初中数学竞赛辅导ppt课件-数与式

初中数学竞赛辅导初中数学竞赛辅导1数与式2性质性质性质性质1 1 1 1 任何一个有理数都能写成有限小数任何一个有理数都能写成有限小数任何一个有理数都能写成有限小数任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作整数可以看作整数可以看作整数可以看作小数点后面为零的小数小数点后面为零的小数小数点后面为零的小数小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然或循环小数的形式，反之亦然或循环小数的形式，反之亦然或循环小数的形式，反之亦然 有理数性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后3无限不循环小数称为无理数有理数对四则运算是封闭无限不循环小数称为无理数有理数对四则运算是封闭无限不循环小数称为无理数有理数对四则运算是封闭无限不循环小数称为无理数有理数对四则运算是封闭的，而无理数与无理数的和，差，积，商不一定是无理的，而无理数与无理数的和，差，积，商不一定是无理的，而无理数与无理数的和，差，积，商不一定是无理的，而无理数与无理数的和，差，积，商不一定是无理数如：数如：数如：数如：即无理数对四则运算不封闭但它有下列性质：即无理数对四则运算不封闭但它有下列性质：即无理数对四则运算不封闭但它有下列性质：即无理数对四则运算不封闭但它有下列性质：性质性质性质性质2 2 2 2 设设设设a a a a为有理数，为有理数，为有理数，为有理数，b b b b为无理数，则为无理数，则为无理数，则为无理数，则(1)a+b(1)a+b(1)a+b(1)a+b，a-ba-ba-ba-b是无理数；是无理数；是无理数；是无理数；(2)a0(2)a0(2)a0(2)a0时，时，时，时，abababab与与与与a a a ab b b b为是无理数为是无理数为是无理数为是无理数.无理数有理数和无理数统称为实数，记作即有理数和无理数统称为实数，记作即有理数和无理数统称为实数，记作即有理数和无理数统称为实数，记作即无限不循环小数称为无理数有理数对四则运算是封闭的，而无理数4证证证证 （反证法）（反证法）（反证法）（反证法）所以所以所以所以p p p p一定是偶数设一定是偶数设一定是偶数设一定是偶数设p=2m(mp=2m(mp=2m(mp=2m(m是自然数是自然数是自然数是自然数)，代入，代入，代入，代入得得得得4m4m4m4m2 2 2 22q2q2q2q2 2 2 2，q q q q2 2 2 22m2m2m2m2 2 2 2，证（反证法）所以p一定是偶数设p=2m(m是自然数)5例例例例4 4 4 4 若若若若a a a a1 1 1 1+b+b+b+b1 1 1 1a=aa=aa=aa=a2 2 2 2+b+b+b+b2 2 2 2a(a(a(a(其中其中其中其中a a a a1 1 1 1，a a a a2 2 2 2，b b b b1 1 1 1，b b b b2 2 2 2为有理数，为有理数，为有理数，为有理数，a a a a为无为无为无为无理数理数理数理数)，则，则，则，则a a a a1 1 1 1=a=a=a=a2 2 2 2，b b b b1 1 1 1=b=b=b=b2 2 2 2，反之，亦成立，反之，亦成立，反之，亦成立，反之，亦成立证：证：证：证：将原式变形为将原式变形为将原式变形为将原式变形为(b(b(b(b1 1 1 1-b-b-b-b2 2 2 2)a=a)a=a)a=a)a=a2 2 2 2-a-a-a-a1 1 1 1若若若若b b b b1 1 1 1bbbb2 2 2 2，则，则，则，则反之，显然成立反之，显然成立反之，显然成立反之，显然成立例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b6实数.实数集实数集实数集实数集R R R R对加、减、乘、除对加、减、乘、除对加、减、乘、除对加、减、乘、除 (除数不为除数不为除数不为除数不为0)0)0)0)四则运算四则运算四则运算四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商 (除数不除数不除数不除数不为为为为0)0)0)0)仍然是实数仍然是实数仍然是实数仍然是实数.实数集是有序的，即任意两实数实数集是有序的，即任意两实数实数集是有序的，即任意两实数实数集是有序的，即任意两实数a a a a，b b b b必满足下述三个必满足下述三个必满足下述三个必满足下述三个关系之一关系之一关系之一关系之一:ab:ab:ab:ab3.3.实数的大小关系具有传递性，即若实数的大小关系具有传递性，即若实数的大小关系具有传递性，即若实数的大小关系具有传递性，即若ab,bc,ab,bc,则则则则acac 4.实数具有阿基米德实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何性，即对任何 5实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数6 6实数集R具有完备性，即实数集实数集R R与数轴上的点有着与数轴上的点有着一一对应关系一一对应关系实数.