薛定谔方程及其简单应用-课件

2-12-1薛定谔方程及薛定谔方程及薛定谔方程及薛定谔方程及其简单应用其简单应用其简单应用其简单应用1薛定谔方程及其简单应用奥地利物理学家，奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。年诺贝尔物理奖获得者。薛定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人薛定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。的放射性等方面的研究都有很大成就。薛定谔方程是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起薛定谔方程是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。方程的量子力学波动方程。薛定谔对分子生物学的发展也做过工薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物生物学相结合，形成了现代分子生物学。学。2薛定谔方程及其简单应用引入薛定谔方程的想法是：我们先假定自由粒子的波动是平面波，则微分方程的最基本的形式可以由平面波引入，再由有势能存在的情况下作相应的修正得出薛定谔方程。它的正确性是由其结果能够解释已知的实验事实，并且能够推断出尚未发现的实验现象来验证的。3薛定谔方程及其简单应用一、薛定谔方程一、薛定谔方程 要建立微观粒子的运动方程，应包含时间及空间要建立微观粒子的运动方程，应包含时间及空间变量。这个方程还应满足以下两个条件：变量。这个方程还应满足以下两个条件：（1）方程）方程是线性的是线性的，即如果，即如果 1和和 2都是这方程的解，那么都是这方程的解，那么 1和和 2的线性迭加（的线性迭加（a 1+b 2）也应是方程的解。这是也应是方程的解。这是由态迭加原理由态迭加原理(干涉现象）决定的；干涉现象）决定的；（2）这个方程的）这个方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等。系数不应包含状态的参量，如动量、能量等。否则方否则方程只能被粒子的部分状态所满足，不能被各种可能的程只能被粒子的部分状态所满足，不能被各种可能的状态所满足。状态所满足。1926年，薛定谔提出了薛定谔方程做为量子力年，薛定谔提出了薛定谔方程做为量子力学的一个基本方程来描述微观粒子的运动。学的一个基本方程来描述微观粒子的运动。当微观当微观粒子所处的力场确定后，粒子所处的状态可以由薛粒子所处的力场确定后，粒子所处的状态可以由薛定谔方程求解。定谔方程求解。4薛定谔方程及其简单应用 动量为动量为P、质量为、质量为m、能量为、能量为E的自由粒子，的自由粒子，沿沿 x 轴轴运动的波函数为：运动的波函数为：1.1.自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程对时间求微商，得到对时间求微商，得到：首先看平面波的波动方程：首先看平面波的波动方程：将其用于自由粒子则：将其用于自由粒子则：利用复数计算公式利用复数计算公式上式可以记为上式可以记为5薛定谔方程及其简单应用对对 x 求二阶偏导求二阶偏导上式两边都乘以上式两边都乘以 得：得：上式两边都乘以上式两边都乘以 得：得：6薛定谔方程及其简单应用当粒子速度远小于光速当粒子速度远小于光速c时（时（v1时，能量相对间隔时，能量相对间隔当当时时量子化不显著。量子化不显著。经典物理可看成是经典物理可看成是时量子时量子物理的特殊情况。物理的特殊情况。26薛定谔方程及其简单应用a=10-2 m时：显然电子在宏观尺度上运动时其能级差是很小的。显然电子在宏观尺度上运动时其能级差是很小的。27薛定谔方程及其简单应用 粒子在粒子在 x a的区域。的区域。2.2.势垒贯穿势垒贯穿(隧道效应）隧道效应）设一个质量为设一个质量为m的粒子，沿的粒子，沿x轴正方向运动，其势能为：轴正方向运动，其势能为：这种势能分布称为一维势垒。这种势能分布称为一维势垒。在量子力学中，情况又如果在量子力学中，情况又如果呢？呢？28薛定谔方程及其简单应用为讨论方便，我们把整个空间分为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：成三个区域：OIIIIII在各个区域的波函数分别表示为在各个区域的波函数分别表示为 1、2、3。令：2529薛定谔方程及其简单应用三个区间的薛定谔方程简化为：三个区间的薛定谔方程简化为：方程的通解为：方程的通解为：将上面的三个式子乘以因子：将上面的三个式子乘以因子：，可知：，可知：2630薛定谔方程及其简单应用 三式的右边第一项表示沿三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第方向传播的平面波，第二项为沿二项为沿x负方向传播的平面波。负方向传播的平面波。