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第三章 刚体的转动与流体的运动 3-1 刚体模型及其运动刚体模型及其运动 3-2 力矩力矩 转动惯量转动惯量 定轴转动定律定轴转动定律 3-3 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系 3-4 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律 3-5 进动进动 3-6 理想流体模型理想流体模型 定常流动定常流动 伯努利方程伯努利方程 3-7 牛顿力学的内在随机性牛顿力学的内在随机性 混沌混沌3.1 刚体模型及其运动刚体模型及其运动一、刚体一、刚体特殊的质点系，特殊的质点系，理想化模型理想化模型形状和体积不变化形状和体积不变化在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变二、自由度二、自由度确定物体的位置所需要的独立坐标数确定物体的位置所需要的独立坐标数 物体的自由度数物体的自由度数sOi=1xyzO(x,y,z)i=3i=2xyzOi=3+2+1=6 当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制 自由度减少自由度减少刚体运动时，若在刚体内所刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持作的任一条直线都始终保持和自身平行和自身平行三、刚体的平动三、刚体的平动 刚体平动刚体平动平动的特点平动的特点(1)刚体中各质点的运动情况相同刚体中各质点的运动情况相同(2)刚体的平动可归结为质点运动刚体的平动可归结为质点运动所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。3-2 力矩力矩 转动惯量转动惯量 定轴转动定律定轴转动定律zMIIIII P一、描述刚体绕定轴转动的角量一、描述刚体绕定轴转动的角量刚体的平动和绕定轴转动是刚刚体的平动和绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动体的两种最简单最基本运动刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线(转轴转轴)作圆周运动作圆周运动_刚体转动刚体转动转轴固定不动转轴固定不动 定轴转动定轴转动定轴转动的特点：定轴转动的特点：（1）角位移，角速度和角加速度均相同；）角位移，角速度和角加速度均相同；（2）质点在垂直转轴的各自平面内运动作）质点在垂直转轴的各自平面内运动作半径不同的圆周运动。半径不同的圆周运动。1、角坐标、角速度、角坐标、角速度 角加速度角加速度 2、定轴转动刚体上各点的速度和加速度、定轴转动刚体上各点的速度和加速度定轴定轴P,刚体刚体 参参考考方方向向zOr基点基点O O瞬时轴瞬时轴任意点都绕同一轴作圆周运动任意点都绕同一轴作圆周运动,且且 ，都相同都相同二、力矩二、力矩力力改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得角加速度质点获得加速度质点获得加速度改变质点的运动状态改变质点的运动状态A1 1、力、力 对对 点的力矩点的力矩对于过对于过O O点点Z Z轴，力矩可分解为两个分量轴，力矩可分解为两个分量定义：定义：大小：大小：方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面SI：Nmh（2）（1）大小：大小：Ah平行于平行于z z轴轴不产生对不产生对z z轴的力矩轴的力矩在转动平面内在转动平面内产生对产生对z z轴的力矩轴的力矩2、力力 对转轴对转轴Z Z的力矩的力矩定义：定义：方向：沿方向：沿z z轴正或负方向轴正或负方向讨论讨论？注注:在定轴动问题中，如不加说明，所指的力在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。注注:对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零，在定轴转动中不予考虑。在定轴转动中不予考虑。O对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元-外力外力-内力内力O（3 3）力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影等于）力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影等于该力对该轴的力矩该力对该轴的力矩（4 4）在具体的坐标系中，力矩在各坐标轴的分量，就叫对轴）在具体的坐标系中，力矩在各坐标轴的分量，就叫对轴的力矩。的力矩。3、刚体的合、刚体的合力矩力矩内力对定点的内力对定点的力矩之和为零力矩之和为零？