实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四7例1 比较下列各组数的大小(不查表)若ab0，则anbn(n为大于1的整数)反之，若a0，b0，且anbn，则ab例1 比较下列各组数的大小(不查表)若ab0，则an8初中数学竞赛辅导ppt课件-数与式9例例例例2 2 2 2：已知已知已知已知a a a a，b b b b是两个任意有理数，且是两个任意有理数，且是两个任意有理数，且是两个任意有理数，且a a a ab b b b，求证：，求证：，求证：，求证：a a a a与与与与b b b b之间存在着无穷多个有理数之间存在着无穷多个有理数之间存在着无穷多个有理数之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性即有理数集具有稠密性即有理数集具有稠密性即有理数集具有稠密性)证：证：证：证：因为因为因为因为a ab b，所以，所以，所以，所以2a2aa+ba+b2b2b，即，即，即，即abab例2：已知a，b是两个任意有理数，且ab，求证：a与b之10例：例：例：例：已知已知已知已知a a a a，b b b b是两个任意有理数，且是两个任意有理数，且是两个任意有理数，且是两个任意有理数，且a a a ab b b b，问是否存，问是否存，问是否存，问是否存在无理数在无理数在无理数在无理数，使得，使得，使得，使得a a a ab b b b成立？成立？成立？成立？由由由由，有有有有存在无理数存在无理数存在无理数存在无理数，使得，使得，使得，使得a a a ab b b b成立成立成立成立即 例：已知a，b是两个任意有理数，且ab，问是否存11整除是整数问题中一个重要的基本概念整除是整数问题中一个重要的基本概念整除是整数问题中一个重要的基本概念整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数如果整数如果整数如果整数a a a a除除除除以自然数以自然数以自然数以自然数b b b b，商是整数且余数为，商是整数且余数为，商是整数且余数为，商是整数且余数为0 0 0 0，我们就说，我们就说，我们就说，我们就说a a a a能被能被能被能被b b b b整除，整除，整除，整除，或或或或b b b b能整除能整除能整除能整除a a a a，或，或，或，或b b b b整除整除整除整除a a a a，记作，记作，记作，记作b b b b丨丨丨丨a.a.a.a.此时，此时，此时，此时，b b b b是是是是a a a a的一个因的一个因的一个因的一个因数（约数），数（约数），数（约数），数（约数），a a a a是是是是b b b b的倍数的倍数的倍数的倍数.1.1.1.1.整除的性质整除的性质整除的性质整除的性质性质性质性质性质1 1 1 1 如果如果如果如果a a a a和和和和b b b b都能被都能被都能被都能被m m m m整除，那么整除，那么整除，那么整除，那么a+ba+ba+ba+b，a-ba-ba-ba-b也都能被也都能被也都能被也都能被m m m m整整整整除（这里设除（这里设除（这里设除（这里设a a a a b b b b）.例如：例如：例如：例如：3 3 3 3丨丨丨丨18181818，3 3 3 3丨丨丨丨12121212，那么，那么，那么，那么3 3 3 3丨（丨（丨（丨（18+1218+1218+1218+12），），），），3 3 3 3丨（丨（丨（丨（18-1218-1218-1218-12）.性质性质性质性质2 2 2 2 如果如果如果如果a a a a能被能被能被能被b b b b整除，整除，整除，整除，b b b b能被能被能被能被c c c c整除，那么整除，那么整除，那么整除，那么a a a a能被能被能被能被c c c c整除。整除。整除。整除。例如：例如：例如：例如：3 3 3 3丨丨丨丨6 6 6 6，6 6 6 6丨丨丨丨24242424，那么，那么，那么，那么3 3 3 3丨丨丨丨24.24.24.24.性质性质性质性质3 3 3 3 如果如果如果如果a a a a能同时被能同时被能同时被能同时被m m m m、n n n n整除，那么整除，那么整除，那么整除，那么a a a a也一定能被也一定能被也一定能被也一定能被m m m m和和和和n n n n的的的的最小公倍数整除最小公倍数整除最小公倍数整除最小公倍数整除.例如：例如：例如：例如：6 6 6 6丨丨丨丨36363636，9 9 9 9丨丨丨丨36363636，6 6 6 6和和和和9 9 9 9的最小公倍数是的最小公倍数是的最小公倍数是的最小公倍数是18181818，18181818丨丨丨丨36.36.36.36.整除问题整除问题整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数12性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被bc整除.例如：例如：例如：例如：72727272能分别被能分别被能分别被能分别被3 3 3 3和和和和4 4 4 4整除，由整除，由整除，由整除，由3 3 3 3与与与与4 4 4 4互质，互质，互质，互质，72727272能被能被能被能被3 3 3 3与与与与4 4 4 4的的的的乘积乘积乘积乘积12121212整除整除整除整除.（3 3 3 3）能被）能被）能被）能被3 3 3 3（或（或（或（或9 9 9 9）整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整数整数整数整数的的的的各各各各位数字之和位数字之和位数字之和位数字之和能被能被能被能被3 3 3 3（或（或（或（或9 9 9 9）整除，那么它必能被）整除，那么它必能被）整除，那么它必能被）整除，那么它必能被3 3 3 3（或（或（或（或9 9 9 9）整）整）整）整除除除除.2.2.2.2.数的整除特征数的整除特征数的整除特征数的整除特征（1 1 1 1）能被）能被）能被）能被2 2 2 2整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整数整数整数整数的的的的个位数字个位数字个位数字个位数字是是是是偶数偶数偶数偶数，那么它必能被，那么它必能被，那么它必能被，那么它必能被2 2 2 2整除整除整除整除.（2 2 2 2）能被）能被）能被）能被5 5 5 5整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整数整数整数整数的的的的个位数字个位数字个位数字个位数字是是是是0 0 0 0或或或或5 5 5 5，那么它必能被，那么它必能被，那么它必能被，那么它必能被5 5 5 5整除整除整除整除.