误差理论与测量平差基础4-6章课件

第四章 平差数学模型与最小二乘原理一、几何模型：1、确定几何模型的必要元素（必要观测量）（1）几何模型的形状（2）形状、大小2个3个（3）形状、大小、位置 6个2、必要元素的选取与性质（1）能唯一确定该模型（2）最少需要（3）元素间不存在任何确定的函数关系第四章 平差数学模型与最小二乘原理二、平差的数学模型为了研究并描述这样或那样的客观实际，人们总是通过抽象和概括，从理论上来定义和客观实际本质相适应的模型。1、函数模型函数模型是描述观测量与待求量间的数学关系。2、随机模型随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观测值是否受系统误差的影响、观测值的精度季它们是否相关等。D =min第四章 平差数学模型与最小二乘原理三、参数估计与最小二乘原理最小二乘与极大似然估计联合概率分布密度函数 G=常数 exp 1(T D 1)2 所谓极大似然估计，就是要在其联合概率密度达到极大的条件下来对真误差进行估计。T 1xn 的n个元=xn 条件平差第五章预备知识：矩阵的微分素xi为自变量的可微函数f(X)=f(x1 x2xn),且函数f(X)对其所有的自变量xi是可微的，则f(X)对于向量X的微分为T1纯量函数关于向量的导数如果函数f是以n维向量 X=x1 x2f fx1fx2dfdx1,n第五章预备知识：2向量函数关于向量的导数当有m个这样的函数x2 xn)x2 xn)x2 xn)f1(X)=f1(x1f 2(X)=f 2(x1f m(X)=f m(x1构成函数向量f n(x)f 2(x)F=(f1(x)则函数向量F关于n维向量X的微分为一个矩阵。=+F=X A X,d(X AX)=2 X A第五章预备知识3函数向量关于向量的求导规则（1）dCdX=0m,ndGdXdZdXdFdXdFdX=Am,n（2）Z=F+G,m,1 m,1 m,1（3）F=A X,m,1 m,n n,1（4）TTTdX1,n n,n1,1 1,n n,n n,1第五章条件平差(Conditional Adjustment)基本概念1、必要观测为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最少观测数2、多余观测(redundant observation)实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测。3、条件平差及其目的v1 1 0 0 1 1 0 2+3=00 1 0 0 1 10 0 1 1 0 1 v4 4 v v 第五章条件平差例，水准网如右图，D为已知点，观测值及其权阵如下：T(1 1 1 2.5 2.5 2.5)P =diag求观测值的平差值。v3v2 5 6 第五章条件平差(Conditional Adjustment)一、条件平差原理1、条件方程(condition equation)AL+A0 =02、函数模型(functional model)W=AL+A0A V+W=0,r,n n,1 r,1 r,13、随机模型(stochastic model)D=02 Qn,n4、估计准则：T=2V P 2K A=0第五章条件平差条件极值法要点：当具有约束条件时，求函数的优化解，则应在下述函数达到优化时寻求其解。+m m=+11 +2 2 +ddVT TT求偏导：V=P A Kr,r（1）K=N aa W（2）V=Q A K（3）Ln,n n,r r,1第五章条件平差W=AL+A0基础方程：法方程：解向量：A V+W=0,r,n n,1 r,1 r,11 Tn,1 n,n n,r r,1N aa K+W=0r,1Tn,1=L+Vv1 1 0 0 1 1 0 2+3=00 1 0 0 1 10 0 1 1 0 1 v4 4 v v 第五章条件平差例，水准网如右图，D为已知点，观测值及其权阵如下：T(1 1 1 2.5 2.5 2.5)P =diag求观测值的平差值。解：（1）列出条件方程v3v2 5 6 9 2 2 k1 2 9 2 2 2 k1 11 第五章法方程条件平差 2 9 2 k2+3=0 2 2 9 k3 4 法方程的解0 5 11 6 1k2=2 9 2 3=k3 2 2 9 4 0V=P A K=00 10 00 10 15 2.7 1 0 0.9 1 1 11 第五章条件平差0 0 0 1 0 2.3 0=0 111 1.1 6 0.2 0 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 2.5 00 0 0 2.50 0 0 010 00 12.5 0改正数V：10001 T观测值的平差值：T L2+L5 L6 =1.1163+0.0999 1.2162=0L6 L3 L4 =1.2162 1.1393 0.0769=0L1+L4 L6 =0.0230+0.0769 0.0999=0检核：第五章条件平差5、条件平差的求解步骤（1）根据具体问题列条件方程式；（2）组成法方程式；（3）解法方程；（4）按式求改正数V；（5）求观测值的平差值（6）检核。第五章条件平差二、条件方程（一）、水准网1、水准网的分类及水准网的基准分为有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。