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第五章第五章条件平差条件平差5-1 条件平差原理条件平差原理5-2 条件方程的列立条件方程的列立5-3 非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化5-4 精度评定精度评定第五章第五章 条件平差条件平差第五章第五章条件平差条件平差基本概念基本概念1、必要观测数 为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最少观测数。2、多余观测数 实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测数。3、闭合差 举例说明：测角网，水准网4、条件平差及其目的第五章第五章条件平差条件平差5-1 条件平差原理条件平差原理1、条件方程 （1）（1）式中A的秩是r，未知数的个数是n，由于rn，所以（1）式是不定方程。那么，如何求解不定方程（1）式呢？2、法方程及其组成2.1 按拉格朗日条件极值法组成新函数 （2）第五章第五章条件平差条件平差补充：矩阵微分公式第五章第五章条件平差条件平差2.2 求偏导 （3）2.3 法方程 （4）改正数方程 （5）举例举例 水准网如右图：观测值及其权阵如下：m ，求各高差平差值第五章第五章条件平差条件平差误差方程 法方程法方程的解第五章第五章条件平差条件平差按（5）求改正数V：求观测值的平差值：检核：第五章第五章条件平差条件平差条件平差的求解步骤条件平差的求解步骤 （1）根据具体问题列条件方程（1）式；（2）组成法方程（4）式；（3）解法方程；（4）按（5）式求改正数V；（5）求观测值的平差值 ；（6）检核。教材：教材：51，52，53习题：习题：5.1.04，5.1.07第五章第五章条件平差条件平差 5-2 条件方程的列立条件方程的列立条件平差的关键是列条件方程，而列条件方程的关键是条件平差的关键是列条件方程，而列条件方程的关键是正确确定必要观测数和条件方程的类型。正确确定必要观测数和条件方程的类型。列条件方程的原则列条件方程的原则:1、足数；、足数；2、独立；、独立；3、最简、最简水准网的条件方程1、水准网的分类及水准网的基准、水准网的分类及水准网的基准 有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。2、水准网中必要观测数、水准网中必要观测数t的确定的确定（保证足数）有已知点：t 等于待定点的个数 无已知点：t 等于总点数减一3、水准网中条件方程的分类、水准网中条件方程的分类 附合条件和闭合条件两类 已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件 已知点个数小于等于1：只有闭合条件第五章第五章条件平差条件平差4、水准网中条件方程的列立方法、水准网中条件方程的列立方法（保证独立）（1）、先列附合条件，再列闭合条件（2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一（3）、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件 在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。第五章第五章条件平差条件平差5、水准网条件方程列立举例、水准网条件方程列立举例第五章第五章条件平差条件平差14第五章第五章条件平差条件平差习题：习题：5.2.10第五章第五章条件平差条件平差GPS基线向量网三维无约束条件平差的条件方程1、GPS基线向量网的观测值：基线向量网的观测值：一条基线三个观测值，他们是 ,n=3s，s是基线数。2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t 三个坐标基准 。必要观测数为 t=3(m-1)，m 为总点数。所以条件方程的个数为：r=3(s-m)+33、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立 按三角形列条件方程，每个三角形中应保证至少有一条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最简的原则。第五章第五章条件平差条件平差4、GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例 图1 图2图1中r=3（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：图2中，r=3（6-4）+3=9，即9个条件方程。第五章第五章条件平差条件平差4、GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例n=3*22=66，t=3*（9-1）=24，r=3（22-9）+3=42第五章第五章条件平差条件平差三角网(测角网)的条件方程1、三角网的观测值、三角网的观测值 三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。