性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a例13（6 6 6 6）能被）能被）能被）能被11111111整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整数整数整数整数的的的的奇数位数奇数位数奇数位数奇数位数字之和字之和字之和字之和与与与与偶数位数字之和的差偶数位数字之和的差偶数位数字之和的差偶数位数字之和的差（大减小）能被（大减小）能被（大减小）能被（大减小）能被11111111整除，那整除，那整除，那整除，那么它必能被么它必能被么它必能被么它必能被11111111整除整除整除整除.（4 4 4 4）能被）能被）能被）能被4 4 4 4（或（或（或（或25252525）整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整数整数整数整数的的的的末末末末两位数两位数两位数两位数能被能被能被能被4 4 4 4（或（或（或（或25252525）整除，那么它必能被）整除，那么它必能被）整除，那么它必能被）整除，那么它必能被4 4 4 4（或（或（或（或25252525）整除）整除）整除）整除.（5 5 5 5）能被）能被）能被）能被8 8 8 8（或（或（或（或125125125125）整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整除的数的特征：如果一个整数整数整数整数的的的的末三位数末三位数末三位数末三位数能被能被能被能被8 8 8 8（或（或（或（或125125125125）整除，那么它必能被）整除，那么它必能被）整除，那么它必能被）整除，那么它必能被8 8 8 8（或（或（或（或125125125125）整除整除整除整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与14例一本老账本上记着：例一本老账本上记着：7272只桶，共只桶，共67.967.9元，其中元，其中处是被虫蛀掉的数字，处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上请把这笔账补上.解：把解：把67.967.9写成整数写成整数a679b a679b，7272a679ba679b72729898，（，（9 9，8 8）.按照前面的性质按照前面的性质4 4，8 8a679ba679b且且a679ba679b按被按被8 8整除的特征，整除的特征，8 879b79b，因此，因此b b2.2.按照被按照被9 9整除特征，整除特征，9 9a+24a+24，因此，因此a a3.3.这笔帐是这笔帐是367.92367.92元元.例一本老账本上记着：72只桶，共67.9元，其中处15例下面这个例下面这个4141位数位数 能被能被7 7整除，整除，中间方格代表的数字是几？中间方格代表的数字是几？解：因为解：因为解：因为解：因为 11111111111111111111111137111337371113373711133737111337，所以所以所以所以5555555555555555555555555111111511111151111115111111和和和和9999999999999999999999999111111911111191111119111111都能被都能被都能被都能被7 7 7 7整除整除整除整除.这样，这样，这样，这样，18181818个个个个5 5 5 5和和和和18181818个个个个9 9 9 9分别组成的分别组成的分别组成的分别组成的18181818位数，也都能被位数，也都能被位数，也都能被位数，也都能被7 7 7 7整除整除整除整除.上边的三个加数中，前、后两个数都能被上边的三个加数中，前、后两个数都能被上边的三个加数中，前、后两个数都能被上边的三个加数中，前、后两个数都能被7 7 7 7整除，那么只整除，那么只整除，那么只整除，那么只要中间的要中间的要中间的要中间的5599559955995599能被能被能被能被7 7 7 7整除，原数就能被整除，原数就能被整除，原数就能被整除，原数就能被7 7 7 7整除整除整除整除.把把把把5599559955995599拆成两个数的和：拆成两个数的和：拆成两个数的和：拆成两个数的和：55A0055A0055A0055A00B99B99B99B99，其中，其中，其中，其中=A+B.=A+B.=A+B.=A+B.因为因为因为因为7 7 7 7丨丨丨丨55300553005530055300，7 7 7 7丨丨丨丨399399399399，所以，所以，所以，所以=3+3=3+3=3+3=3+36.6.6.6.注意：记住注意：记住注意：记住注意：记住111111111111111111111111能被能被能被能被7 7 7 7整除是很有用的整除是很有用的整除是很有用的整除是很有用的.例下面这个41位数 能被7整除，解：因16分解质因数分解质因数 一个整数，它的一个整数，它的一个整数，它的一个整数，它的约数只有约数只有约数只有约数只有1 1 1 1和它本身和它本身和它本身和它本身，就称为质数，就称为质数，就称为质数，就称为质数（也叫素数）（也叫素数）（也叫素数）（也叫素数）.例如，例如，例如，例如，2 2 2 2，5 5 5 5，7 7 7 7，101101101101，.一个整数一个整数一个整数一个整数除除除除1 1 1 1和它本身外，还有其他约数和它本身外，还有其他约数和它本身外，还有其他约数和它本身外，还有其他约数，就称为合，就称为合，就称为合，就称为合数数数数.