全等三角形综合运用讲解课件

全等三角形的应用1将两个全等的等边三角形将两个全等的等边三角形ABCABC和和ACDACD如图所示如图所示拼在一起，把含拼在一起，把含6060角的三角板与这个图形重合，使角的三角板与这个图形重合，使三角板的三角板的6060角的顶点与点角的顶点与点A A重合，两边分别与重合，两边分别与ABAB、ACAC重合。将三角板绕点重合。将三角板绕点A A按逆时针方向旋转。按逆时针方向旋转。(1)(1)当三角板的两边分别与两边当三角板的两边分别与两边BCBC、CDCD相交于相交于点点E E、F F时，如图，通过观察或根据定义你能得时，如图，通过观察或根据定义你能得出图中有哪几对三角形全等？并说明理由。出图中有哪几对三角形全等？并说明理由。ABECDF将两个全等的等边三角形ABC和ACD如图所示ABECDF2将两个全等的等边三角形将两个全等的等边三角形ABCABC和和ACDACD如图所示如图所示拼在一起，把含拼在一起，把含6060角的三角板与这个图形重合，使角的三角板与这个图形重合，使三角板的三角板的6060角的顶点与点角的顶点与点A A重合，两边分别与重合，两边分别与ABAB、ACAC重合。将三角板绕点重合。将三角板绕点A A按逆时针方向旋转。按逆时针方向旋转。(2)(2)当三角板两边分别与两边当三角板两边分别与两边BCBC、CDCD的延长线的延长线相交于相交于E E、F F时，如图，你在时，如图，你在中得出的结论还中得出的结论还成立吗？简要说明理由。成立吗？简要说明理由。ABDCEF将两个全等的等边三角形ABC和ACD如图所示ABDCEF3如图如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图得到两张三角形纸片（如图2），量得他们），量得他们的斜边长为的斜边长为10cm，较小锐角为，较小锐角为30，再将这，再将这两张三角纸片摆成如图两张三角纸片摆成如图3的形状，但点的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点在同一条直线上，且点C与点与点F重合重合（在图（在图3至图至图6中统一用中统一用F表示）表示）图图1图图3图图2习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸4如图如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为），量得他们的斜边长为10cm，较，较小锐角为小锐角为30，再将这两张三角纸片摆成如图，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，的形状，但点但点B、C、F、D在同一条直线上，且点在同一条直线上，且点C与点与点F重合重合（在图（在图3至图至图6中统一用中统一用F表示）表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。问题，请你帮助解决。（1）将图）将图3中的中的ABF沿沿BD向右平移到图向右平移到图4的位置，使的位置，使点点B与点与点F 重合，请你求出平移的距离；重合，请你求出平移的距离；图图4图图3习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸5如图如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为），量得他们的斜边长为10cm，较，较小锐角为小锐角为30，再将这两张三角纸片摆成如图，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，的形状，但点但点B、C、F、D在同一条直线上，且点在同一条直线上，且点C与点与点F重合重合（在图（在图3至图至图6中统一用中统一用F表示）表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。问题，请你帮助解决。（2）将图）将图3中的中的ABF绕点绕点F顺时针方向旋转顺时针方向旋转30到图到图5的位置，的位置，A1F交交DE于点于点G，请你求出线段，请你求出线段FG的长度；的长度；图图3图图5习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸6如图如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为），量得他们的斜边长为10cm，较，较小锐角为小锐角为30，再将这两张三角纸片摆成如图，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，的形状，但点但点B、C、F、D在同一条直线上，且点在同一条直线上，且点C与点与点F重合重合（在图（在图3至图至图6中统一用中统一用F表示）表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。问题，请你帮助解决。（3）将图）将图3中的中的ABF沿直线沿直线AF翻折到图翻折到图6的位置，的位置，AB1交交DE于点于点H，请证明：，请证明：AHDH图图6图图3习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸7(1)操作:固定ABC,将C D E绕点C顺时针旋转30 得到CDE，联结AD、BE,CE的延长线交AB于F（如图）；下图是边长分别为 的两个等边三角形纸片ABC和C D E叠放在一起（C与C重合）(2007年河北省课程改革实验区初中毕业生学业考试.)探究：在图中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.()DEABC C图(1)操作:固定ABC,将C D E绕点C顺时针旋转308(1)操作:固定ABC,将C D E绕点C顺时针旋转30 得到CDE，联结AD、BE,CE的延长线交AB于F（如图）；下图是边长分别为 的两个等边三角形纸片ABC和C D E叠放在一起（C与C重合）(2007年河北省课程改革实验区初中毕业生学业考试.)