(1)(1)力对点的力矩力对点的力矩O .(2)(2)力对定轴力矩的矢量形式力对定轴力矩的矢量形式(3)(3)力对任意点的力矩，在通过力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴的力矩于该力对该轴的力矩小结小结在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向hA A(4)(4)刚体的合力矩刚体的合力矩xLOMy例例已知棒长已知棒长 L,质量质量 M，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的桌面转动的桌面转动(如图如图)解解xdxTT例如例如TT在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算求求 摩擦力对摩擦力对y轴的力矩轴的力矩刚体的转动定律刚体的转动定律作用在刚体上所有的外力对作用在刚体上所有的外力对定轴定轴 z z 轴的力矩的代数和轴的力矩的代数和刚体对刚体对 z z 轴轴的转动惯量的转动惯量(1)M 正比于正比于 ，力矩越大力矩越大，刚体的刚体的 越大越大(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同三、刚体对定轴的转动定律三、刚体对定轴的转动定律实验证明实验证明当当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动为零时，则刚体保持静止或匀速转动当存在当存在 M 时，时，与与 M 成正比，而与成正比，而与J 成反比成反比(3)与牛顿定律比较：与牛顿定律比较：讨论讨论在国际单位中在国际单位中 k=1强调：均对同一转轴而言O理论推证理论推证取一质量元取一质量元切线方向切线方向对固定轴的力矩对固定轴的力矩对所有质元对所有质元合内力矩合内力矩 =0合外力矩合外力矩 M刚体的转动惯量刚体的转动惯量 J写成矢量式：写成矢量式：强调：均对同一转轴而言四、转动惯量四、转动惯量1、转动惯量的定义式、转动惯量的定义式:（质量不连续分布）（质量不连续分布）（质量连续分布）（质量连续分布）转动惯量的三要素转动惯量的三要素:(1)总质量总质量(2)质量分布质量分布(3)转轴的位置转轴的位置J J 物理意义：转动中物体惯性的量度物理意义：转动中物体惯性的量度定轴转动定律定轴转动定律在转动问题中在转动问题中的地位相当于的地位相当于平动时的牛顿平动时的牛顿第二定律第二定律则称则称rG为刚体对该定轴的回转半径为刚体对该定轴的回转半径(1)J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关例如细棒绕端点轴转动惯量例如细棒绕端点轴转动惯量LzOxdxM(2)J 与质量分布有关与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrROLxdxMzLOxdxM2、平行轴定理及平行轴定理及垂直轴定理垂直轴定理zhCMzz(3)J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关平行轴定理平行轴定理:刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离两轴间垂直距离此定理只适用于平面薄板状的物体，并此定理只适用于平面薄板状的物体，并限于板内的两轴相互垂直，限于板内的两轴相互垂直，Z Z 轴与板面轴与板面正交正交。垂直轴定理垂直轴定理(薄板薄板)x,y轴在薄板内；轴在薄板内；z 轴垂直轴垂直薄板薄板例例 计算钟摆的转动惯量。计算钟摆的转动惯量。已知：摆锤质量已知：摆锤质量m m，半径，半径r r，摆杆质量，摆杆质量m m，长度，长度2r2rro解：解：解：解：摆杆：摆杆：摆锤：摆锤：钟摆：钟摆：强调：强调：J J 和转轴有关和转轴有关 同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的 o o平行轴平行轴o oAh大小：大小：2、力力 对转轴对转轴Z Z的力矩的力矩定义：定义：方向：沿方向：沿z z轴正或负方向轴正或负方向小小 结结1 1、力、力 对对 点的力矩点的力矩定义：定义：二、转动定律二、转动定律三三.转动惯量转动惯量一、一、力矩力矩3、刚体的合、刚体的合力矩力矩定轴转动定律在转定轴转动定律在转动问题中的地位相动问题中的地位相当于平动时的牛顿当于平动时的牛顿第二定律第二定律应用转动定律解题应用转动定律解题步骤与牛顿第二定步骤与牛顿第二定律时完全相同。律时完全相同。