例如，例如，例如，例如，4 4 4 4，12121212，99999999，501501501501，.1 1 1 1不是质数，也不是合数不是质数，也不是合数不是质数，也不是合数不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有少有少有少有3 3 3 3个约数的整数是合数，个约数的整数是合数，个约数的整数是合数，个约数的整数是合数，1 1 1 1只有一个约数，也就是它本只有一个约数，也就是它本只有一个约数，也就是它本只有一个约数，也就是它本身身身身.质数中只有一个偶数，就是质数中只有一个偶数，就是质数中只有一个偶数，就是质数中只有一个偶数，就是2 2 2 2，其他质数都是奇数，其他质数都是奇数，其他质数都是奇数，其他质数都是奇数.但但但但是奇数不一定是质数，例如，是奇数不一定是质数，例如，是奇数不一定是质数，例如，是奇数不一定是质数，例如，15151515，33333333，.分解质因数 一个整数，它的约数只有1和它本身17 一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，因数，例如，因数，例如，因数，例如，2 2 2 2，3 3 3 3，7 7 7 7，都是，都是，都是，都是42424242的质因数，的质因数，的质因数，的质因数，6 6 6 6，14141414也是也是也是也是42424242的的的的因数，但不是质因数因数，但不是质因数因数，但不是质因数因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如地表示成质因数乘积的形式，例如地表示成质因数乘积的形式，例如地表示成质因数乘积的形式，例如360360360360222335=2222335=2222335=2222335=23 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 5 5 5 5例例例例1 1 1 1 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1 1 1 1岁，岁，岁，岁，而他们的年龄的乘积是而他们的年龄的乘积是而他们的年龄的乘积是而他们的年龄的乘积是5040504050405040，那么，他们的年龄各是多少，那么，他们的年龄各是多少，那么，他们的年龄各是多少，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把解：我们先把解：我们先把解：我们先把5040504050405040分解质因数分解质因数分解质因数分解质因数50405040504050402 2 2 24 4 4 433332 2 2 257.57.57.57.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：2 2 2 24 4 4 433332 2 2 25757575778910.78910.78910.78910.所以，这四名学生的年龄分别是所以，这四名学生的年龄分别是所以，这四名学生的年龄分别是所以，这四名学生的年龄分别是7 7 7 7岁、岁、岁、岁、8 8 8 8岁、岁、岁、岁、9 9 9 9岁和岁和岁和岁和10101010岁岁岁岁 一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，18例例例例 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1 1 1 1岁，岁，岁，岁，而他们的年龄的乘积是而他们的年龄的乘积是而他们的年龄的乘积是而他们的年龄的乘积是5040504050405040，那么，他们的年龄各是多少，那么，他们的年龄各是多少，那么，他们的年龄各是多少，那么，他们的年龄各是多少？解：设他们的年龄分别是x-1,x,x+1,x+2例 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，解：设他19利用合数的质因数分解式，不难求出该数的利用合数的质因数分解式，不难求出该数的利用合数的质因数分解式，不难求出该数的利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数约数个数约数个数约数个数（包（包（包（包括括括括1 1和它本身）和它本身）和它本身）和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子为寻求一般方法，先看一个简单的例子为寻求一般方法，先看一个简单的例子为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道我们知道我们知道我们知道2424的约数有的约数有的约数有的约数有8 8个：个：个：个：1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，8 8，1212，24.24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事很麻烦的事很麻烦的事很麻烦的事.因为因为因为因为24242 23 333，所以，所以，所以，所以2424的约数是的约数是的约数是的约数是2 23 3的约数（的约数（的约数（的约数（1 1，2 2，2 22 2，2 23 3）与）与）与）与3 3的约数（的约数（的约数（的约数（1 1，3 3）之间的两两乘积）之间的两两乘积）之间的两两乘积）之间的两两乘积.1111，1313，2121，2323，2 22 211，2 22 233，2 23 311，2 23 33.3.这里有这里有这里有这里有42428 8个，即个，即个，即个，即 （3 31 1）（1 11 1）个）个）个）个利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本20如果合数B分解质因数后是：B=ambncp其中a、b、c均为质数，m、n、p均为自然数.