2、三角网的作用、三角网的作用 确定待定点的平面坐标。3、三角网的类型、三角网的类型 单三角形、大地四边形、中点多边形、组合图形4、三角网的基准数据、三角网的基准数据 在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐标系，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位置基准 2个（任意一点的坐标 ）、方位基准 1个（任意一条边的方位角 ）以及长度基准 1个（任意一条边的边长 ）。这四个基准数据等价于已知两个点的坐标。第五章第五章条件平差条件平差5、三角网中必要观测数、三角网中必要观测数 t 的确定的确定 有足够的基准数据：t=2m，m为待定点点数；无足够的基准数据：t=2（z-2）,z为三角网中的总点数。6、三角网中条件方程的类型、三角网中条件方程的类型图形条件（内角和条件）：图形条件（内角和条件）：三角形三内角和等于180度；圆周条件（水平条件）：圆周条件（水平条件）：圆周角等于360度；极条件（边长条件）：极条件（边长条件）：由不同推算路线得到的同一边的边长相等。教材：教材：54，55习题：习题：5.2.11，5.2.12第五章第五章条件平差条件平差7、三角网中条件方程的列立举例、三角网中条件方程的列立举例图1中，n=3，t=2，r=1，即一个图形条件。图2中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件。第五章第五章条件平差条件平差 图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。由以上三例知，三角形只有图形条件；大地四边形有图形条件和极条件两类条件；只有中点多边形才有全部的三类条件。第五章第五章条件平差条件平差用一般符号列出图4的条件方程：n=33 t=143个大地四边形12个,左多边形2图1极1圆,右1极1圆1图（FIG)第五章第五章条件平差条件平差三边网(测边网)的条件方程1、三边网的观测值、三边网的观测值 三边网的观测值也很简单，全部是边长观测值。2、三边网的作用、三边网的作用 也是确定待定点的平面坐标。3、三边网的类型、三边网的类型 单三边形、大地四边形、中点多边形、组合图形4、三边网的基准数据、三边网的基准数据 三边网与三角网的区别是观测值。由于在三边测量中，观测值中带有长度基准。所以，三边测量中不需要长度基准。因此三边网的基准数据为：位置基准 2个（任意一点的坐标 ）、方位基准 1个（任意一条边的方位角 ），即三个基准。第五章第五章条件平差条件平差5、三边网中必要观测数、三边网中必要观测数 t 的确定的确定 有足够的基准数据：t=2m，m为待定点点数；无足够的基准数据：t=2z-3,z为三角网中的总点数。单三角形：t=2 3 3=3，而n=3，故r=n-t=3-3=0 大地四边形：t=2 4 3=5，而n=6，故r=n-t=6-5=1 中点N边形：t=2（N+1）3=2N-1，而n=2N，故r=n-t=2N-2N+1=1。以上各式表明：在测边网中，单三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只一个条件。故测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和。6、三边网中条件方程的列立、三边网中条件方程的列立 可按角度闭合、也可按边长闭合、还可按面积闭合列立。按角度闭合：按角度闭合：第五章第五章条件平差条件平差测边网条件测边网条件 在测边网中，按角度闭合时条件方程为：对于以上按角度表示的条件方程，可以用余弦定理解出各个角度，再按台劳级数展开可到其线性形式。但习惯上却是先导出角度改正数与边长改正数的关系，然后代入 为此，下面来推导角度改正数与边长改正数的关系。第五章第五章条件平差条件平差如图，由余弦定理知：微分得：由图知第五章第五章条件平差条件平差故有：将微分换成改正数，并将弧度换成角度，得：上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律：任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的高，并乘以常数 。按此规律，可得：第五章第五章条件平差条件平差大地四边形将其代入 ，得第五章第五章条件平差条件平差中点多边形将其代入 ，得第五章第五章条件平差条件平差单一附合导线的条件方程1、导线的观测值、导线的观测值 导线的观测值由角度和边长两类观测值组成。2、单一附合导线的形状、单一附合导线的形状3、单一附合导线的必要观测数、单一附合导线的必要观测数 t=2m，m为待定点点数。第五章第五章条件平差条件平差4、单一附合导线的条件方程个数、单一附合导线的条件方程个数观测值的个数：角度m+2个；边长m+1个；观测值总数 n=2m+3个。条件方程个数：r=n-t=2m+3-2m=3即不论待定点点数m为多少，单一附合导线的条件方程个数固定为3。