1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被表示被“界面（界面（x=0）”反射的反射波。反射的反射波。2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被表示被“界面（界面（x=a）”反射的反射波。反射的反射波。3右边的第一项表示穿出势垒的透射波，右边的第一项表示穿出势垒的透射波，3的的第第二项为零，因为在二项为零，因为在xa区域不可能存在反射波区域不可能存在反射波(C/=0)。利用波函数利用波函数“单值、有限、连续单值、有限、连续”的标准条件，可得：的标准条件，可得：2731薛定谔方程及其简单应用讨论：讨论：（1）EU0求出解的形式画于图中。求出解的形式画于图中。IIIIII 按照经典力学观点按照经典力学观点,在在EU0情况情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射。垒，而不会在势垒壁上发生反射。而在微观粒子的情形，却会发生反射。而在微观粒子的情形，却会发生反射。（1）Ea区域也存在波函数，所以粒子还可能区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入穿过势垒进入xa区域。区域。粒子在总能量粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为的现象称为隧道效应隧道效应。2832薛定谔方程及其简单应用定义粒子穿过势垒的贯穿系数：定义粒子穿过势垒的贯穿系数：透射波的概率密度与透射波的概率密度与入射波概率密度的比值。入射波概率密度的比值。结果表明：结果表明：势垒高度势垒高度U0越低、势垒宽越低、势垒宽a度越小，则粒度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。子穿过势垒的概率就越大。如果如果a或或m为宏观大小时，为宏观大小时，粒子，粒子实际上将不能穿过势垒。实际上将不能穿过势垒。隧道效应是一种微观效应。隧道效应是一种微观效应。2933薛定谔方程及其简单应用当当 时，势垒的宽度约时，势垒的宽度约50nm 以上时，以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动量力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动量是虚数。是虚数。由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守“不确定关不确定关系系”，粒子的坐标，粒子的坐标x和动量和动量P不可能同时具有确定的值，不可能同时具有确定的值，自然作为坐标函数的势能和作为动量函数的动能当然自然作为坐标函数的势能和作为动量函数的动能当然也不能同时具有确定的值也不能同时具有确定的值。因此，对微观粒子而言，。因此，对微观粒子而言，“总能量等于势能和动能之和总能量等于势能和动能之和”这一概念不再具有明这一概念不再具有明确的意义。确的意义。隧道效应来源于微观粒子的波粒二象性。隧道效应来源于微观粒子的波粒二象性。3034薛定谔方程及其简单应用 隧道效应和扫描隧道显微镜隧道效应和扫描隧道显微镜STM由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。只要将原子线度的极细探针只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。面电子云就可能重叠。若在样品与针尖之间若在样品与针尖之间加一微小电压加一微小电压Ub电子电子就会穿过电极间的势就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。Scanning tunneling microscopy3135薛定谔方程及其简单应用因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布；得到表面态密度的分布；使人类第一次能够实时地观使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。阔的应用前景。空气隙空气隙STM工作示意图工作示意图样品样品探针探针利用利用STM可以分辨表面上可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面阵列。可以直接绘出表面的三维图象的三维图象3236薛定谔方程及其简单应用1981年宾尼希和罗雷尔利用电子扫描隧道显微镜年宾尼希和罗雷尔利用电子扫描隧道显微镜（STM）给出了晶体表面的三维图象。给出了晶体表面的三维图象。钻石中的原子已被看到钻石中的原子已被看到利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技年提出成象技术。它可用于不导电样品的观察。术。它可用于不导电样品的观察。3337薛定谔方程及其简单应用