那么，它的约数个数有（m+1）（n+1）（p+1）（个）如果合数B分解质因数后是：其中a、b、c均为质数，那么，21例例例例 在在在在100100100100至至至至150150150150之间，找出约数个数是之间，找出约数个数是之间，找出约数个数是之间，找出约数个数是8 8 8 8的所有整数的所有整数的所有整数的所有整数.8=(7+1)=(3+1)(1+1)=(1+1)(1+1)(1+1)例 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.822初中数学竞赛辅导ppt课件-数与式23余数问题余数问题 在整数除法运算中，除了前面说过的在整数除法运算中，除了前面说过的在整数除法运算中，除了前面说过的在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除能整除能整除能整除”情形情形情形情形外，更多的是不能整除的情形外，更多的是不能整除的情形外，更多的是不能整除的情形外，更多的是不能整除的情形.被除数被除数被除数被除数=除数除数除数除数 商商商商+余数余数余数余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余余余余数数数数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据这一事实，解题时常作为依据这一事实，解题时常作为依据这一事实，解题时常作为依据 .例例例例17 539717 539717 539717 5397被一个质数除，所得余数是被一个质数除，所得余数是被一个质数除，所得余数是被一个质数除，所得余数是15.15.15.15.求这个质数求这个质数求这个质数求这个质数.解：这个质数能整除解：这个质数能整除解：这个质数能整除解：这个质数能整除5397-155397-155397-155397-155382538253825382，而而而而 5382538253825382232323232 2 2 21323.1323.1323.1323.因为除数要比余数因为除数要比余数因为除数要比余数因为除数要比余数15151515大，除数又是质数，所以它只能是大，除数又是质数，所以它只能是大，除数又是质数，所以它只能是大，除数又是质数，所以它只能是23.23.23.23.余数问题 在整数除法运算中，除了前面说过的“能25同余同余同余同余两个整数两个整数两个整数两个整数a,ba,ba,ba,b除以正整数除以正整数除以正整数除以正整数m m m m，若余数相同，则称，若余数相同，则称，若余数相同，则称，若余数相同，则称a a a a与与与与b b b b关于关于关于关于模模模模m m m m同余，记作同余，记作同余，记作同余，记作ab(mod m)ab(mod m)ab(mod m)ab(mod m)，这叫做同余式。，这叫做同余式。，这叫做同余式。，这叫做同余式。如果如果如果如果ab(mod m)ab(mod m)ab(mod m)ab(mod m)，则，则，则，则m m m m b b b ba a a a例：一整数被例：一整数被967,1000,2001967,1000,2001除所得余数相同，求该整数除所得余数相同，求该整数解：由上面的结论，所求整数应能整除解：由上面的结论，所求整数应能整除解：由上面的结论，所求整数应能整除解：由上面的结论，所求整数应能整除 967967967967，1000100010001000，2001200120012001的两两之差，即的两两之差，即的两两之差，即的两两之差，即1000-9671000-9671000-9671000-96733333333311311311311，2001-10002001-10002001-10002001-1000100110011001100171113711137111371113，2001-9672001-9672001-9672001-967103410341034103421147.21147.21147.21147.这个整数是这三个差的公约数这个整数是这三个差的公约数这个整数是这三个差的公约数这个整数是这三个差的公约数11.11.11.11.同余如果ab(mod m)，则mba例：一整数被96726 二次根式的二次根式的二次根式的二次根式的概念、性质以及运算法则概念、性质以及运算法则概念、性质以及运算法则概念、性质以及运算法则是根式是根式是根式是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力知识和方法的能力知识和方法的能力知识和方法的能力 二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的27二次根式的性质：二次根式的性质：二次根式的性质：二次根式的性质：二次根式二次根式的性质：二次根式28二次根式的运算法则：二次根式的运算法则：二次根式的运算法则：二次根式的运算法则：设设设设a a，b b，c c，d d，mm是有理数，且是有理数，且是有理数，且是有理数，且mm不是完全平方数，不是完全平方数，不是完全平方数，不是完全平方数，则当且仅则当且仅则当且仅则当且仅二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完29解法解法解法解法1 1：配方法配方法配方法配方法例：解法1：配方法例：30解法解法解法解法2 2 待定系数法待定系数法待定系数法待定系数法 解法2 待定系数法 31例：例：例：例：化简：化简：化简：化简：(2)(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简例：化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步32分析分析分析分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2 