探究：在图中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.ABCDEF图(30(1)操作:固定ABC,将C D E绕点C顺时针旋转309 已知已知:ABC:ABC 和和EFGEFG是两块完全重合是两块完全重合的等边三角形纸片，的等边三角形纸片，O O是是ACAC（或（或EFEF）的）的中点，中点，ABCABC不动，将不动，将EFGEFG绕绕O O点顺时针点顺时针转转X X度（度（0 0 X120X120）角）角(2007(2007江西江西)（1）试分别说明X为多少时，点F在ABCABC外部、外部、BCBC边边上、内部上、内部（不要求证明）（不要求证明）A(E)B(G)C(F)O 已知:ABC 和EFG是两块完全重合的等边三角形纸片，10ABCOABCGEFX。PGEF图图1图图2Q（2）当点F不在BC上时，在图1和图2两种情况下，分别写出OP与OQ的数量关系，并对图2的情况给予说明。X。POOCPOEQQABCOABCGEFX。PGEF图1图2Q（2）当点F不在B11如图如图1，已知，已知ABC中，中，ABBC1，ABC90，把一块含，把一块含30角的三角板角的三角板DEF的直角顶点的直角顶点D放在放在AC的中点上（直的中点上（直角三角板的短直角边为角三角板的短直角边为DE，长直角边为，长直角边为DF），将直角三角板），将直角三角板DEF绕绕D点按逆时点按逆时针方向旋转。针方向旋转。如图1，已知ABC中，ABBC1，ABC90，把12 在图在图1中，中，DE交交AB于于M，DF交交BC于于N。证明证明DMDN；在在这一过程中，直角三角板这一过程中，直角三角板DEF与与ABC的重叠部分为四边形的重叠部分为四边形DMBN，请说明四，请说明四边边DMBN的面积是否发生变化？的面积是否发生变化？若发生变化，请说明若发生变化，请说明是如何变化的？是如何变化的？若不发生变化，若不发生变化，求出其面积；求出其面积；第25题图图3图2图1NFEBCDAM 在图1中，DE交13继续旋转至如图继续旋转至如图2的位置，延长的位置，延长AB交交DE于于M，延长，延长BC交交DF于于N，DMDN是否仍然成立？若成立，是否仍然成立？若成立，请给出证明；请给出证明；若不成立，若不成立，请说明理由；请说明理由；第25题图图2MADCBEFN继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF14继续旋转至如图继续旋转至如图3的位置，延长的位置，延长FD交交BC于于N，延长，延长ED交交AB于于M，DMDN是否仍然成立？是否仍然成立？若成立，若成立，请给出写出结论，请给出写出结论，不用证明。不用证明。第25题图图3图2MADCBEFN继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB15四边形背景16（07 佳 木 斯）已 知 四 边 形 ABCD中，ABAD,BCCD，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F当 MBN绕点B旋转到时AE=CF（如图1），易证AE+CF=EF当 MBN绕点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（第26题图1）（第26题图2）（第26题图3）ABCDEFMNABCDEFMNABCDEFMN（07佳木斯）已知四边形ABCD中，ABAD,BCCD17 已知正方形已知正方形ABCD,现将三块不同的现将三块不同的三角板纸片的一个锐角顶点与三角板纸片的一个锐角顶点与A重合重合,适适当绕当绕A点旋转该三角形纸片点旋转该三角形纸片,该锐角的两该锐角的两边分别交直线边分别交直线BC、CD于于M、N,且满足且满足AN平分平分 DAM(1)当当M、N分别分别在在BC、CD上时，上时，求证：求证：AM=BM+DNABMCNDF1234 已知正方形ABCD,现将三块不同的ABMCND18且满足且满足AN平分平分 DAM(2)当当M、N分别在分别在BC、CD所在的直所在的直线上时，线段线上时，线段AM、BM、DN之间又有之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论怎样的数量关系，请直接写出结论.ABMCND图图2F2134且满足AN平分 DAMABMCND图2F213419且满足且满足AN平分平分 DAM(2)当当M、N分别在分别在BC、CD所在的直所在的直线上时，线段线上时，线段AM、BM、DN之间又有之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论怎样的数量关系，请直接写出结论.图图3ABMCNDF1234且满足AN平分 DAM图3ABMCNDF123420且满足且满足AN平分平分 DAM(3)在图在图3中中,连结连结BD交交AN于于K,若若CN=4,AM=5,求求AK的长的长.图图3ABMCNDK4xDN=AM+BM5x-1x且满足AN平分 DAM图3ABMCNDK4xDN=AM+21图8-2图8-1（07四川资阳）已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PEBC于点E，PFCD于点F.(1)求证：BP=DP；图8-2图8-1（07四川资阳）已知P为正方形ABCD的对22(2)如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；图8-2图8-1(2)如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，23(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论图8-2图8-1(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF24阶梯式习题25 四边形四边形 ABCD与四边形与四边形CGEF都为正方形，点都为正方形，点 D在在线段线段CF上，上，M 为为AE的中点，的中点，且且CF2AD.探探 究：线段究：线段MD、MF的关系的关系.MF的关系，并的关系，并加以证明。