2、水准网中必要观测数t的确定有已知点：t等于待定点的个数无已知点：t等于总点数减一第五章条件平差3、水准网中条件方程的列立方法列条件方程的原则:1、足数；2、独立；3、最简（1）、先列附合条件，再列闭合条件（2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一(3)、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。条件平差第五章例，第五章条件平差（二）、三角网(测角网)1、三角网的观测值三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。2、三角网的作用确定待定点的平面坐标。3、三角网的基准数据,y基准1个（任意一条边的方位角 0 ）以及长度基准1个（任意一条边的边长S 0 ）。第五章条件平差4、三角网中必要观测数 t 的确定5、三角网中条件方程的列立一般而言，网中全部独立的条件数是一定的，但其列法不唯一。为保证所列的条件既足数而又相互独立，下面先讨论三角网中几个基本图形，任何形式的三角网都是由这几个基本图形组成。（1）单三角形（2）大地四边形（3）中点多边形（4）扇形第五章条件平差6、条件方程的线性化f(L)=0L=L+V将函数在L处用台劳极数展开 f(L)=f(L)+(f)V+.+(f )VL1 L 1 Ln L n第五章条件平差(三)、测边网1、测边网的基准数据三边网与三角网的区别是观测值。由于在三边测量中，观测值中带有长度基准。所以，三边测量中不需要长度基准。因此三边网的基准数据为：x,y方位基准1个（任意一条边的方位角 0），2、三边网中必要观测数 t 的确定3、三边网中条件方程的列立第五章条件平差 （1）大地四边形在测边网中，按角度闭合时条件方程为1+2 3 =0v1 +v2 v3 +w=0角度改正数与边长改正数的关系2 2 21Sb S c sin AS a dS a (Sb S c cos A)dSb (S c Sb cos A)dSc dA=(dSa cosCdSb cosBdSc)第五章由图知：条件平差Sb Sc sin A=Sb hb =S a haSb Sc cos A=S a cos CSc Sb cos A=S a cos B1hadA=故有：(vSa cos Cv Sb cos BvSc)vA=ha上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律：任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的高，并乘以常数 。vS1 vS 2 +vS3 第五章条件平差v(vS 4 cos ABDvS1 cos ADBvS3 )(vS6 cos ACDvS 2 cos ADCvS3 )(vS5 cos ABCvS1 cos ACBvS 2 )h3 h2 h13 =v2 =v1 =代入得cos ADC h2 cos ADBh3cos ACD h2 h1 h1cos ABC cos ACBcos ABDh3vS6 +w=0vS5 +vS 4 +h3 h1 h2v1 +v2 v3 +w=0第五章条件平差v(vS3 cos DCAvS6 cos DACvS4 )(vS2 cos DBCvS5 cos DCBvS6 )(vS1 cos DABvS4 cos DBAvS5 )h3 h2 h1v3 =2 =v1 =(2)中点多边形v1 +v2 +v3 +w=0w =AA +i (m+2)180 BBx A +xi B =0y A +y i B =0第五章条件平差1S132S2S34BS45（四）、边角网条件方程单一附合导线的条件方程B一个方位角条件两个坐标条件v1+v2 +vm+2 +w =0m+1i=1m+1i=1m+2i=1 x y i+v =AA+(j j)i 180vi =v j第五章条件平差1S132S2S34BS45B 纵坐标条件为而x A+x1+x2+x3+x4 xB =0 xi =si cos i =(si +vsi)cos(i +v i)xi =xi +cos i vsi yi v i /i+vij=1ij=1 cos v v)+w v)=y v cos v(y第五章条件平差xi si4=xi=14 ii=1 j=14i=1(yi i=01所以纵坐标条件方程为：4 ii=1 j=14 y)v+(y y)v +(y y)v +(y y)v )vi=1(yi i 1 1+y2(v1+v2)+y3(v1+v2 +v3)+y4(v1+v2 +v3 +v4)54i=14i=1 yi)vi +wx =0i si1纵坐标条件方程的最终形式为：第五章条件平差（五）GPS基线向量网三维无约束条件平差1、GPS基线向量网的观测值2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立一条基线三个观测值xij,yij,zij条件平差第五章例：第五章条件平差（六）GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件方程1、观测值观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2 N。2、必要观测个数t=N+13、多余观测个数r=n-t=2N-N-1=N-14、条件方程的类型N-1个直角条件。