2，可以看成可以看成可以看成可以看成解解解解 设设设设例例例例分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，解 设33例例解解解解 用换元法用换元法用换元法用换元法例解 用换元法34解：利用(ab)3a3b33ab(ab)来解将方程左端因式分解有将方程左端因式分解有将方程左端因式分解有将方程左端因式分解有(x-4)(x(x-4)(x2 24x4x10)10)0 0因为因为因为因为x x2 24x4x1010(x(x2)22)26 60 0，所以所以所以所以x-4x-40 0，x x4 4所以原式所以原式所以原式所以原式4 4例解：利用(ab)3a3b33ab(ab)来解将方35例例例例解解解解 用构造方程的方法来解设原式为用构造方程的方法来解设原式为用构造方程的方法来解设原式为用构造方程的方法来解设原式为x x，利用根号的层数，利用根号的层数，利用根号的层数，利用根号的层数是无限的特点，有是无限的特点，有是无限的特点，有是无限的特点，有两边平方得两边平方得两边平方得两边平方得两边再平方得两边再平方得两边再平方得两边再平方得x x4 4-4x-4x2 24 42 2x x，所以，所以，所以，所以x x4 4-4x-4x2 2-x-x2 20 0(x(x1)(x-2)(x1)(x-2)(x2 2x-1)x-1)0 0 例解 用构造方程的方法来解设原式为x，利用根号的层数是无36例例37分式38分式式若一个分式分母的值为零，则分式无意义当分式的分若一个分式分母的值为零，则分式无意义当分式的分若一个分式分母的值为零，则分式无意义当分式的分若一个分式分母的值为零，则分式无意义当分式的分子的值为零而分母的值不为零时，分式的值为零子的值为零而分母的值不为零时，分式的值为零子的值为零而分母的值不为零时，分式的值为零子的值为零而分母的值不为零时，分式的值为零 .分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变例例例例1 1 化简分式：化简分式：化简分式：化简分式：分式式若一个分式分母的值为零，则分式无意义当分式的分39例 已知：x+y+z=3a(a0，且x，y，z不全相等)，求解 令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为 u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w20，从而有例 已知：x+y+z=3a(a0，且x，y，z不全相等)40例(x-4)2=3，即x2-8x+130原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10原式分母=(x2-8x+13)+2=2例(x-4)2=3，即x2-8x+13041例解法1:利用比例的性质解决分式问题(1)若a+b+c0，由等比定理有所以所以所以所以a+b-c=ca+b-c=c，a-b+c=ba-b+c=b，-a+b+c=a-a+b+c=a，例解法1:利用比例的性质解决分式问题所以a+b-c=c42解法解法解法解法2:2:设参数法令设参数法令设参数法令设参数法令则则则则a+b=(k+1)ca+b=(k+1)c，a+c=(k+1)ba+c=(k+1)b，b+c=(k+1)ab+c=(k+1)a+有有有有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以所以所以所以 (a+b+c)(k-1)=0(a+b+c)(k-1)=0，故有故有故有故有k=1k=1或或或或 a+b+c=0a+b+c=0当当当当k=1k=1时，时，时，时，当当当当a+b+c=0a+b+c=0时，时，时，时，解法2:设参数法令则a+b=(k+1)c，当a+b+c43一个分式是两个多项式的商。设分子的次数为一个分式是两个多项式的商。设分子的次数为一个分式是两个多项式的商。设分子的次数为一个分式是两个多项式的商。设分子的次数为n n n n，分母的，分母的，分母的，分母的次数为次数为次数为次数为m m m m。当当当当n n n nm m m m时，该分式称为真分式；时，该分式称为真分式；时，该分式称为真分式；时，该分式称为真分式；当当当当nmnmnmnm时，该分式称为假分式。时，该分式称为假分式。时，该分式称为假分式。时，该分式称为假分式。如果一个分式不是真分式，可以通过带余除法化为一个多如果一个分式不是真分式，可以通过带余除法化为一个多如果一个分式不是真分式，可以通过带余除法化为一个多如果一个分式不是真分式，可以通过带余除法化为一个多项式与一个真分式的和。把一个真分式化为几个更简单的项式与一个真分式的和。把一个真分式化为几个更简单的项式与一个真分式的和。把一个真分式化为几个更简单的项式与一个真分式的和。把一个真分式化为几个更简单的真分式的代数和，称为将分式化为部分分式。真分式的代数和，称为将分式化为部分分式。真分式的代数和，称为将分式化为部分分式。真分式的代数和，称为将分式化为部分分式。部分分 数 和 分 式一个分式是两个多项式的商。设分子的次数为n，分母的次数为m。