(1)飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2)如以重量如以重量P=98 N的物体挂在绳端，的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度试计算飞轮的角加速度解解 (1)(2)两者区别两者区别五、转动定律的应用举例五、转动定律的应用举例例例1求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦，飞轮与转轴间的摩擦不计，不计，(见图见图)例例2 2 一一轻轻绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，滑滑轮轮视视为为圆圆盘盘，绳绳的的两两端端分分别别悬悬有有质质量量为为m1和和m2的的物物体体1 1和和2 2，m1 m2 如如图图所所示示。设设滑滑轮轮的的质质量量为为m ，半半径径为为r，所所受受的的摩摩擦擦阻阻力力矩矩为为M。绳绳与与滑滑轮轮之之间间无无相相对对滑滑动动。试试求求物物体体的的加加速速度度和绳的张力。和绳的张力。m1m2aT2 T1 T1T2G2G1aam1m2解解:当不计滑轮质量及摩擦阻力矩，有当不计滑轮质量及摩擦阻力矩，有 这这这这种种种种装装装装置置置置叫叫叫叫阿阿阿阿特特特特伍伍伍伍德德德德机机机机，是是是是一一一一种种种种可可可可用用用用来来来来测测测测量量量量重重重重力力力力加加加加速速速速度度度度g g g g的简单装置。的简单装置。的简单装置。的简单装置。已已知知m1、m2 、r和和J，通通过过实实验验测测物物体体1 1和和2 2的的加加速速度度a，算算出出g g。在在实实验验中中可可使使两两物物体体的的m1和和m2相相近近，从从而而使使它它们们的的加加速速度度a和和速速度度v都都较较小小，这这样样就就能能角角精确地测出精确地测出a来。来。取取3-3 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系一、刚体的动能一、刚体的动能z O设系统包括有设系统包括有 N 个质量元个质量元,其动能为其动能为各质量元速度不同，但角速度相同各质量元速度不同，但角速度相同刚体的总动能刚体的总动能P绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半的转动惯量与其角速度平方乘积的一半结结论论（刚体的转动动能）（刚体的转动动能）二、力矩的功二、力矩的功O1、力矩功的定义、力矩功的定义2、力矩作功的微分形式、力矩作功的微分形式对一有限过程对一有限过程若若 M=C(积分形式）积分形式）力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应.P讨论讨论(1)合力矩的功合力矩的功三、转动动能定理三、转动动能定理 力矩功的效果力矩功的效果对于一有限过程对于一有限过程 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的这就是绕定轴转动刚体的动能定理动能定理(3)力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。(2)力矩的功就是合力矩的功；内力矩作功之和为零。力矩的功就是合力矩的功；内力矩作功之和为零。力矩的元功力矩的元功 刚体的机械能刚体的机械能刚体重力势能刚体重力势能刚体的机械能刚体的机械能质心的势能质心的势能刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立四、刚体重力势能四、刚体重力势能例例1 一根长为一根长为 l，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置在竖直平面内转动，初始时它在水平位置解：解：由动能定理由动能定理求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCx 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转装在转动架上，转轴动架上，转轴Z上装一半径为上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。重物下落时，的重物。重物下落时，由绳带动被测物体由绳带动被测物体 A 绕绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段轴转动。今测得重物由静止下落一段距离距离 h，所用时间为，所用时间为t，例例2求：物体求：物体A对对Z 轴的转动惯量轴的转动惯量Jz。设绳。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。的摩擦力矩忽略不计。解解 分析（机械能）：分析（机械能）：若滑轮质量不可忽略，怎样？若滑轮质量不可忽略，怎样？机械能守恒机械能守恒质点的角动量质点的角动量刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律质点的角动量定理质点的角动量定理刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律质点质点刚体刚体刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理3-4 角动量定理和角动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律一、质点角动量一、质点角动量(动量矩动量矩)定理和角动量守恒定律定理和角动量守恒定律1.