效数字时，常用一种称为标准式的写法，就是任何在记录直接测量的有效数字时，常用一种称为标准式的写法，就是任何数值都只写出有效数字，而数量级则用数值都只写出有效数字，而数量级则用1010的的n n次幂的形式去表示。次幂的形式去表示。1 1根据有效数字的规定，测量值的最末一位一定是欠准确数字，这根据有效数字的规定，测量值的最末一位一定是欠准确数字，这 一位应与仪器误差的位数对齐，仪器误差在哪一位发生，测量数据的欠一位应与仪器误差的位数对齐，仪器误差在哪一位发生，测量数据的欠准位就记录到哪一位，不能多记，也不能少记，即使估计数字是准位就记录到哪一位，不能多记，也不能少记，即使估计数字是0 0，也必，也必须写上，否则与有效数字的规定不相符。须写上，否则与有效数字的规定不相符。例如，用米尺测量物体长为例如，用米尺测量物体长为52.4 mm52.4 mm与与52.40 mm 52.40 mm 是不同的两个测量是不同的两个测量 值，也是属于不同仪器测量的两个值，误差也不相同，不能将它们等同值，也是属于不同仪器测量的两个值，误差也不相同，不能将它们等同看待，从这两个值可以看出测量前者的仪器精度低，测量后者的仪器精看待，从这两个值可以看出测量前者的仪器精度低，测量后者的仪器精度高出一个数量级。度高出一个数量级。2 2 根据有效数字的规定，凡是仪器上读出的数值，有根据有效数字的规定，凡是仪器上读出的数值，有效数字中间与末尾的效数字中间与末尾的0 0，均应算作有效位数。，均应算作有效位数。例如，例如，6.0036.003 cm,4cm,4.100 cm 100 cm 均是四位有效数字；在均是四位有效数字；在记录数据中，有时因定位需要，而在小数点前添加记录数据中，有时因定位需要，而在小数点前添加0 0，这不，这不应算作有效位数，如应算作有效位数，如0.0486 m0.0486 m是三位有效数字而不是四位是三位有效数字而不是四位有效数字。有效数字。3根据有效数字的规定，在十进制单位换算中，其根据有效数字的规定，在十进制单位换算中，其 测量数据的有效位数不变测量数据的有效位数不变.如如4.51 cm 若以米或毫米为单位，可以表示成若以米或毫米为单位，可以表示成0.0451 m 或或45.1 mm，这两个数仍然是三位有效数字。为了避免，这两个数仍然是三位有效数字。为了避免单位换算中位数很多时写一长串，或计数时出现错位，常单位换算中位数很多时写一长串，或计数时出现错位，常采用科学表达式，通常是在小数点前保留一位整数，用采用科学表达式，通常是在小数点前保留一位整数，用10的的n次方次方表示。表示。4 4 根据有效数字的规定对有效数字进行记录时，直接根据有效数字的规定对有效数字进行记录时，直接测量结果的有效位数的多少，取决于被测物本身的大小和所测量结果的有效位数的多少，取决于被测物本身的大小和所使用的仪器精度，对同一个被测物，高精度的仪器，测量的使用的仪器精度，对同一个被测物，高精度的仪器，测量的有效位数多，低精度的仪器，测量的有效位数少。有效位数多，低精度的仪器，测量的有效位数少。例如，长度约为例如，长度约为3.7cm3.7cm的物体，若用最小分度值为的物体，若用最小分度值为1mm 1mm 的米尺测量，其数据为的米尺测量，其数据为3.70cm 3.70cm，若用螺旋测微器测量（最，若用螺旋测微器测量（最小分度值为小分度值为0.01mm 0.01mm）,其测量值为其测量值为3.7000cm,3.7000cm,显然螺旋测微显然螺旋测微器的精度较米尺高很多，所以测量结果的位数也多；被测物器的精度较米尺高很多，所以测量结果的位数也多；被测物是较小的物体，测量结果的有效位数也少。对一个实际测值是较小的物体，测量结果的有效位数也少。对一个实际测值，正确应用有效数字的规定进行记录，就可以从测量值的有，正确应用有效数字的规定进行记录，就可以从测量值的有效数字记录中看出测量仪器的精度。因此，效数字记录中看出测量仪器的精度。因此，有效数字的记录有效数字的记录位数和测量仪器有关。位数和测量仪器有关。三、有效数字的运算法则三、有效数字的运算法则 在进行有效数字计算时，参加运算的分量可能很多。各分量数值的大小在进行有效数字计算时，参加运算的分量可能很多。各分量数值的大小及有效数字的位数也不相同，而且在运算过程中，有效数字的位数会越乘越多及有效数字的位数也不相同，而且在运算过程中，有效数字的位数会越乘越多，除不尽时有效数字的位数也无止境。即便是使用计算器，也会遇到中间数的，除不尽时有效数字的位数也无止境。