44把一个分式分为部分分式的一般步骤是：把一个分式分为部分分式的一般步骤是：把一个分式分为部分分式的一般步骤是：把一个分式分为部分分式的一般步骤是：（1 1 1 1）把一个分式化成一个整式与一个真分式的和；）把一个分式化成一个整式与一个真分式的和；）把一个分式化成一个整式与一个真分式的和；）把一个分式化成一个整式与一个真分式的和；（2 2 2 2）把真分式的分母分解因式；）把真分式的分母分解因式；）把真分式的分母分解因式；）把真分式的分母分解因式；（3 3 3 3）根据真分式的分母分解因式后的形式，引入）根据真分式的分母分解因式后的形式，引入）根据真分式的分母分解因式后的形式，引入）根据真分式的分母分解因式后的形式，引入待定系数来表示成为部分分式的形式；待定系数来表示成为部分分式的形式；待定系数来表示成为部分分式的形式；待定系数来表示成为部分分式的形式；（4 4 4 4）利用多项式恒等的性质和多项式恒等定理列）利用多项式恒等的性质和多项式恒等定理列）利用多项式恒等的性质和多项式恒等定理列）利用多项式恒等的性质和多项式恒等定理列出关于待定系数的方程或方程组；出关于待定系数的方程或方程组；出关于待定系数的方程或方程组；出关于待定系数的方程或方程组；（5 5 5 5）解方程或方程组，求待定系数的值；）解方程或方程组，求待定系数的值；）解方程或方程组，求待定系数的值；）解方程或方程组，求待定系数的值；（6 6 6 6）把待定系数的值代入所设的分式中，写出部）把待定系数的值代入所设的分式中，写出部）把待定系数的值代入所设的分式中，写出部）把待定系数的值代入所设的分式中，写出部分分式。分分式。分分式。分分式。把一个分式分为部分分式的一般步骤是：45初中数学竞赛辅导ppt课件-数与式461 1运用公式法运用公式法(1)a(1)a(1)a(1)a2 2 2 2-b-b-b-b2 2 2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)；(2)a(2)a(2)a(2)a2 2 2 22ab+b2ab+b2ab+b2ab+b2 2 2 2=(ab)=(ab)=(ab)=(ab)2 2 2 2；(3)a(3)a(3)a(3)a3 3 3 3+b+b+b+b3 3 3 3=(a+b)(a=(a+b)(a=(a+b)(a=(a+b)(a2 2 2 2-ab+b-ab+b-ab+b-ab+b2 2 2 2)；(4)a(4)a(4)a(4)a3 3 3 3-b-b-b-b3 3 3 3=(a-b)(a=(a-b)(a=(a-b)(a=(a-b)(a2 2 2 2+ab+b+ab+b+ab+b+ab+b2 2 2 2)(5)a(5)a(5)a(5)a2 2 2 2+b+b+b+b2 2 2 2+c+c+c+c2 2 2 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 2 2 2；(6)a(6)a(6)a(6)a3 3 3 3+b+b+b+b3 3 3 3+c+c+c+c3 3 3 3-3abc=(a+b+c)(a-3abc=(a+b+c)(a-3abc=(a+b+c)(a-3abc=(a+b+c)(a2 2 2 2+b+b+b+b2 2 2 2+c+c+c+c2 2 2 2-ab-bc-ca)-ab-bc-ca)-ab-bc-ca)-ab-bc-ca)；(7)a(7)a(7)a(7)an n n n-b-b-b-bn n n n=(a-b)(a=(a-b)(a=(a-b)(a=(a-b)(an-1n-1n-1n-1+a+a+a+an-2n-2n-2n-2b+ab+ab+ab+an-3n-3n-3n-3b b b b2 2 2 2+ab+ab+ab+abn-2n-2n-2n-2+b+b+b+bn-1n-1n-1n-1)其中其中其中其中n n n n为正为正为正为正整数；整数；整数；整数；因式分解1运用公式法因式分解47例：例：例：例：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：x x x x15151515+x+x+x+x14141414+x+x+x+x13131313+x+x+x+x2 2 2 2+x+1+x+1+x+1+x+1 解：解：解：解：因为因为因为因为x x x x16161616-1=(x-1)(x-1=(x-1)(x-1=(x-1)(x-1=(x-1)(x15151515+x+x+x+x14141414+x+x+x+x13131313+x+x+x+x2 2 2 2+x+1)+x+1)+x+1)+x+1)，所以所以所以所以例：分解因式：x15+x14+x13+x2+x+148例：例：例：例：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：x x x x3 3 3 3-9x+8-9x+8-9x+8-9x+8 解法解法1 1 将常数项将常数项8 8拆成拆成-1+9-1+9原式原式=x=x3 3-9x-1+9-9x-1+9=(x=(x3 3-1)-9x+9-1)-9x+9=(x-1)(x=(x-1)(x2 2+x+1)-9(x-1)+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x=(x-1)(x2 2+x-8)+x-8)解法解法2 2 将一次项将一次项-9x-9x拆成拆成-x-8x-x-8x原式原式=x=x3 3-x-8x+8-x-8x+8=(x=(x3 3-x)+(-8x+8)-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x=(x-1)(x2 2+x-8)+x-8)2 2拆项、添项法拆项、添项法例：分解因式：x3-9x+8 解法1 2拆项、添项法49例：例：例：例：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：x x x x3 3 3 3-9x+8-9x+8-9x+8-9x+8 解法解法3 3 将三次项将三次项x x3 3拆成拆成9x9x3 3-8x-8x3 3原式原式=9x=9x3 3-8x-8x3 3-9x+8-9x+8=(9x=(9x3 3-9x)+(-8x-9x)+(-8x3 3+8)+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2 2+x+1)+x+1)=(x-1)(x=(x-1)(x2 2+x-8)+x-8)解法解法4 4 添加两项添加两项-x-x2 2+x+x2 2原式原式=x=x3 3-x-x2 2+x+x2 2-9x+8-9x+8=x=x2 