质点的角动量质点的角动量(对对O点点)大小大小:(1)质点的角动量与质点的动量及质点的角动量与质点的动量及位矢有关。位矢有关。(取决于固定点的选择取决于固定点的选择)特例：质点作圆周运动特例：质点作圆周运动3-4 角动量定理和角动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律说明说明在在惯性参照系中惯性参照系中O S惯性参照系惯性参照系(2)当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的角动量也称为质点对过的角动量也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴垂直于运动平面的轴的角动量。的角动量。方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面SI:O S(3)质点对某点的角动量质点对某点的角动量,在通过该点的任意轴上的投影就等在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的角动量于质点对该轴的角动量例例一质点一质点m，速度为，速度为v，如图所示，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点分别为三个参考点,此时此时m 相对三相对三个点的距离分别为个点的距离分别为d1、d2、d3求求 此时刻质点对三个参考点的角动量此时刻质点对三个参考点的角动量md1d2 d3ABC解解(4)对轴的角动量对轴的角动量在具体的坐标系中，角动量在各坐标在具体的坐标系中，角动量在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量。轴的分量，就叫对轴的角动量。(质点角动量定理的积分形式质点角动量定理的积分形式)(质点角动量定理的微分形式质点角动量定理的微分形式)质点所受合力矩的冲量质点所受合力矩的冲量矩矩等于质点的角动量的增量等于质点的角动量的增量2.质点的角动量定理质点的角动量定理说明说明(1)冲量矩是质点角动量变化的原因冲量矩是质点角动量变化的原因(2)质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果称为在时间称为在时间 内的冲量矩，它表示了力矩内的冲量矩，它表示了力矩在一段时间间隔内的累积效应。在一段时间间隔内的累积效应。3.质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律(2)(2)通常对有心力：通常对有心力：例如例如 由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律(1)角角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用讨论讨论m 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积过过O点，点，M=0，角动量守恒，角动量守恒当飞船静止于空间距行星中心当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度时，以速度v 0发射一发射一 求：求：角及着陆滑行的初速度多大？角及着陆滑行的初速度多大？解解 引力场（有心力）引力场（有心力）质点的角动量守恒质点的角动量守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒例例 发射一宇宙飞船去考察一发射一宇宙飞船去考察一 质量为质量为 M、半径为、半径为 R 的行星，的行星，质量为质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面二、质点系的角动量定理和角动量守恒定律二、质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系对参考点质点系对参考点O 的角动量就是的角动量就是质点系所有质点对同一参考质点系所有质点对同一参考点的角动量的矢量和点的角动量的矢量和1、质点系的角动量、质点系的角动量=02、质点系角动量定理、质点系角动量定理质点系的角动量定理质点系的角动量定理微分形式微分形式积分形式积分形式质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量。的增量。质点系的内力矩不能改变质点系的角动量质点系的内力矩不能改变质点系的角动量说明：说明：=03.