第五章条件平差 jk jh =直角条件：hjkarctan 90 =0 arctan(y h +v yh )(y j +v y j )(xh +v xh )(x j +v x j )(y k +v yk )(y j +v y j )(xk +v xk )(x j +v x j )V PVV PV 的计算第五章条件平差三、精度评定1、观测值L的精度DLL =02 QLL =02 P 1rT 02 =2、单位权方差的估值T3、观测值函数的协因数4、平差值函数的协因数第五章条件平差例：已知：H A =10.000m H B =10.500 mH C =12.000mS1=S2=S4=2km,S3=1kmT求（1）高差平差值；（2）平差后第3段高差中误差。；AP A K+W=0V=P A KL=L+V第五章条件平差小结：一、条件平差及其目的二、条件平差原理三、总结了条件平差的步骤式，（2）组成法方程式，；（7）精度评定，（1）根据具体问题列条件方程 A V+W=0rn n1 r 1 r 11 T（3）解法方程；1 T（4）计算改正数V，（5）求观测值的平差值（6）检核；V=P A KB K=0B K=0 x=N bb1 B N aa1W第六章附有参数的条件平差一、问题的提出二、附有参数的条件平差原理函数模型随机模型A V+B x+W=0cn n1 cu u1 c1 c1DLL=02 QLL=02 P 1法方程N aa K+Bx+W=0TAV+Bx+W=01 TTT基础方程解向量1 T 0 0 0.9 0V+x+=0第六章附有参数的条件平差1 1 0 0 0 00 1.4 0 0 1 1 10 1.177 0.902 0.688 1.815 07,1 3.9411,1 16.5070 0 0 0 0 11 0 11.334 0 0.0775N bb =B N aa B=3.2580第六章附有参数的条件平差=3 0 0.1573 1.6017.7460001N aa，=0.337 0.0041 0.00760.37470.14530001N aa1T 1TT第六章附有参数的条件平差三角网如图所示，A、B为已知点，BD为已知边。其已知数据为：y A =0.00m,x A =1000.00m,yB =1732.00m,S BD =1000.00mxB =1000.00m,各角的同精度独立观测值见表。现选 CAB 的最或是值为参数，试按附有参数的条件平差求观测值的平差值和参数的平差值。角号观测值角号观测值160 00 03459 59 57260 00 02559 59 56360 00 04659 59 59第六章附有参数的条件平差第六章附有参数的条件平差 =1=1S AB sin XS BD sin(L3 +L5)v4 +v5 +v6 +wb =0sin L4 sin(L1 X)sin(L3 +L5)sin L5 sin(L2 +L4)sin X本例中n=6，t=3，r=3，u=1，故c=r+u=4v1 +v2 +v3 +wa =01.732 0.577 0.577 1.155 1.1550 0 0.577 0 0.577V+3.464 x+5.196=01.732 6.0510 第六章附有参数的条件平差00 0 9 1 0 8 1 1 1 0 00 0 0 1 1取X 0 =30 00 00，将非线性条件线性化后，得条件方程为：3.000 0 1.732 0.577 0 9 0 3.000 0 0.577 0 8 0.666(0 0 3.464 1.732)K=0第六章附有参数的条件平差解得：x=5.4009,V T =(2.4 5.7 5.7 8.0 0.0 0.0)LT =(60 00 05.4 59 59 56.3 59 59 58.3 60 00 05.0 59 59 56.0 59 59 59.0X=30 0005.4V PVV PV 的计算第六章附有参数的条件平差三、精度评定1、观测值L的精度DLL =02 QLL =02 P 1rT 02 =2、单位权方差的估值T3、观测值函数的协因数Qcu =N aa bb1BNx=Q 0=Q W 第六章附有参数的条件平差Quu =N bb11 T1ucK QccQcu W QccW Quu uc Qkk =Qcc Qww Qcc =Qcc N aa Qcc =QccQ xx =Quc Qww Qcu =Quc N aa Qcu =N bb =Quu 1第六章附有参数的条件平差，4、平差值函数的协因数求边长AD 的权倒数。d=f LT dL+f xT dX,求边长BC 的权倒数。=f Qf L F第六章附有参数的条件平差d=f LT dL+f xT dX T T Q =f L QLL f L f L QLX f x f xT QXL f L f xT QXX f xT T TT TTTLQcu F Quu f x T Qccf x Quc=QA N aa bb1 B QcuBN第六章附有参数的条件平差，T T TT T T 1 1 T TT 1 T TT 1 TT 1 1 T第六章附有参数的条件平差，小结：1、为了某种需要，选择参数；2、每选一个参数，就增加一个条件方程，选择u个参数，就增加u个条件方程；3、条件方程的总数为c=r+u;4、单位权中误差的计算公式不变；5、求平差值函数的中误差时，应将平差值函数分别对观测值的平差值和参数求偏导数。