2(x-1)+(x-8)(x-1)(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x=(x-1)(x2 2+x-8)+x-8)例：分解因式：x3-9x+8 解法3 503 3换元法换元法例：分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12解解 设设x x2 2+x=y+x=y，则，则原式原式=(y+1)(y+2)-12=y=(y+1)(y+2)-12=y2 2+3y-10+3y-10=(y-2)(y+5)=(x=(y-2)(y+5)=(x2 2+x-2)(x+x-2)(x2 2+x+5)+x+5)=(x-1)(x+2)(x=(x-1)(x+2)(x2 2+x+5)+x+5)3换元法例：分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-51例：例：分解因式：分解因式：(x(x2 2+xy+y+xy+y2 2)-4xy(x)-4xy(x2 2+y+y2 2)解解 原式原式=(x+y)=(x+y)2 2-xy-xy2 2-4xy(x+y)-4xy(x+y)2 2-2xy-2xy令令x+y=ux+y=u，xy=vxy=v，则，则原式原式=(u=(u2 2-v)-v)2 2-4v(u-4v(u2 2-2v)-2v)=u=u4 4-6u-6u2 2v+9vv+9v2 2=(u=(u2 2-3v)-3v)2 2=(x=(x2 2+2xy+y+2xy+y2 2-3xy)-3xy)2 2=(x=(x2 2-xy+y-xy+y2 2)2 2例：分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)52待定系数法待定系数法例：例：例：例：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：x x x x2 2 2 2+3xy+2y+3xy+2y+3xy+2y+3xy+2y2 2 2 2+4x+5y+3+4x+5y+3+4x+5y+3+4x+5y+3分析分析分析分析 由于由于由于由于(x(x(x(x2 2 2 2+3xy+2y+3xy+2y+3xy+2y+3xy+2y2 2 2 2)=(x+2y)(x+y)=(x+2y)(x+y)=(x+2y)(x+y)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+mx+2y+mx+2y+mx+2y+m和和和和x x x xy y y yn n n n的形式，应用待定系数法即可求出的形式，应用待定系数法即可求出的形式，应用待定系数法即可求出的形式，应用待定系数法即可求出m m m m和和和和n n n n，使问题，使问题，使问题，使问题得到解决得到解决得到解决得到解决解：解：解：解：设设设设x x x x2 2 2 2+3xy+2y+3xy+2y+3xy+2y+3xy+2y2 2 2 2+4x+5y+3+4x+5y+3+4x+5y+3+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=(x+2y+m)(x+y+n)=(x+2y+m)(x+y+n)=(x+2y+m)(x+y+n)=x=x=x=x2 2 2 2+3xy+2y+3xy+2y+3xy+2y+3xy+2y2 2 2 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn+(m+n)x+(m+2n)y+mn+(m+n)x+(m+2n)y+mn+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有比较两边对应项的系数，则有比较两边对应项的系数，则有比较两边对应项的系数，则有解之得解之得解之得解之得m=3m=3m=3m=3，n=1n=1n=1n=1所以：原式所以：原式所以：原式所以：原式=(x+2y+3)(x+y+1)=(x+2y+3)(x+y+1)=(x+2y+3)(x+y+1)=(x+2y+3)(x+y+1)待定系数法例：分解因式：x2+3xy+2y2+4x+53求根法求根法我们把形如我们把形如a an nx xn n+a+an-1n-1x xn-1n-1+a+a1 1x+ax+a0 0(n(n为非负整数为非负整数)的代数式称为关于的代数式称为关于x x的一元多项式，并用的一元多项式，并用f(x)f(x)，g(x)g(x)，等记号表示，如等记号表示，如f(x)=xf(x)=x2 2-3x+2-3x+2，g(x)=xg(x)=x5 5+x+x2 2+6+6，当当x=ax=a时，多项式时，多项式f(x)f(x)的值用的值用f(a)f(a)表示如对表示如对上面的多项式上面的多项式f(x)f(x)f(1)=12-31+2=0f(1)=12-31+2=0；定理定理1 1：因式定理：因式定理：若若a a是一元多项式是一元多项式f(x)f(x)的根，即的根，即f(a)=0f(a)=0成立，则多成立，则多项式项式f(x)f(x)有一个因式有一个因式x-ax-a求根法我们把形如anxn+an-1xn-1+a1x+54例例6 6：分解因式：分解因式：x x3 3-9x+8-9x+8 例6：分解因式：x3-9x+8 作业55定理定理2 2的根，则必有的根，则必有p p是是a a0 0的约数，的约数，q q是是a an n的约数的约数定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数56例例7 7：分解因式：分解因式：x x3 3-4x-4x2 2+6x-4+6x-4这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4-4-4-4的的的的约数，逐个检验约数，逐个检验约数，逐个检验约数，逐个检验-4-4-4-4的约数：的约数：的约数：的约数：1111，2222，4444，只有，只有，只有，只有f(2)