质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律对质点对质点系系三、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律三、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 O如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴角则沿此轴角动量守恒动量守恒,如如刚体上各质点都具有相同的方向，合矢量的大刚体上各质点都具有相同的方向，合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加小就是分矢量大小的直接相加(所有质元的角动量之和所有质元的角动量之和)刚体上任一质点对刚体上任一质点对 Z 轴的角动量：轴的角动量：2.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理由转动定律由转动定律（角动量定理（角动量定理积分形式）积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量说明说明3.刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律对对定轴转动刚体定轴转动刚体角动量定理角动量定理微分形式微分形式（1 1）对于绕固定转轴转动的刚体，因）对于绕固定转轴转动的刚体，因J J 保持不变，保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。当合外力矩为零时，其角速度恒定。=恒量恒量=恒量恒量(b)(b)当当变形体所受合外力矩为零时，变形体的角动量也守恒变形体所受合外力矩为零时，变形体的角动量也守恒如：花样滑冰、跳水、芭蕾舞等如：花样滑冰、跳水、芭蕾舞等(a)(a)变形体绕某轴转动时，若其上各点变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元质元)转动的角速度转动的角速度相同，则变形体对该轴的角动量相同，则变形体对该轴的角动量（2）若系统由若干个刚体构成（系统内可能既有平若系统由若干个刚体构成（系统内可能既有平动也有转动），若系统对某一定轴的合外力矩为零动也有转动），若系统对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。如变形体：则系统对该轴的角动量守恒。如变形体：4、力矩的瞬时作用规律、力矩的瞬时作用规律 力矩的持续作用规律力矩的持续作用规律 守恒定律守恒定律（分析某一时刻合外力矩与转动状态的关系）（分析某一时刻合外力矩与转动状态的关系）（分析过程特点，选取始末状态）（分析过程特点，选取始末状态）（判断守恒条件）（判断守恒条件）例例如此衔接，如此衔接，角动量守恒角动量守恒吗？吗？转动定律转动定律 微积分法微积分法动能和角动量定理动能和角动量定理角动量守恒定理角动量守恒定理一、运动学一、运动学一、运动学一、运动学描写刚体转动的物理量描写刚体转动的物理量1 1、角量：、角量：线量：线量：微积分关系微积分关系2 2、角量与线量的关系、角量与线量的关系 3 3、方向：右手螺旋法方向：右手螺旋法与与的关系：的关系：4 4、匀角加速转动公式、匀角加速转动公式 小小 结结 3二、动力学二、动力学1 1、基本概念：、基本概念：力矩：力矩：转动惯量：转动惯量：转动动能：转动动能：转动角动量：转动角动量：定轴转动：定轴转动：（定点、定轴）（定点、定轴）（定点）（定点）2 2、基本定理：、基本定理：转动定律：转动定律：（定轴转动中力矩的瞬时作用规律）（定轴转动中力矩的瞬时作用规律）转动动能定理：转动动能定理：角动量定理：角动量定理：力矩的持续力矩的持续作用规律作用规律 功能原理：功能原理：守恒定律：守恒定律：时，时，守恒守恒 时，时，守恒守恒 3 3、解题思路：、解题思路：平动部分：平动部分：分析外力分析外力 转动部分：转动部分：分析力矩分析力矩 平动与转动的联系：平动与转动的联系：角量和线量的关系角量和线量的关系（隔离分析方法）（隔离分析方法）直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒.角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统水平方向动量守恒；水平方向动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒.圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒.子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计下面各系统动量、角动量和机械能是否守恒？下面各系统动量、角动量和机械能是否守恒？讨论讨论例例1 1质点与质量均匀的细棒相撞质点与质量均匀的细棒相撞(如图如图)解：过程解：过程1 1 质点与细棒相碰撞。质点与细棒相碰撞。