即便是使用计算器，也会遇到中间数的取位问题以及如何更简洁的问题。测量结果的有效数字，只能允许保留一位欠取位问题以及如何更简洁的问题。测量结果的有效数字，只能允许保留一位欠准确数字，直接测量是如此，间接测量的计算结果也是如此。根据这一原则，准确数字，直接测量是如此，间接测量的计算结果也是如此。根据这一原则，为了达到：为了达到：不因计算而引进误差，影响结果；不因计算而引进误差，影响结果；尽量简洁，不作徒劳的运算尽量简洁，不作徒劳的运算。简化有效数字的运算，约定下列规则：。简化有效数字的运算，约定下列规则：1 1加法或减法运算加法或减法运算 大量计算表明，若干个数进行加法或减法运算，其和或者差的结果的欠准大量计算表明，若干个数进行加法或减法运算，其和或者差的结果的欠准确数字的位置与参与运算各个量中的欠准确数字的位置最高者相同。由此得出确数字的位置与参与运算各个量中的欠准确数字的位置最高者相同。由此得出结论，几个数进行加法或减法运算时，可先将多余数修约，将应保留的欠准确结论，几个数进行加法或减法运算时，可先将多余数修约，将应保留的欠准确数字的位数多保留一位进行运算，最后结果按保留一位欠准确数字进行取舍。数字的位数多保留一位进行运算，最后结果按保留一位欠准确数字进行取舍。这样可以减小繁杂的数字计算。这样可以减小繁杂的数字计算。推论（推论（1 1）若干个直接测量值进行加法或减法计算时，选用精度相同的仪）若干个直接测量值进行加法或减法计算时，选用精度相同的仪器最为合理。器最为合理。56.4756.472 2=3.188=3.188 10103 3；lnln 58.6=4.07;58.6=4.07;4.5 4.52 2=64=64；45.21345.2132 2=6.4220=6.4220 10103 3 SinSin60605=0.866751708(5=0.866751708(查表查表)SinSin1=0.00029088820451=0.0002908882045 SinSin60605=0.86685=0.8668。四四 有效数字修约的国家标准有效数字修约的国家标准 （四舍六入五看左右）（四舍六入五看左右）1.1.在拟舍去的数字中，若左边第一个数字小于在拟舍去的数字中，若左边第一个数字小于5 5时，则舍去。时，则舍去。如：如：3.60563.60564343数字中拟舍去数字中拟舍去“4343”时，则应为时，则应为3.60563.6056。四舍四舍 2.2.在拟舍去的数字中，若左边第一个数字大于在拟舍去的数字中，若左边第一个数字大于5 5时，则进一。时，则进一。如：如：3.6053.605643643数字中拟舍去数字中拟舍去“643643”时，则应为时，则应为3.6063.606。六入六入 3.3.在拟舍去的数字中，若左边第一个数字等于在拟舍去的数字中，若左边第一个数字等于5 5时，其右边数字字时，其右边数字字并非全部为零时，则进一。并非全部为零时，则进一。如：如：3.603.6050015001数字中拟舍去数字中拟舍去“50015001”时，则应为时，则应为3.613.61。五看右五看右 4.4.在拟舍去的数字中，若左边第一个数字等于在拟舍去的数字中，若左边第一个数字等于5 5时，其右边数字字皆时，其右边数字字皆为零时，所拟保留的末位数字若为奇数则进一，若为偶数则不进。为零时，所拟保留的末位数字若为奇数则进一，若为偶数则不进。如：如：3.603.60500500数字中拟舍去数字中拟舍去“500500”时，则应为时，则应为3.603.60；3.613.61500500数字中数字中拟舍去拟舍去“500500”时，则应为时，则应为3.623.62。五看左。五看左 还需指出，在修约最后结果的不确定度时，为确保其可信性，往往根还需指出，在修约最后结果的不确定度时，为确保其可信性，往往根据实验情况执行据实验情况执行“宁大勿小宁大勿小”的原则。的原则。实实实实验验验验(测测测测量量量量)总总总总是是是是希希希希望望望望获获获获得得得得可可可可靠靠靠靠的的的的结结结结果果果果或或或或者者者者找找找找出出出出物物物物理理理理量量量量之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系(或或或或规规规规律律律律)，要要要要得得得得到到到到这这这这些些些些除除除除了了了了实实实实验验验验本本本本身身身身外外外外，当当当当然然然然就就就就必必必必须须须须进进进进行行行行数数