5、单一附合导线的条件方程、单一附合导线的条件方程一个方位角条件两个坐标条件 第五章第五章条件平差条件平差GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件方程1、观测值、观测值 观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2 N。2、必要观测个数、必要观测个数 t=N+13、多余观测个数、多余观测个数 r=n-t=2N-N-1=N-14、条件方程的类型、条件方程的类型 N-1个直角条件。第五章第五章条件平差条件平差摄影测量影像中的几影像中的几何信息何信息地物几何位置地物几何位置模型重建模型重建几何量测几何量测xyXYZ第五章第五章条件平差条件平差XYZa(x,y)xyzS(Xs,Ys,Zs)A(X,Y,Z)共线条件第五章第五章条件平差条件平差MZYX 航摄仪投影中心Suvwxy上图表示某相机在空中对地面进行摄影，uvw为相机本身的坐标系，XYZ为地面坐标系，S为相机镜头中心，SM为相机成像面中心与镜头中心连线。编程题目中的未知数即为图中S在XYZ坐标系下的位置及矢量SM的三个角度，或者说uvw到XYZ的变换关系。第五章第五章条件平差条件平差第五章第五章条件平差条件平差立体摄影测量：立体摄影测量：目的x1y1XYZ已知量已知量未知量未知量x2y2第五章第五章条件平差条件平差XYZa1(x1,y1)x1y1z1S1A(X,Y,Z)a2(x2,y2)z2y2x2S2前方交会前方交会第五章第五章条件平差条件平差 5-3 非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化 1、问题的提出 由前面列出的条件方程知，水准网平差、三维无约束平差中的条件方程，以及三角网平差中的图形条件和圆周条件、单导线中的方位角条件等都是线性方程。而极条件、坐标条件等都是非线性条件。因为条件平差中要求条件方程必须为线性形式，所以，平差前必须将非线性条件转化为线性条件。这一转化工作称为非非线性条件方程的线性化。线性条件方程的线性化。2、线性化的方法 将非线性条件方程按台劳级数展开，略去二阶以上各项，即得条件方程的线性形式。第五章第五章条件平差条件平差 设非线性条件方程为：为了将其按台劳级数展开，将观测值的平差值写为观测值加改正数的形式，即：于是，有令第五章第五章条件平差条件平差 于是，非线性条件方程 的线性形式为：3、几种非线性条件方程的线性形式极条件：极条件：在图5-4中，极条件为线性化得：第五章第五章条件平差条件平差两边同乘 ，得化简后的线性形式为：单一附合导线的坐标条件单一附合导线的坐标条件：第五章第五章条件平差条件平差上图的纵坐标条件为：式中 是方位角平差值和边长平差值的函数，即将上式按台劳级数展开，略去二阶以上各项即可第五章第五章条件平差条件平差直角条件：直角条件：按台劳级数展开，取至一次项，得第五章第五章条件平差条件平差因为第五章第五章条件平差条件平差所以，直角条件方程为：式中：第五章第五章条件平差条件平差 在计算图形条件的系数和闭合差时，一般取边长改正数的单位为cm，高的单位为km，取2.0626，此时闭合差w的单位为秒。由观测边长计算系数中的角值，可按余弦定理或下式计算式中高按下式计算 第五章第五章条件平差条件平差5-4 精度评定精度评定目的：评定观测值的实际精度、观测值平差值函数的精度1、观测值L的精度2、单位权方差的估值3、的计算（1）、直接计算（2）、用常数项与联系数第五章第五章条件平差条件平差4、观测值函数的协因数 条件平差中的基本向量W、K、V、都是观测向量L的函数，且 由于观测向量L的协因数 已知，所以应用协因数传播律可得：第五章第五章条件平差条件平差第五章第五章条件平差条件平差第五章第五章条件平差条件平差令则第五章第五章条件平差条件平差5、平差值函数的协因数 经条件平差后得到了观测值的平差值，需要提交的却是控制点的坐标或高程的平差值，他们都是观测值的平差值函数。因此，有必要研究平差值函数的协因数。设平差值函数的协因数为：对其全微分，得：第五章第五章条件平差条件平差式中 为用观测值L算出的偏导数值。于是，应用协方差传播律可得：所以，平差值函数的中误差为：教材：教材：56，57习题：习题：5.4.42第五章第五章条件平差条件平差举例举例 某平坦地区水准网如右图所示，已知点A高程为10.000m，各独立观测值及其距离：m km求各点高程的平差值，单位权中误差及A至C点间高差平差值的中误差。第五章第五章条件平差条件平差条件方程 法方程法方程的解第五章第五章条件平差条件平差按（5）求改正数V：求观测值的平差值：检核：第五章第五章条件平差条件平差待定点高程平差值：单位权中误差：函数：，第五章第五章条件平差条件平差小结：一、条件平差及其目的二、条件平差原理三、条件平差的步骤 （1）根据具体问题列条件方程式，；（2）组成法方程式，；（3）解法方程；（4）计算改正数V，；（5）求观测值的平差值 ；（6）检核；（7）精度评定，。四、各种情况下条件方程的列立五、非线性条件方程的线性化
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