碰撞过碰撞过程中系统对程中系统对o o 点的合力矩为点的合力矩为设，完全非弹性碰撞设，完全非弹性碰撞求：棒摆的最大角度求：棒摆的最大角度所以，系统对所以，系统对o o点的角动量守恒。即，点的角动量守恒。即，细棒势能细棒势能过程过程2 2 质点、细棒上摆，系统中包括地球，只有保守内力作功，质点、细棒上摆，系统中包括地球，只有保守内力作功，所以机械能守恒。设末态为势能零点所以机械能守恒。设末态为势能零点质点势能质点势能补充：补充：一长为一长为l l 、质量为、质量为m m 的匀质细杆，可绕光滑轴的匀质细杆，可绕光滑轴O O 在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m m0 0 的子弹水的子弹水平射入与轴相距为平射入与轴相距为a a处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到到q q=30=300 0，求子弹的初速，求子弹的初速v v0 0。解：分两个阶段进行考虑解：分两个阶段进行考虑(1)(1)子子弹弹射射入入细细杆杆,使使细细杆杆获获得得初初速速度度。因因这这一一过过程程进进行行得得很很快快,细细杆杆发发生生偏偏转转极极小小,可可认认为为杆杆仍仍处处于于竖竖直直状状态态。子子弹弹和和细细杆杆组组成成待待分分析析的的系系统统,对对于于轴轴O O无无外外力力矩矩,满满足足角角动动量量守守恒恒条条件件。子子弹弹射射入入细细杆杆前前、后后的的一瞬间一瞬间,系统角动量分别为系统角动量分别为由角动量守恒由角动量守恒:(2)(2)子弹随杆一起绕轴子弹随杆一起绕轴O O 转动。以子弹、细杆及地球构成一系统，转动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点，系统在始末状态的机械能为：的位置为重力势能零点，系统在始末状态的机械能为：势能零点势能零点由机械能守恒，由机械能守恒，E=E0,代入代入=300，得：得：例例2:2:有一细棒长为有一细棒长为 质量为质量为 均匀分布，静止放在滑动摩擦系均匀分布，静止放在滑动摩擦系数为数为 的水平桌面上，它可绕通过其端点的水平桌面上，它可绕通过其端点 ，且与桌面垂直的，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，另有一水平运动的小滑块，质量为固定光滑轴转动，另有一水平运动的小滑块，质量为 ，以水，以水平速度平速度 从左侧垂直与棒的另一端作完全弹性碰撞，碰撞时间从左侧垂直与棒的另一端作完全弹性碰撞，碰撞时间极短（可忽略摩擦）。求从细棒在碰撞后开始转动到停止转动过极短（可忽略摩擦）。求从细棒在碰撞后开始转动到停止转动过程中所经历的时间。程中所经历的时间。o解：解：设角动量向上的方向为正，碰撞瞬间：设角动量向上的方向为正，碰撞瞬间：机械能守恒机械能守恒在棒上取质量元在棒上取质量元 ，离轴，离轴 的距离为的距离为 又由角动量定理又由角动量定理 例例3 3：人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地心在其一焦点人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地心在其一焦点O O上，如图所示。已知轨道的近地点上，如图所示。已知轨道的近地点P P距地面距地面145145公里。远地点公里。远地点A A距地面距地面151151公里，地球半径公里，地球半径R=6400R=6400公里。试求卫星在近地点公里。试求卫星在近地点P P的动能与其在远地点的动能与其在远地点A A的动能的比值。的动能的比值。解：设人造地球卫星质量为解：设人造地球卫星质量为 ，人造卫星对，人造卫星对 点的角点的角动量守恒。动量守恒。而卫星在而卫星在P P、A A两点的动能之比为：两点的动能之比为：例例题题3-12 3-12 工工程程上上，两两飞飞轮轮常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使它它们们以以相相同同的的转转速速一一起起转转动动。如如图图所所示示，A A和和B B两两飞飞轮轮的的轴轴杆杆在在同同一一中中心心线线 上上，A A轮轮 的的 转转 动动 惯惯 量量 为为J JA A=10kg=10kg m m2 2，B B的的 转转 动动 惯惯 量量 为为J JB B=20kg=20kg m m2 2 。开开始始时时A A轮轮的的转转速速为为600r/min600r/min，B B轮轮静静止止。C C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两轮轮啮啮合合后后的的转转速速；在在啮啮合合过过程程中中，两两轮轮的的机械能有何变化？机械能有何变化？A ACBACB解：解：系统的角动系统的角动量守恒量守恒补充：补充：A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：别为：A=50=50rad.s-1-1,B=200=200rad.s-1-1。