MD=MFMDMF 阶梯1 四边形 ABCD与四边形CGEF都26 四边形四边形 ABCD与四边形与四边形CGEF都为正方形，点都为正方形，点 D在线在线段段CF上，上，M 为为AE的中点，的中点，且且CF2AD.探究：线段探究：线段MD、MF的关系的关系.究：线段MD、MF的关系，延长DM交FE于N 阶梯1 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点27 四边形四边形 ABCD与四边形与四边形CGEF都为正方形，点都为正方形，点 D在在线段线段CF上，上，M 为为AE的中点的中点.探究：线段探究：线段MD、MF的关系的关系.探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。MD=MFMDMF 阶梯2 四边形 A28延长延长DM交交FE于于N 四边形四边形 ABCD与四边形与四边形CGEF都为正方形，点都为正方形，点 D在线在线 段段CF上，上，M 为为AE的中点的中点.探究：线段探究：线段MD、MF的关系的关系.探究：线段MD、MF的。阶梯2延长 29四边形四边形 ABCD与四边形与四边形CGEF为正方形，为正方形，D在线段在线段CF上上，将正方形将正方形CGEF绕点绕点C顺时针顺时针旋转旋转45，DM的延长线交的延长线交CE于点于点N，且且ADNE；其他条件不变；其他条件不变；探究：线段探究：线段MD、MF的关系的关系.连结 FD、FN 阶梯3四边形 ABCD与四边形CGEF为正方形，D在线段CF上，30 四边形四边形 ABCD与四边形与四边形CGEF都为正方形，点都为正方形，点 D在线段在线段 CF上，上，M 为为AE的中点的中点.将正方形将正方形CGEF绕点绕点C顺时针顺时针旋转旋转45，其他条件不变；其他条件不变；探究：线段探究：线段MD、MF的关系的关系.MD=MFMDMF 阶梯4 四边形 ABCD与四边形C31 四边形四边形 ABCD与四边形与四边形CGEF都为正方形，点都为正方形，点 D在线段在线段CF上，上，M 为为AE的中点。的中点。将正方形将正方形CGEF绕点绕点C顺时针顺时针旋转旋转45，其他条件不变；其他条件不变；探究：线段探究：线段MD、MF的关系的关系.延长延长DM交交CE于于N，连结，连结 FD、FN.阶梯4方法方法1 32 四边形四边形 ABCD与四边形与四边形CGEF都为正方形，点都为正方形，点 D在线在线段段CF上，上，M 为为AE的中点的中点.将正方形将正方形CGEF绕点绕点C顺时针顺时针旋转旋转45，其他条件不变；其他条件不变；探究：线段探究：线段MD、MF的关系的关系.连结连结AC、FD，延长，延长DM交交CE于于N，连结，连结 CM并延长交并延长交FE于于H.阶梯4方法方法2 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D33 将正方形将正方形CGEF绕点绕点C旋转任意角度后旋转任意角度后，其他条件不变，其他条件不变.探究：线段探究：线段MD、MF的关系的关系.阶梯5 将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变.34 方法方法1 1：延长延长DM到到N，使，使MN=MD，连结，连结FD、FN、EN，延长，延长EN与与DC延长线交于点延长线交于点H.方法方法2 2：过点点E作作AD的平行线交的平行线交DM、DC的延长线于的延长线于N、H，连结，连结DF、FN.阶梯5 方法1：延长DM到N，使MN=MD，连结FD、FN、方35 阶梯式习题 阶梯式习题36132GFHEDABC如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长是的边长是2，E是是AB的中的中点，延长点，延长BC到点到点F使使CFAE（1）若把）若把ADE绕点绕点D旋转一定的角度时，能否旋转一定的角度时，能否与与CDF重合？请说明理由重合？请说明理由（2）现把）现把DCF向左平移，使向左平移，使DC与与AB重合，得重合，得 ABH，AH交交ED于点于点G求证：求证：AHED，并求并求AG的长的长 132GFHEDABC如图，已知正方形ABCD的边长是2，E37与平面直角坐标系38X=1OLPXYCBA如图，点如图，点A在在Y轴上，点轴上，点B在在X轴上，且轴上，且OA=OB=1，经过原点，经过原点O的直的直线线L交线段交线段AB于点于点C，过，过C作作OC的垂线，与直线的垂线，与直线X=1相交于点相交于点P，现将直线现将直线L绕绕O点旋转，使交点点旋转，使交点C从从A向向B运动，但运动，但C点必须在第一象点必须在第一象限内，并记限内，并记AC的长为的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当）当AOC和和BCP全等时，求出全等时，求出t的值。的值。（2）通过动手测量线段）通过动手测量线段OC和和CP的长来判断它们之间的大小关系的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。？并证明你得到的结论。X=1OLPXYCBA如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且O39xyOABC11 在平面直角坐标系在平面直角坐标系中，两个全等的直角三中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条角形的直角顶点及一条直角边重合，点直角边重合，点A在第在第二象限内，点二象限内，点B，点，点C在在轴的负半轴上，轴的负半轴上，（1）求点）求点C的坐标；的坐标；xyOABC11 在平面直角坐标系中，两个全等的40（2）将）将 绕点绕点C按顺按顺时针方向旋转时针方向旋转30到到 的位置，其中的位置，其中 交直线交直线OA于点于点E，分分别交直线别交直线OA,CA于点于点F,G，则则 除外，还有哪几对除外，还有哪几对全等的三角形，全等的三角形，请直接写出答案；请直接写出答案；xyOABC11BAFEGxyOABC11BAFEG41