已知。已知A A 圆盘半圆盘半径径R RA A=0.2m,=0.2m,质量质量m mA A=2kg,=2kg,B B 圆盘的半径圆盘的半径R RB B=0.1m,=0.1m,质量质量m mB B=4kg.=4kg.试求两圆盘对心衔接后的角速度试求两圆盘对心衔接后的角速度 .解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因此系统角间切向摩擦力属于内力。因此系统角动量守恒，得到动量守恒，得到 例例题题3-13 3-13 恒恒星星晚晚期期在在一一定定条条件件下下，会会发发生生超超新新星星爆爆发发，这这时时星星体体中中有有大大量量物物质质喷喷入入星星际际空空间间，同同时时星星的的内内核核却却向向内内坍坍缩缩，成成为为体体积积很很小小的的中中子子星星。中中子子星星是是一一种种异异常常致致密密的的星星体体，一一汤汤匙匙中中子子星星物物体体就就有有几几亿亿吨吨质质量量！设设某某恒恒星星绕绕自自转转轴轴每每4545天天转转一一周周，它它的的内内核核半半径径R0约约为为2 2 10107 7m，坍坍缩缩成成半半径径R仅仅为为6 6 10103 3m的的中中子子星星。试试求求中中子子星星的的角角速速度度。坍坍缩缩前前后后的的星星体体内内核均看作是匀质圆球。核均看作是匀质圆球。解解 在在星星际际空空间间中中，恒恒星星不不会会受受到到显显著著的的外外力力矩矩，因因此此恒恒星星的的角角动动量量应应该该守守恒恒，则则它它的的内内核核在在坍坍缩缩前前后后的的角角动动量量J J0 0 0 0和和J J 应相等。因应相等。因代入代入J0 0=J 中，整理后得：中，整理后得：原来系统对中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，原来系统对中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即即例例题题3-14 3-14 图图中中的的宇宇宙宙飞飞船船对对其其中中心心轴轴的的转转动动惯惯量量为为J=2 103kg m2 ，它它以以=0.2rad/s的的角角速速度度绕绕中中心心轴轴旋旋转转。宇宇航航员员用用两两个个切切向向的的控控制制喷喷管管使使飞飞船船停停止止旋旋转转。每每个个喷喷管管的的位位置置与与轴轴线线距距离离都都是是r=1.5m。两两喷喷管管的的喷喷气气流流量量恒恒定定，共共是是=2kg/s 。废废气气的的喷喷射射速速率率（相相对对于于飞飞船船周周边边）u=50m/s，并并且且恒恒定定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。rdm/2dm/2u-u L0Lg解解喷喷出出的的气气体体对对中中心心轴轴的的角角动动量量为为dm r(u+v),近近似地等于似地等于dm ru。例例1如图所示，弹簧（如图所示，弹簧（l0，k）一端固定在一光滑水平面的）一端固定在一光滑水平面的O点，点，另一端系一质量为另一端系一质量为m的小球。开始时，弹簧被拉长的小球。开始时，弹簧被拉长x，即，即ll0 x，此时给小球一个与弹簧垂直的初速度，此时给小球一个与弹簧垂直的初速度0，求：求：当弹簧恢复原长当弹簧恢复原长l0时，小球的速度时，小球的速度解解小球绕小球绕O点转动，点转动，但并非圆周运动但并非圆周运动小球弹簧：小球弹簧：机械能机械能E守恒守恒小球运动过程中受有心力作用，角动量小球运动过程中受有心力作用，角动量L守恒守恒 如图所示，细杆（如图所示，细杆（l，m）可绕端点）可绕端点O的水平轴转动，从的水平轴转动，从水平位置自由释放，在竖直位置与物体水平位置自由释放，在竖直位置与物体M相碰，物体与地面相碰，物体与地面摩擦系数为摩擦系数为，相撞后，物体沿水平地面滑行一段，相撞后，物体沿水平地面滑行一段s后停止，后停止，例例2求：碰后杆质心求：碰后杆质心C离地最大高度，并说明杆向左右摆的条件离地最大高度，并说明杆向左右摆的条件解解（1）自由下落过程自由下落过程（E守恒）守恒）（2）杆物相碰杆物相碰（L守恒）守恒）（3）碰后物体滑动碰后物体滑动（动能定理）（动能定理）杆向右摆杆向右摆杆向左摆杆向左摆（4）碰后杆摆动碰后杆摆动（E守恒）守恒）如图所示，细杆（如图所示，细杆（l，m1）可绕端点）可绕端点O转动，与水平桌转动，与水平桌面摩擦系数为面摩擦系数为。有一运动的滑块。有一运动的滑块m2，以速度，以速度1与静止杆的与静止杆的另一端点垂直相碰，另一端点垂直相碰，t 极短，碰后速度极短，碰后速度2与与1反向，反向，例例3求：细杆从碰后到停下来经历的时间求：细杆从碰后到停下来经历的时间t解：解：m1与与m2相碰，动量不守恒，相碰，动量不守恒，但角动量守恒但角动量守恒碰后的角速度碰后的角速度细杆在平面内移动时受到阻力（摩擦力）矩：细杆在平面内移动时受到阻力（摩擦力）矩：方法一：方法一：转动定理转动定理（匀角加速）（匀角加速）方法二：方法二：角动量定理角动量定理 如图所示，质量为如图所示，质量为m的物体挂在匀质圆盘（的物体挂在匀质圆盘（M，R）边）边缘，盘可绕水平光滑轴转动，起初在圆盘上加一恒力矩，使缘，盘可绕水平光滑轴转动，起初在圆盘上加一恒力矩，使物体以物体以0匀速上升，如去掉所加恒力矩，经历多少时间圆盘匀速上升，如去掉所加恒力矩，经历多少时间圆盘开始作反向转动？开始作反向转动？例例4解法一：解法一：转动定理转动定理M转动：转动：m 平动：平动：恒定加速度恒定加速度解法二：解法二：功能原理功能原理研究对象：研究对象：Mm地球地球 E守恒守恒取初态位置为重力势能零点取初态位置为重力势能零点解法三：解法三：角动量定理角动量定理例例5 5质量为质量为mAmA的物体的物体 A A静止在光滑水平面上静止在光滑水平面上,和一质量不和一质量不计的绳索相连接计的绳索相连接,绳索跨过一半径为绳索跨过一半径为 R质量为质量为mCmC 的圆柱的圆柱形滑轮形滑轮C C,并系在另一质量为并系在另一质量为mBmB 的物体的物体 B B上上.滑轮与绳滑轮与绳索间没有滑动索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.(3)(3)若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为间的摩擦力矩为M Mf f再求线再求线加速度及绳的张力加速度及绳的张力.(2)(2)物体物体B B从静止落下距离从静止落下距离y y时时,其速率是多少其速率是多少?ABC问问:(1):(1)两物体的线加速度为多少两物体的线加速度为多少?水平和竖直两段水平和竖直两段绳索的张力各为多少？绳索的张力各为多少？ABC解解 （1）隔离）隔离ABC取坐标如图取坐标如图,列方程：列方程：ABC方程简化得：方程简化得：如如(3)(3)考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩(2)(2)B B由静止出发作匀加速直线运动由静止出发作匀加速直线运动,下落的速率下落的速率ABC如图所示如图所示例例解析：解析：（平动转动）（平动转动）隔离分析受力（矩）隔离分析受力（矩）规定正方向：逆时针规定正方向：逆时针 平动：分析受力平动：分析受力 转动：分析力矩转动：分析力矩 线量与角量关系：线量与角量关系：六个未知数，六个方六个未知数，六个方程，可求解程，可求解T1，T2，T3，a，1，2例例6 6 一一半半径径为为R R，质质量量为为m匀匀质质圆圆盘盘，平平放放在在粗粗糙糙的的水水平平桌桌面面上上。设设盘盘与与桌桌面面间间摩摩擦擦系系数数为为，令令圆圆盘盘最最初初以以角角速速度度 0 0绕绕通通过过中中心心且且垂垂直直盘盘面面的的轴轴旋旋转转，问它经过多少时间才停止转动？问它经过多少时间才停止转动？rRdr 0d e解解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量的质量dm=rd dre，所受到的阻力矩是，所受到的阻力矩是r dmg 。此处此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是因因m=e R2，代入得，代入得根根据据定定轴轴转转动动定定律律，阻阻力力矩矩使使圆圆盘盘减减速速，即即获获得得负负的角加速度的角加速度.设圆盘经过时间设圆盘经过时间t t停止转动，则有停止转动，则有由此求得由此求得例例例例7 7 7 7一质量为一质量为m m，长为，长为l l的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在o o点，距点，距A A端端l l/3/3。今。今使棒从静止开始由水平位置绕使棒从静止开始由水平位置绕o o点转动，求：（点转动，求：（1 1）水平位置的）水平位置的角速度和角加速度。（角速度和角加速度。（2 2）垂直位置时的角速度和角加速度。）垂直位置时的角速度和角加速度。解：解：解：解：coBA（1 1）棒对于棒对于O轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：水平位置时：水平位置时：由定轴转动定律可得：由定轴转动定律可得：coBA（2 2 2 2）由定轴转动定律：由定轴转动定律：任意位置时：任意位置时：积分得：积分得：此时的角速度为：此时的角速度为：角加速度为：角加速度为：例例8.8.质量为质量为M M，半径为半径为R R的转台，可绕中心轴转动。转的转台，可绕中心轴转动。转台与轴间摩擦不计，设质量为台与轴间摩擦不计，设质量为m m的人站在台边缘。初的人站在台边缘。初始时人、台都静止。若人相对台始时人、台都静止。若人相对台匀速率匀速率沿边缘沿边缘行走行走一一周，问：相对地面，人和台各转过多少角度？周，问：相对地面，人和台各转过多少角度？解：解：人：人：设对地的角速度设对地的角速度台：台：设对地的角速度设对地的角速度角动量守恒：角动量守恒：人相对于转台的角速度：人相对于转台的角速度：人跑一周所需的时间：人跑一周所需的时间：人：人：台：台：
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